В. Я. Пивкин, Е. П. Бакулин, Д. И. Кореньков

В. Я. Пивкин, Е. П. Бакулин, Д. И. Кореньков

Нечеткие множества в системах управления

 

Под редакцией
доктора технических наук, профессора Ю.Н. Золотухина

 

 

Данное методическое пособие является введением в теорию нечетких множеств - активно развивающейся в последние годы раздел математики, позволяющей моделировать приближенные рассуждения человека. В рукописном виде пособие было основой курса лекций, читавшегося на кафедре 'Автоматизации физико-технических исследований' физического факультета НГУ.

Оглавление

 

Предисловие. 3

ВВЕДЕНИЕ.. 4

1. НЕЧЕТКИЕ МНОЖЕСТВА.. 5

Примеры записи нечеткого множества. 5

Основные характеристики нечетких множеств. 5

Примеры нечетких множеств. 6

О методах построения функций принадлежности нечетких множеств. 7

Операции над нечеткими множествами. 8

Наглядное представление операций над нечеткими множествами. 9

Свойства операций È и Ç. 9

Алгебраические операции над нечеткими множествами. 10

Расстояние между нечеткими множествами, индексы нечеткости. 13

Принцип обобщения. 16

2. НЕЧЕТКИЕ ОТНОШЕНИЯ.. 17

Операции над нечеткими отношениями. 18

Композиция двух нечетких отношений. 21

Условные нечеткие подмножества. 23

3. НЕЧЕТКАЯ И ЛИНГВИСТИЧЕСКАЯ ПЕРЕМЕННЫЕ.. 27

Нечеткие числа. 28

Операции над нечеткими числами. 28

Нечеткие числа (L-R)-типа. 29

4. НЕЧЕТКИЕ ВЫСКАЗЫВАНИЯ И НЕЧЕТКИЕ МОДЕЛИ СИСТЕМ... 32

Правила преобразований нечетких высказываний. 33

Способы определения нечеткой импликации. 33

Логико-лингвистическое описание систем, нечеткие модели. 35

Модель управления паровым котлом.. 36

Полнота и непротиворечивость правил управления. 39

Литература. 40

 

Предисловие

Пожалуй, наиболее поразительным свойством человеческого интеллекта является способность принимать правильные решения в обстановке неполной и нечеткой информации. Построение моделей приближенных рассуждений человека и использование их в компьютерных системах будущих поколений представляет сегодня одну из важнейших проблем науки.

Значительное продвижение в этом направлении сделано 30 лет тому назад профессором Калифорнийского университета (Беркли) Лотфи А. Заде (Lotfi A. Zadeh). Его работа " Fuzzy Sets", появившаяся в 1965 году в журнале Information and Control, ╬ 8, заложила основы моделирования интеллектуальной деятельности человека и явилась начальным толчком к развитию новой математической теории.

Что же предложил Заде? Во-первых, он расширил классическое канторовское понятие множества, допустив, что характеристическая функция (функция принадлежности элемента множеству) может принимать любые значения в интервале (0; 1), а не только значения 0 либо 1. Такие множества были названы им нечеткими (fuzzy). Л.Заде определил также ряд операций над нечеткими множествами и предложил обобщение известных методов логического вывода modus ponens и modus tollens.

Введя затем понятие лингвистической переменной и допустив, что в качестве ее значений (термов) выступают нечеткие множества, Л.Заде создал аппарат для описания процессов интеллектуальной деятельности, включая нечеткость и неопределенность выражений.

Дальнейшие работы профессора Л.Заде и его последователей заложили прочный фундамент новой теории и создали предпосылки для внедрения методов нечеткого управления в инженерную практику.

Уже к 1990 году по этой проблематике опубликовано свыше 10000 работ, а число исследователей достигло 10000, причем в США, Европе и СССР по 200-300 человек, около 1000 - в Японии, 2000-3000 - в Индии и около 5000 исследователей в Китае.

В последние 5-7 лет началось использование новых методов и моделей в промышленности. И хотя первые применения нечетких систем управления состоялись в Европе, наиболее интенсивно внедряются такие системы в Японии. Спектр приложений их широк: от управления процессом отправления и остановки поезда метрополитена, управления грузовыми лифтами и доменной печью до стиральных машин, пылесосов и СВЧ-печей. При этом нечеткие системы позволяют повысить качество продукции при уменьшении ресурсо и энергозатрат и обеспечивают более высокую устойчивость к воздействию мешающих факторов по сравнению с традиционными системами автоматического управления.

Другими словами, новые подходы позволяют расширить сферу приложения систем автоматизации за пределы применимости классической теории. В этом плане любопытна точка зрения Л.Заде: " Я считаю, что излишнее стремление к точности стало оказывать действие, сводящее на нет теорию управления и теорию систем, так как оно приводит к тому, что исследования в этой области сосредоточиваются на тех и только тех проблемах, которые поддаются точному решению. В результате многие классы важных проблем, в которых данные, цели и ограничения являются слишком сложными или плохо определенными для того, чтобы допустить точный математический анализ, оставались и остаются в стороне по той причине, что они не поддаются математической трактовке. Для того чтобы сказать что-либо существенное для проблем подобного рода, мы должны отказаться от наших требований точности и допустить результаты, которые являются несколько размытыми или неопределенными".

Смещение центра исследований нечетких систем в сторону практических приложений привело к постановке целого ряда проблем таких, как новые архитектуры компьютеров для нечетких вычислений, элементная база нечетких компьютеров и контроллеров, инструментальные средства разработки, инженерные методы расчета и разработки нечетких систем управления и многое другое.

Основная цель предлагаемого вниманию читателей учебного пособия - привлечь внимание студентов, аспирантов и молодых научных сотрудников к нечеткой проблематике и дать доступное введение в одну из интереснейших областей современной науки.

профессор Ю.Н.Золотухин

май 1995г.

ВВЕДЕНИЕ

Математическая теория нечетких множеств, предложенная Л.Заде более четверти века назад, позволяет описывать нечеткие понятия и знания, оперировать этими знаниями и делать нечеткие выводы. Основанные на этой теории методы построения компьютерных нечетких систем существенно расширяют области применения компьютеров. В последнее время нечеткое управление является одной из самых активных и результативных областей исследований применения теории нечетких множеств. Нечеткое управление оказывается особенно полезным, когда технологические процессы являются слишком сложными для анализа с помощью общепринятых количественных методов, или когда доступные источники информации интерпретируются качественно, неточно или неопределенно. Экспериментально показано, что нечеткое управление дает лучшие результаты, по сравнению с получаемыми при общепринятых алгоритмах управления. Нечеткие методы помогают управлять домной и прокатным станом, автомобилем и поездом, распознавать речь и изображения, проектировать роботов, обладающих осязанием и зрением. Нечеткая логика, на которой основано нечеткое управление, ближе по духу к человеческому мышлению и естественным языкам, чем традиционные логические системы. Нечеткая логика, в основном, обеспечивает эффективные средства отображения неопределенностей и неточностей реального мира. Наличие математических средств отражения нечеткости исходной информации позволяет построить модель, адекватную реальности.

 

НЕЧЕТКИЕ МНОЖЕСТВА

Пусть E - универсальное множество, x - элемент E, а R - некоторое свойство. Обычное (четкое) подмножество A универсального множества E, элементы которого удовлетворяют свойству R, определяется как множество упорядоченных пар A = { m_A (х)/х}, где

m_A(х) - характеристическая функция, принимающая значение 1, если x удовлетворяет свойству R, и 0 - в противном случае.

Нечеткое подмножество отличается от обычного тем, что для элементов x из E нет однозначного ответа " да-нет" относительно свойства R. В связи с этим, нечеткое подмножество A универсального множества E определяется как множество упорядоченных пар A = { m_A(х)/х}, где

m_A(х) - характеристическая функция принадлежности (или просто функция принадлежности), принимающая значения в некотором вполне упорядоченном множестве M (например, M = [0, 1] ). Функция принадлежности указывает степень (или уровень) принадлежности элемента x подмножеству A. Множество M называют множеством принадлежностей. Если M = {0, 1}, то нечеткое подмножество A может рассматриваться как обычное или четкое множество.

Примеры записи нечеткого множества

Пусть E = {x₁, x₂, x₃, x₄, x₅ }, M = [0, 1]; A - нечеткое множество, для которого

m_A(x₁)=0, 3;

m_A(x₂)=0;

m_A(x₃)=1;

m_A(x₄)=0, 5;

m_A(x₅)=0, 9.

Тогда A можно представить в виде:

A = {0, 3/x₁; 0/x₂; 1/x₃; 0, 5/x₄; 0, 9/x₅ } или

A = 0, 3/x₁ + 0/x₂ + 1/x₃ + 0, 5/x₄ + 0, 9/x₅, или

A =	x1 x2 x3 x4 x5 0, 3 0 1 0, 5 0, 9

.

Замечание. Здесь знак " + " не является обозначением операции сложения, а имеет смысл объединения.

Примеры нечетких множеств

Пусть E = {0, 1, 2,.., 10}, M =[0, 1]. Нечеткое множество " несколько" можно определить следующим образом: " несколько" = 0, 5/3+0, 8/4+1/5+1/6+0, 8/7+0, 5/8; его характеристики: высота = 1, носитель = {3, 4, 5, 6, 7, 8}, точки перехода - {3, 8}.

Пусть E = { 0, 1, 2, 3,..., n,... }. Нечеткое множество " малый" можно определить:

" малый" = .

Пусть E = {1, 2, 3,..., 100} и соответствует понятию " возраст", тогда нечеткое множество " молодой", может быть определено с помощью

m _{" молодой"} (x) = .

Нечеткое множество " молодой" на универсальном множестве E' ={Иванов, Петров, Сидоров,...} задается с помощью функции принадлежности m_{" молодой"} (x) на E = {1, 2, 3,..100} (возраст), называемой по отношению к E' функцией совместимости, при этом:

m_{" молодой"} (Сидоров): = m _{" молодой}" (x), где x - возраст Сидорова.

Пусть E = {Запорожец, Жигули, Мерседес,....} - множество марок автомобилей, а E' = [0, ¥ ) - универсальное множество " стоимость", тогда на E' мы можем определить нечеткие множества типа: " для бедных", " для среднего класса", " престижные", с функциями принадлежности типа:

 

 

Имея эти функции и зная стоимости автомобилей из E в данный момент времени, мы тем самым определим на E' нечеткие множества с этими же названиями.

Так, например, нечеткое множество " для бедных", заданное на универсальном множестве E = {Запорожец, Жигули, Мерседес,....} выглядит следующим образом:

 

 

Аналогично можно определить Нечеткое множество " скоростные", " средние", " тихоходные" и т.д.

Дополнение.

Пусть M = [0, 1], A и B - нечеткие множества, заданные на E. A и B дополняют друг друга, если

" x Î E m_A(x) = 1 - m _B(x).

Обозначение: B = или A = .

Очевидно, что = A. (Дополнение определено для M = [0, 1], но очевидно, что его можно определить для любого упорядоченного M ).

Пересечение.

A Ç B - наибольшее нечеткое подмножество, содержащееся одновременно в A и B.

mA Ç B(x) = min( m_A(x), m _B(x)).

Объединение.

А È В - наименьшее нечеткое подмножество, включающее как А, так и В, с функцией принадлежности:

mA È B(x) = max( m_A(x), m _B(x)).

Разность.

А - B = А Ç с функцией принадлежности:

m_A-B(x) = mA Ç (x) = min( m_A(x), 1 - m _B(x)).

Дизъюнктивная сумма.

А Å B = (А - B) È (B - А) = (А Ç ) È ( Ç B) с функцией принадлежности:

m_A-B(x) = max{[min{ m _A(x), 1 - m_B(x)}]; [min{1 - m_A(x), m_B(x)}] }

Примеры.

Пусть:

A = 0, 4/ x ₁ + 0, 2/ x ₂+0/ x ₃+1/ x ₄;

B = 0, 7/ x ₁+0, 9/ x ₂+0, 1/ x ₃+1/ x ₄;

C = 0, 1/ x ₁+1/ x ₂+0, 2/ x ₃+0, 9/ x ₄.

Здесь:

A Ì B, т.е. A содержится в B или B доминирует A, С несравнимо ни с A, ни с B, т.е. пары { A, С } и { A, С } - пары недоминируемых нечетких множеств.

A ¹ B ¹ C.

= 0, 6/ x ₁ + 0, 8/ x ₂ + 1/ x ₃ + 0/ x ₄;

= 0, 3/ x ₁ + 0, 1/ x ₂ + 0, 9/ x ₃ + 0/ x ₄.

A Ç B = 0, 4/ x ₁ + 0, 2/ x ₂ + 0/ x ₃ + 1/ x ₄.

А È В = 0, 7/ x ₁ + 0, 9/ x ₂ + 0, 1/ x ₃ + 1/ x ₄.

А - В = А Ç = 0, 3/ x ₁ + 0, 1/ x ₂ + 0/ x ₃ + 0/ x ₄;

В - А = Ç В = 0, 6/ x ₁ + 0, 8/ x ₂ + 0, 1/ x ₃ + 0/ x ₄.

А Å В = 0, 6/ x ₁ + 0, 8/ x ₂ + 0, 1/ x ₃ + 0/ x ₄.

Принцип обобщения

Принцип обобщения - одна из основных идей теории нечетких множеств - носит эвристический характер и используется для расширения области применения нечетких множеств на отображения. Пусть X и Y - два заданных универсальных множества. Говорят, что имеется функция, определенная на X со значением в Y, если, в силу некоторого закона f, каждому элементу X Î X соответствует элемент yÎ Y.

Когда функцию f: X ® Y называют отображением, значение f(x)Î Y, которое она принимает на элементе xÎ X, обычно называют образом элемента x.

Образом множества А Ì Х при отображении с® Y называют множество f( A )Ì Y тех элементов Y, которые являются образами элементов множества А.

Замечание. Мы напомнили классическое определение отображения, которое в теории нечетких множеств принято называть четким отображением, т.к. наряду с ним мы введем понятие нечеткого отображения (или нечеткой функции).

 

Будем говорить, что имеется нечеткая функция f, определенная на X со значением в Y, если она каждому элементу xÎ X ставит в соответствие элемент yÎ Y со степенью принадлежности m_f(x, y). Нечеткая функция f определяет нечеткое отображение f: X Y.

Принцип обобщения заключается в том, что при заданном четком f: X ® Y или нечетком f: X Y отображении для любого нечеткого множества А, заданного на Х, определяется нечеткое множество f( A ) на Y, являющееся образом A.

Пусть f: X ®Y заданное четкое отображение,

а A = {m_A(x)/х}- нечеткое множество в Х. Тогда образом А при отображении f является нечеткое множество f( A ) на Y с функцией принадлежности:

m _f(A)(y) = m _A(x); yÎ Y,

 

где f ^-1(y)={x/f(x)=y}.

В случае нечеткого отображения f: X Y, когда для любых xÎ X и yÎ Y определена двуместная функция принадлежности m_f(x, y), образом нечеткого множества А, заданного на Х, является нечеткое множество f( A ) на Y с функцией принадлежности:

m _f(A)(y) = min( m _A(x), m _f(x, y)).

 

Замечание. Мы не приводим примеров использования принципа обобщения. Предлагаем подумать, каким образом можно определить нечеткое число и как с помощью принципа обобщения (не забывая декартова произведения) и классических операций возведения числа в степень(одноместная), сложения и умножения (двуместные) получать соответствующие нечеткие результаты. К нечетким отображениям мы вернемся, когда будем рассматривать понятие нечеткого отношения.

НЕЧЕТКИЕ ОТНОШЕНИЯ

Пусть Е = Е₁ ´ Е₂ ´ ... ´ Е_n - прямое произведение универсальных множеств и М - некоторое множество принадлежностей (например М = [0, 1]). Нечеткое n-арное отношение определяется как нечеткое подмножество R на E, принимающее свои значения в М. В случае n =2 и М = [0, 1], нечетким отношением R между множествами X = Е₁ и Y = Е₂ будет называться функция R: (X, Y) ® [0, 1], которая ставит в соответствие каждой паре элементов (х, y)Î X ´ Y величину m_R (x, y) Î [0, 1]. Обозначение: нечеткое отношение на X ´ Y запишется в виде: xÎ X, yÎ Y: xRy. В случае, когда X = Y, т.е. X и Y совпадают, нечеткое отношение R: X´ X®[0, 1] называется нечетким отношением на множестве X.

 

Примеры:

Пусть X = {x₁, x₂, x₃}, Y = {y₁, y₂, y₃, y₄}, М = [0, 1]. Нечеткое отношение R=XRY может быть задано, к примеру, таблицей:

	y1	y2	y3	y4
x1	0	0	0, 1	0, 3
x2	0	0, 8	1	0, 7
x3	1	0, 5	0, 6	1

 

Пусть X = Y = (- , ), т.е. множество всех действительных чисел. Отношение x> > y (x много больше y) можно задаеть функцией принадлежности:

Отношение R, для которого m_R (x, y) = e ^-k(x-y)2, при достаточно больших k можно интерпретировать так: " x и y близкие друг к другу числа".

В случае конечных или счетных универсальных множеств очевидна интерпретация нечеткого отношения в виде нечеткого графа, в котором пара вершин (x_i, x_j) в случае XRX соединяется ребром с весом m_R (x_i, x_j), в случае XRY пара вершин (x_i, y_j) соединяется ребром c весом m_R (x_i, y_j).

Примеры:

Пусть Х={x₁, x₂, x₃}, и задано нечеткое отношение R: X´ X® [0, 1], представимое графом:

 

Пусть X={x₁, x₂} и Y={y₁, y₂, y₃}, тогда нечеткий граф вида:

 

задает нечеткое отношение XRY.

Замечание. В общем случае нечеткий граф может быть определен на некотором G Ì X ´ Y, где G - множество упорядоченных пар (x, y) (необязательно всех возможных) такое, что G Ç = Æ и G È = X ´ Y.

Будем использовать обозначения вместо и вместо .

Пусть R: X ´ Y ®[0, 1].

Нечеткие числа

Нечеткие числа - нечеткие переменные, определенные на числовой оси, т.е. нечеткое число определяется как нечеткое множество А на множестве действительных чисел R с функцией принадлежности m_A(x)Î [0, 1], где x - действительное число, т.е. x Î R.

Нечеткое число А нормально, если m_A(x)=1, выпуклое, если для любых x£ y£ z выполняется

m_A(x)³ m_A(y)Lm_A(z).

 

Множество a - уровня нечеткого числа А определяется как

Аa = {x/m _A(x)³ a}.

 

Подмножество S_AÌ R называется носителем нечеткого числа А, если

S = {x/m_A(x)> 0}.

 

Нечеткое число А унимодально, если условие m_A(x) = 1 справедливо только для одной точки действительной оси.

Выпуклое нечеткое число А называется нечетким нулем, если

m_A(0) = (m_A(x)).

 

Нечеткое число А положительно, если " x Î S_A, x> 0

и отрицательно, если " x Î S_A, x< 0.

Нечеткие числа (L-R)-типа

Нечеткие числа (L-R)-типа - это разновидность нечетких чисел специального вида, т.е. задаваемых по определенным правилам с целью снижения объема вычислений при операциях над ними.

Функции принадлежности нечетких чисел (L-R)-типа задаются с помощью невозрастающих на множестве неотрицательных действительных чисел функций действительного переменного L(x) и R(x), удовлетворяющих свойствам:

а) L(-x)=L(x), R(-x)=R(x);

б) L(0)=R(0).

Очевидно, что к классу (L-R) функций относятся функции, графики которых имеют следующий вид:

Примерами аналитического задания (L-R) функций могут быть

L(x) = , p ³ 0;

R(x)= , p³ 0 и т.д.

 

Пусть L(y) и R(y) - функции (L-R)-типа (конкретные). Унимодальное нечеткое число А с модой а (т.е. m_A(a)=1) c помощью L(y) и R(y) задается следующим образом:

m_A(x) =

 

где а - мода; a> 0, b> 0 - левый и правый коэффициенты нечеткости.

Таким образом, при заданных L(y) и R(y) нечеткое число (унимодальное) задается тройкой А = (а, a, b).

Толерантное нечеткое число задается, соответственно, четверкой параметров А=(а₁, a₂, a, b), где а₁ и a₂ - границы толерантности, т.е. в промежутке [а₁, a₂] значение функции принадлежности равно 1.

Примеры графиков функций принадлежности нечетких чисел (L-R)-типа приведены ниже.

Мы не будем здесь рассматривать операции над (L-R) числами; отметим, что в конкретных ситуациях функции L(y), R(y), а также параметры a, b нечетких чисел (а, a, b) и (а₁, a₂, a, b ) должны подбираться таким образом, чтобы результат операции (сложения, вычитания, деления и т.д.) был точно или приблизительно равен нечеткому числу с теми же L(y) и R(y), а параметры a¢ и b¢ результата не выходили за рамки ограничений на эти параметры для исходных нечетких чисел, особенно если результат в дальнейшем будет участвовать в операциях.

Замечание. Решение задач математического моделирования сложных систем с применением аппарата нечетких множеств требует выполнения большого объема операций над разного рода лингвистическими и другими нечеткими переменными. Для удобства исполнения операций, а также для ввода-вывода и хранения данных, желательно работать с функциями принадлежности стандартного вида.

Нечеткие множества, которыми приходится оперировать в большинстве задач, являются, как правило, унимодальными и нормальными. Одним из возможных методов аппроксимации унимодальных нечетких множеств является аппроксимация с помощью функций (L-R)-типа.

Примеры (L-R)-представлений некоторых лингвистических переменных:

 

Терм ЛП	(L-R)-представление	Графическое представление
Средний	А = (а, a, b)LR a = b> 0	a b
Малый	А = (а, ¥, b)LR a = ¥	a = ¥ b
Большой	А = (а, a, ¥ )LR b=¥	a b = ¥
Приблизительно в диапазоне	А = (а1, а2, a, ¥ )LR a = b> 0	a b a1 a2
Определенный	А = (а, 0, 0)LR a = b = 0	a = 0 b = 0
Разнообразный зона полной неопределенности	А = (а, ¥, ¥ )LR a = b = ¥	a = b = ¥

 

Литература

Заде Л.А. Понятие лингвистической переменной и его применение к принятию приближенных решений. М.: Мир, 1976.

Кофман А. Введение в теорию нечетких множеств. М.: Радио и связь, 1982.

Нечеткие множества в моделях управления и искусственного интеллекта /Под ред. Д.А. Поспелова. М., 1986.

Прикладные нечеткие системы /Под ред. Тэтано Т., Асаи К., Сугэно М: Мир, 1993.

Нечеткие множества и теория возможностей. Последние достижения / Под ред. Р.Ягера М.: Радио и связь, 1986.

Орловский С.А. Проблемы принятия решений при нечеткой исходной информации. М.: Наука, 1981.

Борисов А.Н., Крумберг О.А., Федоров И.П. Принятие решений на основе нечетких моделей. Примеры использования. Рига: / " Зинатне", 1990.

Малышев Н.Г., Берштейн Л.С., Боженюк А.В. Нечеткие модели для экспертных систем в САПР. М.: Энергоатомиздат, 1991.

Мелихов А.Н., Бернштейн Л.С., Коровин С.Я. Ситуационные советующие системы с нечеткой логикой. М.: Наука, 1990.

Р.Беллман, Л.Заде. Вопросы принятия решений в расплывчатых условиях // Вопросы анализа и процедуры принятия решений. / М.: Мир, 1976.

В. Я. Пивкин, Е. П. Бакулин, Д. И. Кореньков

123456789Следующая ⇒

Поделиться: