Расход при стационарном течении.

Течение называют стационарным, когда скорость не зависит от времени.

Рассмотрим течение жидкости в каком-либо трубопроводе через поперечные сечения и За единицу времени через сечение втекает объём а через вытекает объём Так как жидкость практически несжимаема, то в пространстве между и объём жидкости не меняется. Значит, объём входящей жидкости через сечение равен объёму выходящей жидкости через Иначе говоря, . Таким образом,

Условие постоянства расхода

(2.7)

Следовательно, там, где сечение больше, скорость меньше.

Одномерное течение. Уравнение Эйлера

Течение в одном направлении (вдоль определённой линии) называется одномерным.

В пространстве, где течёт жидкость, выделим неподвижный бесконечно малый объём в виде прямоугольного параллелепипеда (рис. 2.4). Введём систему координат Обозначив размеры параллелепипеда получим

(2.8)

Масса жидкости внутри равна

(2.9)

где – плотность жидкости. Укажем силы, действующие на эту массу (рис. 2.4).

Рис. 2.4

Наша цель – составить уравнение движения частиц жидкости. Для этого воспользуемся вторым законом Ньютона

Спроецируем векторы на ось

Подставим (2.9):

(2.10)

Левая часть – суммарная сила, действующая на массу Она равна

Так как то с учётом (2.8) это выражение можно упростить:

(2.11)

Подстановка (2.11) и (2.9) в (2.10) даёт

или

(2.12)

Найдём ускорение рассматриваемого элемента жидкости, находящегося внутри Оно равно ускорению частиц, расположенных на левой грани параллелепипеда.

Обозначим проекцию вектора скорости на ось Скорость частиц зависит от и от поэтому

Отсюда следует, что

(2.13)

Здесь время, за которое частицы, находящиеся на левой грани, пройдут расстояние Тогда

(2.14)

Подставим (2.14) в (2.13). Будем иметь отсюда

(2.15)

Осталось подставить (2. 15) в (2.12):

Разделив обе части на получим окончательно

Уравнение Эйлера

(2.8)

Уравнение Бернулли

Рассмотрим стационарное течение вдоль оси При стационарном течении скорость со временем не меняется, поэтому Уравнение Эйлера (2.8) примет вид

(а)

В поле силы тяжести Спроецируем на ось наклонённую под углом к вертикали (рис. 2.5). Получим Подставим в (а):

(б)

На рис. 2.5 видим, что когда координата растёт высота уменьшается поэтому Подставим в (б):

Рис. 2.5

(2.9)

У несжимаемой жидкости В этом случае равенство (2.9) запишется так:

Умножив все члены на получим

Уравнение Бернулли для несжимаемой и невязкой жидкости

(2.10)

З а д а ч а 1. В наклонном трубопроводе течёт вода (рис. 2.6). В сечениях с диаметрами м и м производится замер давлений. Разница давлений оказалась равной м ртутного столба. Определить расход воды, если кг/м³, кг/м³.

 В обоих сечениях расход одинаков:

Составим уравнение Бернулли для этих сечений:

где и – статические давления в обоих сечениях, и – высоты до обоих сечений, отсчитанные от общего горизонтального уровня (рис. 2.6).

Составим условие равенства давлений

Решим систему уравнений:

Из первых двух уравнений имеем:

(а)

Из четвёртого уравнения подставим в третье:

Подставим значения и из (а): Рис. 2.6

Отсюда

Скорость ударной волны

Гидравлический удар – резкое увеличение давления в трубопроводе при внезапной остановке движения в жидкости.

Гидравлический удар возникает при быстром закрытии задвижки, крана, при внезапной остановке насоса. Особенно опасен гидроудар в длинном трубопроводе, в котором движется большая масса жидкости с большой скоростью.

Представим себе горизонтальную трубу постоянного сечения в которой жидкость или газ, имеющий плотность и давление движется влево со средней скоростью (рис. 2.7).

Рис. 2.7

В момент времени быстро закроем задвижку. Передний, первый слой жидкости, столкнувшись с задвижкой, отразится вправо. Однако на него набежит второй слой, увеличит в нём давление и отразится. На второй слой набежит третий, увеличит давление и отразится. И т.д.

Таким образом, граница участка повышенного давления и повышенной плотности будет перемещаться в правую сторону, против течения жидкости, с некоторой скоростью, называемой скоростью распространения волны давления ( или ударной волны).

Обозначим через скорость распространения волны давления в неподвижной жидкости. За время волна давления должна была бы пройти вправо путь (рис. 2.6). Однако за это время набегающее течение снесёт волну давления назад на расстояние Поэтому в действительности волна давления пройдёт путь

Объём этого участка масса До момента (до столкновения с задвижкой) эта масса имела скорость а значит импульс

Через время эта масса стала неподвижной поэтому её импульс стал равен нулю. Следовательно, за время произошло изменение импульса, равное (а)

С другой стороны, за время давление на задвижку возросло на поэтому сила на задвижку возросла на Значит, за время произошло изменение импульса силы, равное (б)

Так как величины (а) и (б) равны, то

или (в)

На участке трубы длиной располагается сжатая масса Если бы масса не была сжата, она имела бы первоначальную плотность и занимала бы участок длины т.е. было бы Значит, или (г)

Равенства (в), (г) образуют систему уравнений

из которой находим (д)

Раскрыв скобки во втором уравнении системы, будем иметь

Обычно т.е. скорость движения частиц пренебрежимо мала по сравнению со скоростью распространения ударной волны. Поэтому Подстановка в (д) даёт

Формула вычисления скорости ударной волны, а также скорости звука в жидкости или газе

(2.11)

Скорость звука в газе

Зависимость плотности от давления ярко проявляется у газов: при увеличении давления на газ его плотность увеличивается. Кроме того, газ при сжатии нагревается. Теплопроводность у газа мала, поэтому тепло не успевает уходить из нагретых областей. Это значит, что для газа сжатие является адиабатным процессом (т.е. без передачи тепла). Адиабатный процесс для идеального газа описывается уравнением

(а)