Дифференциальные уравнения высших порядков.

Уравнения, допускающие понижения порядка

Дифференциальное уравнение

называется дифференциальным уравнением -го порядка.

Некоторые уравнения -го порядка интегрируется путем сведения к уравнению более низкого порядка. Рассмотрим некоторые из них.

1. Уравнение, содержащее независимую переменную и производную порядка :

Общее решение его находится путем последовательного -кратного интегрирования: .

2. Уравнение, не содержащее искомой функции:

, ,

то есть уравнение не содержит функцию и ее производные до -го порядка включительно. Делаем замену , которая позволяет понизить порядок данного уравнения на единиц. При этом получится уравнение . Проинтегрировав его, найдем общее решение , отсюда, . Путем -кратного интегрирования находим общее решение исходного уравнения.

3. Уравнение, не содержащее независимой переменной:

Можно понизить порядок данного уравнения на единицу с помощью подстановки . При этом принимается за переменную. Тогда , и т. д. Подставив эти производные в исходное уравнение, получим дифференциальное уравнение -го порядка на неизвестную функцию . Пусть решением полученного уравнения будет , следовательно, . Проинтегрировав последнее уравнение, найдем .

4. Уравнение в точных производных:

то есть левая часть данного уравнения может быть представлена в виде . Проинтегрировав его, мы получим новое уравнение -го порядка: .

5. Уравнение, однородное относительно функции и ее производных:

то есть справедливо равенство , .

Порядок уравнения в этом случае можно понизить на единицу с помощью подстановки , тогда , , …, . Здесь – новая неизвестная функция. Подставив все производные в исходное уравнение, получим уравнение -го порядка на функцию . Решив его, найдем , вернувшись к замене , получим , отсюда общее решение исходного уравнения имеет вид: .

Примеры решения задач

1. Найти общее решение дифференциального уравнения

Решение. Это уравнение вида . После первого интегрирования получим . Проинтегрировав второй раз, получим общее решение .

2. Найти частное решение дифференциального уравнения

, , , .

Решение. Проинтегрировав уравнение , получим

, ,

отсюда общее решение

С учетом начального условия имеем , то есть . Использование условия дает , отсюда . И, наконец, с помощью третьего начального условия найдем . Следовательно, частное решение таково: .

3. Найти решение дифференциального уравнения

Решение. Решив это уравнение относительно , как обычное квадратное уравнение, найдем и . Решив их, получим

, .

Тогда общее решение можно записать в виде общего интеграла

4. Найти решение дифференциального уравнения

Решение. Это уравнение, неразрешимое относительно . Сделав замену , получим

отсюда . Так как , то , . Тогда . Проинтегрировав полученный интеграл, найдем

Так как , то . Отсюда

Раскрыв скобки и проинтегрировав все интегралы, получим

Последнее равенство вместе с равенством дает параметрическое решение заданного уравнения.

5. Найти решение дифференциального уравнения

Решение. Сделав замену , получим уравнение первого порядка с разделяющимися переменными

отсюда имеем , или . Интегрируя, найдем

, или ,

следовательно, , или . Проинтегрировав, получим общее решение заданного уравнения: .

6. Найти решение дифференциального уравнения

Решение. После подстановки и получим , разделив переменные, найдем . Вычислив интегралы, после преобразований имеем , или . Это уравнение с разделяющимися переменными, которое интегрируется следующим образом: , , в итоге или, возведя обе части в квадрат, получим общее решение в виде общего интеграла: .

7. Найти решение дифференциального уравнения

Решение. Это уравнение в точных производных. Поделим обе части на функцию : , отсюда . Проинтегрировав, находим , или . Интегрируя еще раз, получим общее решение

8. Найти решение дифференциального уравнения

Решение. Это уравнение однородное относительно функции и ее производных. Сделав замену , после несложных преобразований найдем уравнение первого порядка на функцию :

, или .

Это линейное уравнение, решив его методом вариации постоянной или методом подстановки, получим . Вернувшись к функции , получим уравнение: , которое после интегрирования дает общее решение исходного уравнения .