Определение скоростей точек и угловых скоростей звеньев

 

План скоростей строится последовательно для отдельных структурных составляющих механизма в порядке, соответствующем синтезу механизма. Последовательность построения плана скоростей для одного положения механизма:

· Определяется скорость точки кривошипа, к которой присоединена первая группа Ассура, и строится вектор скорости этой точки в масштабе μ _v из точки Р, называемой полюсом плана скоростей. Конец вектора обозначается той же буквой (только строчной), что и соответствующая точка на плане положений.

_· Составляются векторные уравнения абсолютных скоростей точек в виде суммы переносной и относительной скоростей. В качестве переносного принимается движение точки, скорость которой известна, а относительное движение определяется в связи с этой точкой. Полученные уравнения решаются графически с использованием уже построенного вектора и известных направлений относительных скоростей.

_· Определяются истинные значения абсолютной и относительной скоростей рассматриваемой точки с помощью масштабного коэффициента.

_· Определяются величины и направления угловых скоростей звеньев, совершающих вращательное и плоскопараллельное движение, с помощью найденных относительных скоростей.

_· С помощью принципа подобия в плане скоростей, определяется скорость той точки данной группы Ассура, к которой свободным элементом кинематической пары присоединена следующая структурная группа, и строится вектор скорости этой точки на плане.

 В таком же порядке строится план скоростей, и определяются все кинематические параметры для последующих групп Ассура.

 По заданию кривошип вращается по часовой стрелке с угловой скоростью ω ₁=9.8с^-1.

Скорость точки А, принадлежащей оси шарнира, т.е. одновременно концу кривошипа и камню кулисы, равна

  V_A = ω ₁ * L_OA = 9.8 c ^-1 *0.15м = 1.5м/с

и направлена перпендикулярно положению звена ОА в сторону, соответствующую угловой скорости. Выбрав полюс Р и величину отрезка Ра, Изображающего скорости точки А (в данном примере Ра= 40мм), построим этот вектор и определим масштабный коэффициент.

 μ _v = V_A / Ра = 1, 5мс^-1 / 100мм = 0, 015мс^-1 / мм.

 Рассмотрим группу Ассура, присоединенную к кривошипу и состоящую из звеньев 2 и 3, т.е. из кулисы ВС и камня А. Скорости точек А и В известны: скорость точки А только что найдена, а скорость точки В равна нулю, так как она одновременно принадлежит и стойке. Следовательно, мы можем определить скорость точки, принадлежащей средней кинематической паре этой группы. Обозначим эту точку буквой А', поскольку на плане положений она совпадает с точкой А, но принадлежит другому звену – кулисе ВС. Составим два векторных уравнения, связывающих скорость точки А', с известными скоростями точек А и В:

  → → → →

  V_{A '} = V_A + V_{A ' A}; ( V_{A ' A} || BC )

  → → → →

  V_{A '} = V_B + V_{A ' B}; ( V_{A ' B} ┴ BC, V_B = 0) ,

 где V_{A ' A} – вектор скорости в относительном поступательном движении точки А' кулисы относительно точки А камня (направление ее известно – вдоль кулисы ВС, так как поступательная пара между звеньями 2 и 3 никакого другого относительного движения не допускает);

  V _{A ' B} – вектор скорости в относительном вращательном движении точки А' относительно точки В (направление ее также известно – перпендикулярно кулисе ВС, так как скорость во вращательном движении всегда перпендикулярна радиус - вектору точки)

 Решить систему векторных уравнений можно, если число неизвестных составляющих (величин и направлений) векторов, входящих в систему, не превышает удвоенного количества уравнений. В данном случае система содержит четыре неизвестные составляющие: величину и направление вектора V_{A '}, величину вектора V_{A ' A} и величину вектора V_{A ' B}. Следовательно, система решается.

 Для решения системы необходимо в масштабе, используя правило сложения векторов, построить эти уравнения из одной точки, в данном случае из полюса Р. Вектор Ра, изображающий скорость V_A, на плане уже есть; вектор скорости V_{A ' A} необходимо с ним сложить, поэтому через конец вектора V_A (через точку а на плане скоростей) проводим известное направление (линию, параллельную ВС ). Это все, что пока можно получить из первого уравнения системы.

 Из второго уравнения: скорость V_B = 0, следовательно, этот вектор представляет из себя точку, совпадающую с полюсом Р. Вектор V_{A ' B}, направление которого известно, необходимо сложить с вектором V_B, для чего через конец вектора V_B, (т.е. полюс) проводим нужное направление (линию, перпендикулярную ВС ) до пересечения с уже проведенной через точку а линией.

Точка их пересечения и дает искомое решение системы уравнений, т.е. определяет конец вектора скорости V_A', поэтому на плане скоростей эта точка получает обозначение а'.

 Действительное значение скорости точки А' равно:

  V_{A '} = Pa ' * μ _v = 76мм * 0, 015мс^-1/мм = 1.14м/с

Отрезок аа на плане изображает скорость V_{A ' A}, ее действительное значение также может быть определено произведением длины отрезка аа на масштабный коэффициент μ _v

  V_{A ' A} = aa ' * μ _v = 64мм * 0, 015мс^-1/мм = 0, 96м/с

 Скорость V_{A ' A} направлена от точки а к точке а' на плане скоростей (проверьте по правилу сложения векторов первое уравнение решенной системы).

 Далее определим угловую скорость звеньев 2 и 3 ( ω ₂=ω ₃ ), так как вращательное движение для них общее (относительное движение – поступательное)

 ω ₂ = ω ₃ = V_{A ' B} / L_{A ' B} = V_{A '} / АВ * μ _L = 1.14мс^-1 / (147мм * 0, 0038м/мм) = 2с^-1

 Вектор скорости точки А' относительно точки В равен вектору абсолютной скорости точки А', т.е. V_{A ' B} = V_{A '}. Расстояние от точки А' до точки В ( L_{A ' B} ) может быть определено с помощью плана положений.

 Направление угловой скорости ω ₃ определяется следующим образом: мысленно перенесем вектор скорости V_{A ' B} в соответствующую точку плана положений (точку А' ) и рассмотрим ее движение относительно точки В; ясно, что вращение звена 3 осуществляется по часовой стрелке, что и показано круговой стрелкой на плане положений механизма в положении 1.

 Затем в соответствии с предложенной выше последовательностью следует определить скорость точки С, к которой присоединена следующая группа Ассура. Воспользуемся принципом подобия: так как точки В, А', С, принадлежащие одному жесткому звену, расположены на плане положений на одной прямой, то и точки b, (она же полюс Р ) а', с тоже должны располагаться на одной прямой на плане скоростей. Из подобия фигур имеем

  Pa ' / BA ' = Pc / BC

 Следовательно

  Pδ = ( BC * Pa ') / BA ' = (171мм * 76мм) / 72мм = 88мм.

 Построим этот вектор на плане скоростей и определим

V_C = P_C * μ _V = 1.29м/с

  Теперь можно переходить к рассмотрению второй и последней в данном механизме группы Ассура, состоящей из звеньев 4 и 5 т.е. из шатуна BC и ползуна C.

 Необходимо определить скорость точки C, принадлежащей вращательной кинематической паре, т.е. одновременно звену B C и звену C. Так как звено 5 совершает поступательное движение, а значит, скорости всех точек этого звена равны и направлены в одну сторону – вдоль направляющей, то известно направление скорости точки C. Скорость точки B определена выше по правилу подобия. Составим векторное уравнение, связывающее скорость точек B и C:

  → → → →

V_C = V_B + V_CB ( V_CB ┴ CB ), V_C || направляющей,

 где V_DC – вектор скорости в относительном вращательном движении точки C относительно точки B, следовательно, направление этого вектора перпендикулярно положению звена B C на плане положений.

Так как полученное уравнение содержит всего две неизвестные составляющие – величины векторов V_C и V_CB , то оно может быть решено. Для этого через точку b на плане скоростей проведем линию, перпендикулярную положению звена CD на плане положений, а через полюс – линию, параллельную направляющей (вертикальную линию). Точка их пересечения есть точка c – конец вектора Pc, изображающего на плане скорость точки C. Тогда

V_B = P_B * μ _V = 0, 35м/с

 Отрезок dc на плане скоростейизображает скорость V_DC, которая направлена на плане в сторону точки d. Угловая скорость звена CD (ω ₄) может быть определена

  ω ₄ = V_BC / L_CB = ( cb * μ _V ) / L_CB = 6.6с^-1.

  Для определения направления угловой скорости звена BC следует мысленно поместить вектор относительной скорости V_CB в соответствующую точку плана положений, т.е. в точку C. Очевидно, что под действием этого вектора звено вращается по часовой стрелке.

Таким образом, строятся планы скоростей для всех положений механизма, приведенных на плане положений. Все планы можно строить из одного приведенного на плане положений. Все планы можно строить из одного полюса. Результаты расчетов сводят в таблицу, при этом в пояснительной записке не следует повторять формулы и расчеты для всех положений механизма.

 

 Значения скоростей точек и угловых скоростей звеньев механизма.

Положение механизма Кинематич. параметры	0(6)	1	2	3	k	4	5
VA	0	9, 8
VA'	0	1.14	1.6	0.9	0	0.6	1.4
VB	0	1.32	1.59	1.08	0	0.98	3.08
VC	0	1.29	1.60	1.05	0	0.95	3.60
ω 3	0	2.0	2.6	1.8	0	1.5	3.68
ω 4	0	6.60	0.16	0.42	0	0.44	0.37
VS3	0	0.65	0.80	0.53	0	0.48	1.80
VS4	0	1.30	1.59	1.05	0	0.29	3.75

 

⇐ Предыдущая123Следующая ⇒

Поделиться: