Задача 1. Погашение займа одним платежом.

Ссуда в сумме 5 млн. руб. выдана на 5 лет под 10% годовых. Определить размер платежа, если ссуда возвращается одним платежом в конце срока финансовой операции и начисляются простые проценты.

Решение

Величину платежа находим по формуле 

 при Р=5; r = 0, 1; n =5:

Размер платежа равен 7 500 000 руб.

Пусть заем в сумме Р выдан под r сложных ссудных процентов на n периодов. К концу финансовой операции величина займа составит величину

.

    Если предполагается возвращать займ одним платежом в конце срока финансовой операции, то величина F и есть размер возвращаемого платежа.

Задача 2. Погашение займа одним платежом.

Ссуда в сумме 5 млн. руб. выдана на 5 лет под 10% годовых. Определить размер платежа, если ссуда возвращается одним платежом в конце срока финансовой операции и начисляются сложные проценты.

Решение

Величину платежа находим по формуле

 при Р=5; r = 0, 1; n =5:

Размер платежа равен 8 052 550 руб.

Сам заем называется основным долгом, а наращиваемый добавок –процентными деньгами. Пусть заем в сумме Р выдан под r сложных ссудных процентов на n периодов. За первый год процентные деньги составят величину r × P. Если эти деньги выплатить, то останется только основной долг в размере Р. Таким же образом в конце каждого года (кроме последнего) выплачивается одна и та же величина r × P. В конце n -ного, последнего года, выплаты составят величину r × P+Р, процентные деньги и сумму основного долга.

    Общая сумма выплат за n периодов составит величину Р+ r × P × n = P (1+ nr ), т.е. операция погашения займа способом погашения основного долга одним платежом в конце эквивалентна наращению долга по схеме простых процентов по ставке r.

Задача 3. Погашение основного долга одним платежом.

Ссуда в сумме 5 млн. руб. выдана на 5 лет под 10% годовых. Определить общую сумму выплат, если ссуда возвращается способом «погашение основного долга одним платежом в конце срока финансовой операции».

Решение

Величина процентных платежей за 8 лет составит r × P × n =0, 1 × 5 × 5=2, 5

Общая сумма выплат составит 2, 5 млн.+ 5 млн. =7, 5 млн.руб.

Пусть заем в сумме Р выдан под r сложных ссудных процентов на n периодов. При погашении основного долга равными годовыми выплатами в конце каждого года выплачивается n -ная доля основного долга и проценты, начисленные на сумму долга, которой пользовались в течение года.

В конце первого года выплачивается доля основного долга, равная величине P / n и выплачиваются проценты с суммы Р, которой пользовались в течение года, равные величине r × P. Общий платеж в конце первого года равен величине P / n + r × P.

В конце второго года выплачивается доля основного долга, равная величине P / n и выплачиваются проценты с суммы (Р- P / n ), которой пользовались в течение года, равные величине r × (Р- P / n ). Общий платеж в конце второго года равен величине P / n + r × (Р- P / n ).

В общем случае в конце года k +1 общий платеж равен величине P / n + r × (Р- k × P / n ).

Платежи каждого года образуют арифметическую прогрессию с разностью 

d = r × P / n, первым членом a ₁ =P / n + r × P и последним членом a_n =P / n + r × P / n.

    Сумма n членов арифметической прогрессии равна

Величина выплат составит

Задача 4. Погашение основного долга равными годовыми выплатами

Ссуда в сумме 5 млн. руб. выдана на 5 лет под 10% годовых. Определить ежегодные выплаты и общую сумму выплат, если ссуда возвращается способом «погашение основного долга равными годовыми выплатами».

Решение

 Найдем сумму арифметической прогрессии

при Р=5000; r =0, 1; n =5:

5000+5000∙ 0.1(1+5) / 2=6500

Сумма ежегодных выплат  представлена в таблице.

 

Год	1	2	3	4	5
Основной долг	1000	1000	1000	1000	1000
Проценты	500	400	300	200	100
Сумма к выплате

1500