Дифференцирующее звено с замедлением.

Звено описывается уравнением:

Звено можно условно представить в виде двух включенных последовательно звеньев – идеального дифференцирующего и апериодического первого порядка.

На рис 10 изображены примеры дифференцирующих звеньев с замедлением. Наиболее часто употребляются электрические цепи (рис 10, а и б). В некоторых случаях используются дифференцирующие устройства, состоящие из гидравлического демпфера и пружины (рис. 10, в).

Рис. 10. Примеры дифференцирующих звеньев с замедлением

Составим, например, уравнение для дифференцирующего конденсатора (рис. 10, а). Ток в рассматриваемой цепи определяется уравнением:

откуда

Отсюда, решая эти уравнения относительно тока i, получим

Зная, что RC = T, получаем уравнение

Форсирующее звено.

Звено описывается уравнением:

Такое звено не существует в природе, его получают искусственно.

Инерционно-форсирующее звено.

Звено описывается уравнением:

Примером таких звеньев могут служить пассивные цепочки (рис.11):

Рис. 11. Пассивные RC -цепочки

В первой схеме преобладает форсирующий эффект (т.к. T₁> T₂), а во второй – инерционный (т.к. T₂> T₁).

3. Передаточные функции. Преобразование Лапласа и его свойства.

Одной из основных форм математической модели динамических звеньев является передаточная функция устройства, которая получается путём интегрального преобразования Лапласа дифференциального уравнения. Суще-ствует прямое преобразование Лапласа:

где f ( t ) – оригинал, F ( p ) – изображение.

Также существует обратное преобразование Лапласа:

Эти уравнения часто записывают в сокращенном виде:

Передаточная функция устройства определена как изображение выходной величины y ( p ) к изображению входной величины x ( p ) при нулевых начальных условиях. Обозначается:

В таблице 1 приведены основные свойства и теоремы преобразования Лапласа, которые используются при переходе к операторной форме дифферен-циального уравнения и определении передаточной функции.

Таблица 1. Преобразования Лапласа

Наименование	Оригинал	Изображение Лапласа
Свойство линейности
Теорема подобия
Теорема запаздывания
Теорема смещения в комплексной плоскости
Правило дифференцирования при нулевых начальных значениях
Правило интегрирования при нулевых начальных значениях
Теорема о конечном значении
Теорема о начальном значении
Единичная импульсная функция
Единичная ступенчатая функция
Неединичная ст. ф-ция

Таблица 1. (Окончание)

Наименование	Оригинал	Изображение Лапласа
Степенная функция
Экспонента
Смещенная экспонента
Синусоида
Косинусоида
Затухающая синусоида
Затухающая косинусоида

В частности, в этом случае используется свойство линейности и правило дифференцирования при нулевых начальных условиях.

Рассмотрим примеры получения передаточных функций типовых звеньев.

Безынерционное звено.

Перейдем к операторной форме:

Т.к. звено безынерционное (отсутствуют производные), для перехода к операторной форме использовалось только свойство линейности.

По определению передаточной функции:

Достоинством применения передаточных функций является возможность уйти от решения дифференциальных уравнений.

Инерционное звено.

При переходе к операторной форме необходимо использовать как свойство линейности, так и правило дифференцирования:

Преобразуя выражение, получим:

По определению передаточной функции из полученной выше пропорции получаем:

Следовательно, если известна передаточная функция и сигнал на входе устройства, всегда можно найти значение выходного сигнала:

Эта возможность говорит о том, что передаточная функция является динамическим коэффициентом передачи и такую модель можно изобразить структурно (рис.12):