Занятие 7 - Оптимизация раскроя листового материала

Цели работы:

· освоение методов решения задач оптимизации с использованием Excel

Постановка задачи:

В ходе настоящей работы необходимо создать электронную таблицу, позволяющую произвести оптимизацию раскроя листа для вырубки круглых заготовок. Схема, поясняющая постановку задачи приведена ниже.

 

 

Необходимо выбрать наилучшие размеры и найти наилучший вариант раскроя листа шириной B и длиной L. Диапазон возможного изменения длин листа: L=2000…3000 мм с шагом 100 мм, диапазон возможного изменения ширины листа: В=600…1100 мм с шагом 50 мм. Предварительно выбрана схема двухрядного косого раскроя, что определяется размерами штампового пространства используемого прессового оборудования.

Наилучший вариант раскроя обеспечивает наибольший коэффициент использования металла, который может быть рассчитан следующим образом:

 

 

Здесь N - количество заготовок, помещающихся на листе.

Для сравнения вариантов, одинаковых по величине коэффициента использования металла, можно использовать дополнительный показатель - площадь концевого отхода, остающегося при раскрое полосы. Можно ожидать, что чем больше эта площадь, тем с большей эффективностью можно использовать концевой отход для других производственных нужд. Для приведения этого критерия к безразмерному виду можно отнести величину площади концевого отхода к максимальной площади листа, который может быть использован. Как следует из изложенного выше, максимальная площадь листа составляет B_max´ L_max=1100´ 3000 мм². Тогда критерий площади концевого отхода может быть рассчитан как:

 

 

В качестве обобщенной целевой функции F (критерия качества), может быть использована аддитивная функция, в которой критерий площади концевого отхода z взят с весовым коэффициентом 0.1, как менее важный, по сравнению с критерием использования материала h.

 

 

В такой постановке целевая функция зависит от ширины и длины исходного листа, которые могут изменяться с определенным шагом и угла косого раскроя a, который может изменяться в общем случае в пределах от 0 до 90 градусов непрерывно.

Таким образом, задача оптимизации сформулирована следующим образом (см. курс " Основы автоматизированного проектирования" ):

· Целевая функция: F® max

· Вектор управляемых параметров: B, L, a

· Ограничения на управляемые параметры: B=600…1100 с шагом 50, L=2000…3000 с шагом 100, 0£ a£ 90

Ниже приведен возможный алгоритм вычисления целевой функции в рамках поставленной задачи. Для определенности варьируемым (управляемым) параметрам заданы начальные значения. Величина ширины перемычек a и a1 (см. чертеж) приняты постоянными для диаметров детали в пределах 100…200 мм.

 

	Наименование	Формула (пояснение)
1	Кратность по ширине *	iB=5 (варьируемый параметр iB=0…10)
2	Кратность по длине *	iL=5 (варьируемый параметр iL=0…10)
3	Угол косого раскроя	a=60 (варьируемый параметр 0£ a£ 90)
4	Ширина листа	B=600+50iB,
5	Длина листа	L=2000+100iL,
6	Диаметр детали	D=141
7	Ширина перемычек	a1=2
8		a=2, 5
9	Мин. ширина полосы
10	Количество полос	, округлить до меньшего целого
11	Шаг между заготовками в ряду **
12	Количество заготовок в ряду	, округлить до меньшего целого
13	Длина ряда
14	Наличие дополнительной заготовки в ряду ***
15	Количество заготовок в полосе	Nзп=2Nзр+Nдз
16	Количество заготовок в листе	N=NпNзп
17	Коэффициент использования металла
18	Ширина концевого отхода	Bo=B-NпBпmin
19	Целевая функция

 

Пояснения к алгоритму:

^* Поскольку ширина и длина листа могут изменяться не непрерывно, а с определенным шагом, то алгоритмически проще варьировать количеством таких шагов (их кратностью) несколько преобразовав формулу для определения соответственно ширины и длины шага (см. пп4, 5)

^** Шаг между заготовками в ряду при углах косого раскроя менее 60° увеличивается за счет того, что заготовки из соседних рядов при величине перемычки равной a1 начинают накладываться друг на друга.

^*** Дополнительную заготовку можно разместить в нижнем ряду в том случае, если длина ряда окажется меньше длины полосы на величину диаметра с учетом перемычки

При проведении занятия необходимо средствами Excel решить следующие задачи:

1. Используя алгоритм, приведенный выше, составить электронную таблицу, позволяющую рассчитать целевую функцию для произвольного диаметра D варьируя размерами листа и углом косого раскроя.

2. Проанализировать влияние угла раскроя на величину коэффициента использования металла, ширину концевого отхода и обобщенную целевую функцию при значения диаметра заготовки D=141 мм и D=120 мм, построив соответствующие графики.

3. Используя методы поиска решений в Excel определить все параметры для нахождения оптимального значения варьируемых параметров (угол раскроя и размеры листа)

4. Найти оптимальный раскрой листа для значения диаметра заготовки, заданного преподавателем.

Методы решения с использованием Excel:

Для решения задач оптимизации в Excel используют уже изученную нами надстройку Поиск решения, диалоговое окно которой вызывается по команде Сервис-Поиск решения (см. работу 3). Здесь мы поясним дополнительные возможности настройки алгоритма поиска решения. Окно настройки вызывают нажатием экранной клавиши Параметры диалогового окна Поиск решения.

 

 

Диалоговое окно " Параметры поиска решения" служит для изменения условия и вариантов поиска решения для линейных и нелинейных задач, а также для загрузки и сохранения оптимизируемых моделей. Значения и состояния элементов управления, используемые по умолчанию, подходят для решения большинства задач.

Максимальное время - Служит для ограничения времени, отпускаемого на поиск решения задачи. В поле можно ввести время (в секундах) не превышающее 32767; значение 100, используемое по умолчанию, подходит для решения большинства простых задач.

Итерации - Служит для управления временем решения задачи, путем ограничения числа промежуточных вычислений. В поле можно ввести время (в секундах) не превышающее 32767; значение 100, используемое по умолчанию, подходит для решения большинства простых задач.

Точность - Служит для задания точности, с которой определяется соответствие ячейки целевому значению или приближение к указанным границам. Поле должно содержать число из интервала от 0 (нуля) до 1. Чем меньше введенное число, тем меньше точность. Высокая точность увеличит время, которое требуется для того, чтобы сошелся процесс оптимизации.

Допустимое отклонение - Служит для задания допуска на отклонение от оптимального решения, если множество значений влияющей ячейки ограничено множеством целых чисел. При указании большего допуска поиск решения заканчивается быстрее.

Сходимость - Когда относительное изменение значения в целевой ячейке за последние пять итераций становится меньше числа, указанного в поле Сходимость, поиск прекращается. Сходимость применяется только к нелинейным задачам, условием служит дробь из интервала от 0 (нуля) до 1. Лучшую сходимость характеризует большее количество десятичных знаков ѕ например, 0, 0001 ѕ это меньшее относительное изменение, чем 0, 01. Лучшая сходимость требует больше времени на поиск оптимального решения.

Линейная модель - Служит для ускорения поиска решения линейной задачи оптимизации или линейной аппроксимации нелинейной задачи.

Показывать результаты итераций - Служит для приостановки поиска решения для просмотра результатов отдельных итераций.

Автоматическое масштабирование - Служит для включения автоматической нормализации входных и выходных значений, качественно различающихся по величине например, максимизация прибыли в процентах по отношению к вложениям, исчисляемым в миллионах рублей.

Значения не отрицательны - Позволяет установить нулевую нижнюю границу для тех влияющих ячеек, для которых она не была указана в поле Ограничение диалогового окна Добавить ограничение.

Оценка - Служит для указания метода экстраполяции (линейная или квадратичная) используемого для получения исходных оценок значений переменных в каждом одномерном поиске.

Линейная - Служит для использования линейной экстраполяции вдоль касательного вектора.

Квадратичная - Служит для использования квадратичной экстраполяции, которая дает лучшие результаты при решении нелинейных задач.

Производные - Служит для указания метода численного дифференцирования (прямые или центральные производные) который используется для вычисления частных производных целевых и ограничивающих функций.

Прямые - Используется для гладких непрерывных функций.

Центральные - Используется для функций, имеющих разрывную производную. Не смотря на то, что данный способ требует больше вычислений, он может помочь при получении итогового сообщения о том, что процедура поиска решения не может улучшить текущий набор влияющих ячеек.

Метод - Служит для выбора алгоритма оптимизации (метод Ньютона или сопряженных градиентов) для указания направление поиска.

Ньютона - Служит для реализации квазиньютоновского метода (метод второго порядка), в котором запрашивается больше памяти, но выполняется меньше итераций, чем в методе сопряженных градиентов.

Сопряженных градиентов - Служит для реализации метода сопряженных градиентов (метод первого порядка), в котором запрашивается меньше памяти, но выполняется больше итераций, чем в методе Ньютона. Данный метод следует использовать, если задача достаточно велика и необходимо экономить память, а также если итерации дают слишком малое отличие в последовательных приближениях.

Загрузить модель - Служит для отображения на экране диалогового окна Загрузить модель, в котором можно задать ссылку на область ячеек, содержащих загружаемую модель.

Сохранить модель - Служит для отображения на экране диалогового окна Сохранить модель, в котором можно задать ссылку на область ячеек, предназначенную для хранения модели оптимизации. Данный вариант предусмотрен для хранения на листе более одной модели оптимизации (первая модель сохраняется автоматически).

Дополнительно, к использованным ранее тригонометрическим функциям, функции ПИ () и функции РАДИАНЫ (), в данной задаче будут полезны следующие функции:

ЦЕЛОЕ (число): округляет число вниз до ближайшего целого.

Аргумент число, может быть числом, для которого вы хотите найти следующее наименьшее целое, либо ссылкой на ячейку, в которой вычисляется округляемое число, либо формулой, в результате которой будет получено округляемое число.

ЕСЛИ (логическое_выражение; значение_если_истина; значение_если_ложь): служит для получения в ячейке результата, зависящего от некоторых условий.

Аргумент логическое_выражение служит для записи условия, в котором сравниваются числа, функции, формулы. Любое логическое выражение должно содержать по крайней мере один оператор сравнения, который определяет отношение между элементами логического выражения. Такими операторами могут быть: > (больше), < (меньше), = (равно), < = (меньше либо равно), > = (больше либо равно), < > (не равно). В качестве аргументов логического выражения можно использовать числа, ссылки не другие ячейки, другие функции, а также формулы.

Аргументы значение_если_истина и значение_если_ложь представляют собой числа или формулы для вычисления чисел, которые должны использоваться для расчета значений в ячейке если значение логического выражения является соответственно истиной, либо ложью.

⇐ Предыдущая12345678Следующая ⇒

Поделиться: