Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология
Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии


Решение обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ)



Методичка MATLAB 2

 

1. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ)

1.1. Решатели (solver) ОДУ в MATLAB

1.2. Решение ОДУ первого порядка

1.3. Решение ОДУ n-го порядка

1.4. Решение систем ОДУ

2. Динамические системы (ДС)

2.1. Виды ДС

2.2. Фазовое пространство ДС

2.3. Кинематическая интерпретация системы ДУ

2.4. Эволюция ДС

2.5. Уравнения маятника

2.6. Пример решения системы ОДУ Ван-дер-Поля

3. Качественный анализ линейных ДС

3.1. Особые точки линейных ДУ

3.2. Фазовый портрет линейных ДС

4. Качественный анализ нелинейных ДС

4.1. Логистическое отображение

4.2. Особые точки нелинейных ДУ, бифуркация

4.3. Фазовый портрет нелинейных ДС

5. Уравнение ван-дер-Поля

6. Аттрактор Лоренца

7. Отображение Енона

 


 

Лабораторная работа № 1

ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Сформировать у студентов представления о применении ДУ в различных областях; привить умения решать задачу Коши для ДУ у¢ = f(x, y) на отрезке [a, b] при заданном начальном условии у0 = f(x0).

Решение обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ)

Решатели (solver) ОДУ в MATLAB

 

Анализ поведения многих систем и устройств в динамике, а также решение многих задач в теории колебаний обычно базируется на решении систем ОДУ. Их, как правило, представляют в виде системы из дифференциальных уравнений (ДУ) первого порядка в форме Коши:

 

  dy/dt = y′ = f(y, t) (1.1)

 

с граничными условиями y(t0, tend, p) = y, где tend, t0 начальные и конечные точки интервалов. Параметр t (независимая переменная) необязательно означает время, хотя чаще всего решение ДУ ищется во временной области. Система ДУ в форме Коши записывается аналогично (1.1), но под y в этом случае подразумевается вектор-столбец зависимых переменных. Вектор p задает начальные условия.

Для решения ДУ второго и высшего порядка их нужно свести к системе ДУ первого порядка.

Возможны ДУ, не разрешенные относительно производной:

  F(t, y, dy/dt) = 0. (1.2)

 

Уравнения (1.2) аналитически к форме (1.1) обычно привести не удается. Однако численное решение особых трудностей не вызывает достаточно для определения f(y, t) решить (1.2) численно относительно производной при заданных y и t.

 

Решатели ОДУ

 

Для решения систем ОДУ в MATLAB реализованы различные численные методы. Их реализации названы решателями ОДУ.

В этом разделе обобщенное название solver (решатель) означает один из возможных численных методов решения ОДУ: ode45, ode23, ode113, ode15s, ode23s, ode23t, ode23tb, bvp4c или pdepe.

Решатели реализуют следующие методы решения систем ДУ:

• ode45 одношаговые явные методы Рунге-Кутта 4-го и 5-го порядков в модификации Дорманда и Принца. Это классический метод, рекомендуемый для начальной пробы решения. Во многих случаях он дает хорошие результаты, если система решаемых уравнений нежесткая.

• ode23 одношаговые явные методы Рунге-Кутта 2-го и 4-го порядков в модификации Богацки и Шампина. При умеренной жесткости системы ОДУ и низких требованиях к точности этот метод может дать выигрыш в скорости решения.

• ode113 многошаговый метод Адамса-Башворта-Мултона переменного порядка класса предиктор-корректор. Это адаптивный метод, который может обеспечить высокую точность решения.

• ode15s многошаговый метод переменного порядка (от 1 до 5, по умолчанию 5), использующий формулы численного «дифференцирования назад». Это адаптивный метод, его стоит применять, если решатель ode45 не обеспечивает решения и система ДУ жесткая.

• ode23s одношаговый метод, использующий модифицированную формулу Розенброка 2-го порядка. Может обеспечить высокую скорость вычислений при низкой точности решения жесткой системы ДУ.

• ode23t неявный метод трапеций с интерполяцией. Этот метод дает хорошие результаты при решении задач, описывающих колебательные системы с почти гармоническим выходным сигналом. При умеренно жестких системах ДУ может дать высокую точность решения.

• ode23tb неявный метод Рунге Кутта в начале решения и метод, использующий формулы «дифференцирования назад» 2-го порядка в последующем. Несмотря на сравнительно низкую точность, этот метод может оказаться более эффективным, чем ode15s.

• bvp4c служит для проблемы граничных значений систем ДУ вида y′ = f(t, y), F(y(a), y(b), p) = 0 (полная форма системы уравнений Коши). Решаемые им задачи называют двухточечными краевыми задачами, поскольку решение ищется при задании граничных условий как в начале, так и в конце интервала решения.

Все решатели могут решать системы уравнений явного вида y′ = F(t, y), причем для решения жестких систем уравнений рекомендуется использовать только специальные решатели ode15s, ode23s, ode23t, ode23tb.

 

Использование решателей систем ОДУ

 

В описанных далее функциях для решения систем ДУ приняты следующие обозначения и правила:

tspan вектор, определяющий интервал интегрирования [t0 tfinal]. Для получения решений в конкретные моменты времени t0, t1, …, tfinal (расположенные в порядке уменьшения или увеличения) нужно использовать tspan = [t0 t1tfinal];

y0 вектор начальных условий;

• options аргумент, создаваемый функцией odeset (еще одна функция odeget или bvpget (только для bvp4c) позволяет вывести параметры, установленные по умолчанию или с помощью функции odeset/bvpset);

p1, p2,… произвольные параметры, передаваемые в функцию F;

T, Y матрица решений Y, где каждая строка соответствует времени, возвращенном в векторе-столбце T.

Перейдем к описанию синтаксиса функций для решения систем ДУ (под именем solver подразумевается любая из представленных выше функций).

• [T,Y]=solver(@F,tspan,y0) интегрирует систему ДУ вида y′ = F(t, y) на интервале tspan с начальными условиями y0. @F дескриптор ОДУ-функции (можно также задавать функцию в виде 'F'). Каждая строка в массиве решений Y соответствует значению времени, возвращаемому в векторе-столбце T.

• [T,Y]=solver(@F,tspan,y0,options) дает решение, подобное описанному выше, но с параметрами, определяемыми значениями аргумента options, созданного функцией odeset. Обычно используемые параметры включают допустимое значение относительной погрешности RelTol (по умолчанию 1e3) и вектор допустимых значений абсолютной погрешности AbsTol (все компоненты по умолчанию равны 1e6).

• [T,Y]=solver(@F,tspan,y0,options,p1,p2…) дает решение, подобное описанному выше, передавая дополнительные параметры p1, p2, … в m-файл F всякий раз, когда он вызывается. Используйте options=[], если никакие параметры не задаются.

 

Решение ОДУ первого порядка

 

 

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1. Изучить теоретическую часть. Выполните задания, соответствующие номеру Вашего варианта, и продемонстрируйте их преподавателю.

2. Оформите отчет по лабораторной работе, который должен содержать:

· титульный лист;

· исходные данные варианта;

· решение задачи;

· результаты решения задачи.

 

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

Пример

Найти решение дифференциального уравнения на отрезке [1,7; 2,7], для которого у(1,7) = 5,3.

Создаем в Command Window функция пользователя

 

g=@(x,y)[x-cos(y/pi)];

 

В синтаксисе функции @(x,y) x независимая переменная, y зависимая переменная, x-cos(y/pi) правая часть ДУ.

 

Процесс решения осуществляется обращением в Command Window к решателю (солверу) следующим оператором:

 

[x,ya]=ode23(g,[1.7,2.7],[5.3]);

 

Построение графика с сеткой осуществляется следующими операторами:

 

plot(x,ya)

grid on

 

Результат представлен на рис. 1.1

 

Рис. 1.2.1. Визуализация численного решения

ЗАДАНИЕ

1. Найдите решения ДУ первого порядка , удовлетворяющего начальным условиям у(х0) = у0 на промежутке [a, b].

2. Построить графики функции.

 

Варианты заданий.

 

№ варианта у(х0)=у0 [a, b]
y0(1,8)=2,6 [1,8; 2,8]
y0(0,6)=0,8 [0,6; 1,6]
y0(2,1)=2,5 [2,1; 3,1]
y0(0,5)=0,6 [0,5; 1,5]
y0(1,4)=2,2 [1,4; 2,4]
y0(1,7)=5,3 [1,7; 2,7]
y0(1,4)=2,5 [1,4; 2,4]
y0(1,6)=4,6 [1,6; 2,6]
y0(1,8)=2,6 [1,8; 2,8]
y0(1,7)=5,3 [1,7; 2,7]
y0(0,4)=0,8 [0,4; 1,4]
y0(1,2)=1,4 [1,2; 2,2]

 


 

Лабораторная работа № 2

Решение систем ОДУ

 

ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Сформировать у студентов представления о применении систем ДУ в различных областях; привить умения решать задачу Коши для систем ДУ.

 

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1. Изучить теоретическую часть. Выполните задания, соответствующие номеру Вашего варианта, и продемонстрируйте их преподавателю.

2. Оформите отчет по лабораторной работе, который должен содержать:

· титульный лист;

· исходные данные варианта;

· решение задачи;

· результаты решения задачи.

 

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

 

Пример

Решить систему при данных начальных условиях с использованием решателя ode23().

Решение:

1. Создать в редакторе m-файл функции вычисления правых частей ДУ.

Пусть имя в редакторе файла sisdu.m, тогда функция может иметь следующий вид:

 

function z=sisdu(t,y)

z1=-3*y(2)+cos(t)-exp(t);

z2=4*y(2)-cos(t)+2*exp(t);

z=[z1;z2];

2. Выполнить следующие действия:

>> t0=0;tf=5;y0=[-3/17,4/17];

>> [t,y]=ode23('sisdu',[t0,tf],y0);

>> plot(t,y)

>>grid on

 

 

Рис. 1.3.1. Визуализация численного решения, полученного с помощью функции ode23.

 

ПРИМЕРНЫЕ ВОПРОСЫ НА ЗАЩИТЕ РАБОТЫ

 

1. Что значит решить задачу Коши для системы ДУ?

2. Какие существуют методы решения систем ДУ?

 

ЗАДАНИЕ

 

1. Найдите решение системы ДУ

удовлетворяющее начальным условиям на промежутке [0, 1];

2. Построить графики функций.

 

Для примера приводится функция решения 8-го варианта:

 

function z=ssisdu(t,y)

% вариант 8

a=0.8;m=2.7;

z1=-a*y(1)+a*y(2);

z2=a*y(1)-(a-m)*y(2)+2*m*y(3);

z3=a*y(2)-(a-m)*y(3)+3*m*y(4);

z4=a*y(3)-3*m*y(4);

z=[z1;z2;z3;z4];

 

>> [t,y]=ode23('ssisdu',[0 1],[1 0 0 0]);

>> plot(t,100*y)

>>grid on

 

 

Рис. 1.3.2. Визуализация численного решения, полученного с помощью функции ode23.

 

Варианты заданий.

 

№ варианта Задания
a m
0,1 1,2
0,2 1,5
0,3 1,7
0,4 1,9
0,5
0,6 1,9
0,7 2,3
0,8 2,7
0,9
0,1 1,5
0,2 1,1
0,3

 


 

 

Лабораторная работа № 3

 

1.4Решение ОДУ n-го порядка

 

ЦЕЛЬ РАБОТЫ

 

Сформировать у студентов представления о применении ДУ высших порядков в различных областях; привить умения решать задачу Коши для ДУ высших порядков с помощью прикладных программ; развить навыки проверки полученных результатов.

 

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

 

1. Изучить теоретическую часть. Выполните задания, соответствующие номеру Вашего варианта, и продемонстрируйте их преподавателю.

2. Оформите отчет по лабораторной работе, который должен содержать:

· титульный лист;

· исходные данные варианта;

· решение задачи;

· результаты решения задачи.

 

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

Пример 1.

Решить ДУ второго порядка при данных начальных условиях .

Решение:

Сначала приведем ДУ к системе:

1. Создать m-файл функции вычисления правых частей ДУ.

Пусть имя файла sisdu_3.m, тогда функция может иметь следующий вид:

 

function z=sisdu_3(x,y)

z1=y(2);

z2=6*x*exp(x)+2*y(2)+y(1);

z=[z1;z2];

2. Выполнить следующие действия:

>> x0=0;xf=10;y0=[0,1];

>> [x,y]=ode23('sisdu_3',[x0,xf],y0);

>> plot(x,y(:,1))

>>grid on

 

 

 

Рис. 1.4.1. Визуализация численного решения, полученного с помощью функции ode23.

 

ПРИМЕРНЫЕ ВОПРОСЫ НА ЗАЩИТЕ РАБОТЫ

1. Что значит решить задачу Коши для ДУ высших порядков?

2. Как привести ДУ m-го порядка к системе ДУ?

ЗАДАНИЕ

1. Найдите решение ДУ, удовлетворяющее начальным условиям на промежутке [0, 10].

2. Построить графики функций.

 

Варианты заданий.

№ варианта Задания
Уравнения Начальные условия

 


 

Лабораторная работа № 4 – 5

 

Динамические системы (ДС)

 

ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Знакомство студентов с основными понятиями ДС, их классификация, фазовое пространство ДС, кинематическая интерпретация системы ДУ, эволюция ДС. Уравнение движения маятника. Динамика осциллятора Ван дер Поля.

 

2. Динамическая система (ДС) математический объект, соответствующий реальным системам (физическим, химическим, биологическим и др.), эволюция которых однозначно определяется начальным состоянием. ДС определяется системой уравнений (дифференциальных, разностных, интегральных и т.д.), допускающих существование на бесконечном интервале времени единственность решения для каждого начального условия.

Состояние ДС описывают набором переменных, выбираемых из соображений естественности их интерпретации, простоты описания, симметрии и т.п. Множество состояний ДС образует фазовое пространство, каждому состоянию отвечает точка в нём, а эволюция изображается (фазовыми) траекториями. Чтобы определить близость состояний, в фазовом пространстве ДС вводят понятие расстояния. Совокупность состояний в фиксированный момент времени характеризуется фазовым объёмом.

Описание ДС в смысле задания закона эволюции также допускает большое разнообразие: оно осуществляется с помощью дифференциальных уравнений, дискретных отображений, с помощью теории графов, теории марковских цепей и т.д. Выбор одного из способов описания задает конкретный вид математической модели соответствующей ДС.

Математическая модель ДС считается заданной, если введены динамические переменные (координаты) системы, определяющие однозначно ее состояние, и указан закон эволюции состояния во времени.

В зависимости от степени приближения одной и той же системе могут быть поставлены в соответствие различные математические модели. Исследование реальных систем идет по пути изучения соответствующих математических моделей, совершенствование и развитие которых определяется анализом экспериментальных и теоретических результатов при их сопоставлении. В связи с этим под динамической системой мы будем понимать именно ее математическую модель. Исследуя одну и ту же ДС (к примеру, движение маятника), в зависимости от степени учета различных факторов мы получим различные математические модели.

 

Совершать полные вращения

 

Предположим, что мы хотим с точностью до 0.001 найти наименьшее значение начальной скорости, которая требуется, чтобы заставить маятник, начинающий движение из своего исходного положения, выполнить полное вращение один раз. Будет полезно показать решения, которые соответствуют нескольким различным начальным скоростям на одном графике.

Сначала мы рассмотрим целые значения скорости в промежутке от 5 до 10.

 

>> hold on

>> for а = 5:10

[t, xa] = ode45(g, [0:0.01:20], [0 а]);

plot(xa(:, 1), xa(:, 2))

end

>> hold off

 

Рис. 4.

 

Начальные скорости 5, 6 и 7 не являются достаточно большими (рис. 4), чтобы увеличить угол более π, но начальные скорости 8, 9 и 10 достаточны, чтобы заставить маятник совершать полный оборот. Посмотрим, что происходит на промежутке между 7 и 8.

 

Второй шаг

 

>> hold on

>> for а = 7.0:0.2:8.0

[t, ха] = ode45(g, [0:0.01:20], [0 а]);

plot(xa(:, 1), xa(:, 2))

end

>> hold off

 

Рис. 5.

 

Можно заметить (рис. 6), что ответ находится где-то между 7.2 и 7.4. Давайте выполним еще одно уточнение.

 

Третий шаг

 

>> hold on

>> for а = 7.2:0.05:7.4

[t, ха] = ode45(g, [0:0.01:20], [0 а]);

plot(xa(:, 1), ха(:, 2))

end

» hold off

 

Рис. 6.

 

Следует сделать вывод, что наименьшая необходимая скорость с точностью 0,01 находится где-то между 7.25 и 7.3 (рис. 7 и 8).

 

Четвертый шаг

 

for a = 7.25:0.01:7.3

[t, xa] = ode45(g, [0:0.01:20], [0 a]);

plot(xa(:, 1), xa(:, 2))

end

 

Рис. 7.

Для более точного анализа увеличим область графика, где происходит смена режима колебания.

 

Рис. 8.

 

Видно, что наименьшая необходимая скорость находится где-то между 7.29 и 7.3.

Следует продолжить нахождение более точного значения скорости смены режима колебания.

 

Динамика осциллятора Ван дер Поля при w2 = 2 и c = 1

 

Предельный цикл – устойчивый режим периодических колебаний в нелинейных системах после завершения переходных процессов

 

 

 

Файл-функция, для этих параметров, имеет следующий вид (см. Андреев 2013, с. 117):

 

function dydt = vdp1(t,y)

dydt = zeros(2,1); dydt(1) = y(2);

dydt(2) = 1*(1-y(1).^2).*y(2)-2*y(1);

 

При начальном положении на предельном цикле (х0 = 2, v0= 0) вызов файл-функции имеет следующий вид:

 

[t,y] = ode23(@vdp1,[0 25],[2;0]);

 

Следующий оператор дает возможность получить зависимость х и v от времени

 

plot(t,y(:,1),t,y(:,2)), grid on

 

Результат показан на рис. 1.

 

Рис. 1.

 

Следующий оператор дает возможность получить фазовый портрет системы (рис. 2):

 

plot(y(:,1),y(:,2)), grid on

 

Рис. 2.

 

Если взять начальные данные вне цикла (х0 = -0.5, v0= 5) вызов файл-функции имеет следующий вид:

 

[t,y] = ode23(@vdp1,[0 25],[-0.5;5]);

 

Результат показан на рис. 3.

Рис. 3.

 

Фазовый портрет показан на рис. 4.

 

Рис. 4.

 

Если взять начальные данные внутри цикла (х0 = -0.05, v0= -0.05) вызов файл-функции имеет следующий вид:

 

[t,y] = ode23(@vdp1,[0 50],[-0.05; -0.05]);

 

Результат показан на рис. 5.

 

Рис. 5.

 

Фазовый портрет показан на рис. 6.

 

Рис. 6.

 

Лабораторная работа № 6 – 7

 

ЦЕЛЬ РАБОТЫ

 

Рассмотрим линейную однородную систему с постоянными коэффициентами:

 

  (1)

 

Координатную плоскость xOy называют ее фазовой плоскостью (ФП). Через любую точку плоскости проходит одна и только одна фазовая кривая (траектория) (ФТ). В системе (1) возможны три типа ФТ:

· точка,

· замкнутая кривая,

· незамкнутая кривая.

Точка на ФП соответствует стационарному решению (положению равновесия, точке покоя) системы (1), замкнутая кривая периодическому решению, а незамкнутая непериодическому.

 

Положения равновесия ДС

 

Положения равновесия системы (1) найдем, решая систему:

 

  (2)

 

Система (1) имеет единственное нулевое положение равновесия, если определитель матрицы системы:

 

 

   

 

Если же det A = 0, то, кроме нулевого положения равновесия, есть и другие, так как в этом случае система (2) имеет бесконечное множество решений.

Качественное поведение ФТ (тип положения равновесия) определяется собственными числами матрицы системы.

 

Классификация точек покоя

 

Собственные числа матрицы системы найдем, решая уравнение:

 

  (3)

 

Заметим, что a + d = tr A (след матрицы) и ad bc = det A.

Классификация точек покоя в случае, когда det A ≠ 0, приведена в таблице:

 

 

Устойчивость точек покоя

 

Собственные значения матрицы системы (1) однозначно определяют характер устойчивости положений равновесия:

 

 

Фазовые портреты

 

 

 

 

 

 

Бесконечное множество точек покоя

 

Если det A = 0, то система (1) имеет бесконечное множество положений равновесия. При этом возможны три случая:

 

 

Во втором случае любая точка покоя устойчива по Ляпунову. В первом же случае только, если l2 < 0.

 

 

 

Направление на фазовой кривой указывает направление движения фазовой точки по кривой при возрастании t.

 

Правила определения типа точки покоя

 

Можно определить тип точки покоя и характер ее устойчивости, не находя собственных значений матрицы системы (1), а зная только ее след tr A и определитель det A.

 

 

Бифуркационная диаграмма

 

 

Алгоритм построения фазового портрета ЛДС (1)

 

1.Определить положения равновесия, решив систему уравнений:

 

 

2. Найти собственные значения матрицы системы, решив характеристическое уравнение:

 

3. Определить тип точки покоя и сделать вывод об устойчивости.

4. Найти уравнения главных изоклин горизонтальной и вертикальной, и построить их на фазовой плоскости.

5. Если положение равновесия является седлом или узлом, найти те фазовые траектории, которые лежат на прямых, проходящих через начало координат.

6. Нарисовать фазовые траектории.

7. Определить направление движения по фазовым траекториям, указав его стрелками на фазовом портрете.

 

Главные изоклины

 

 

Заметим, что точка покоя на фазовой плоскости это пересечение главных изоклин. Вертикальную изоклину на фазовой плоскости будем помечать вертикальными штрихами, а горизонтальную горизонтальными.

 

Фазовые траектории

 

Если положение равновесия является седлом или узлом, то существуют фазовые траектории, которые лежат на прямых, проходящих через начало координат.

Уравнения таких прямых можно искать в виде y = kx. Подставляя y = k x в уравнение:

 

 

для определения k получим:

 

  (4)

 

(Уравнения прямых, содержащих фазовые траектории, можно искать и в виде x = ky . Тогда для нахождения коэффициентов следует решить уравнение

Дадим описание фазовых траекторий в зависимости от количества и кратности корней уравнения (4).

 

Фазовые траектории

 

 

 

* Если уравнения прямых ищутся в виде x = ky, тогда это будут прямые x= k1 y и y = 0.

 

 

Если положение равновесия является центром, то фазовые траектории являются эллипсами.

Если положение равновесия является фокусом, то фазовые траектории являются спиралями.

В случае, когда ЛДС имеет прямую точек покоя, то можно найти уравнения всех фазовых траекторий, решив уравнение:

 

 

Его первый интеграл ax + by = C и определяет семейство фазовых прямых.

 

Направление движения

 

Если положение равновесия является узлом или фокусом, то направление движения по фазовым траекториям определяется однозначно его устойчивостью (к началу координат) или неустойчивостью (от начала координат).

Правда, в случае фокуса требуется установить еще и направление закручивания (раскручивания), спирали по часовой или против часовой стрелки. Это можно сделать, например, так. Определить знак производной y’(t) в точках оси x.

Если положение равновесия является центром, то направление движения по фазовым траекториям (по часовой стрелке или против) можно определить так же, как устанавливается направление «закручивания (раскручивания)» траектории в случае фокуса.

Следовательно, если положение равновесия седло, то достаточно установить направление движения по какой-нибудь траектории. И далее можно однозначно установить направление движения по всем остальным траекториям.

 

Направление движения (седло)

 

Чтобы установить направление движения по фазовым траекториям в случае седла, можно воспользоваться одним из следующих способов:

1 способ

Определить, какая из двух сепаратрис соответствует отрицательному собственному значению. Движение по ней происходит к точке покоя.

2 способ

Определить, как изменяется абсцисса движущейся точки по любой из сепаратрис. Например, для y = k1x имеем:

 

 

Если x(t) → 0 при t → +∞, то движение по сепаратрисе y = k1x происходит к точке покоя.

Если x(t) → ±∞ при t→+∞, то движение происходит от точки покоя.

3 способ

Если ось x не является сепаратрисой, определить как изменяется ордината движущейся точки по фазовой траектории при пересечении оси x.

Когда если x > 0,то ордината точки возрастает и, значит, движение по фазовым траекториям, пересекающим положительную часть оси x, происходит снизу вверх. Если же ордината убывает, то движение будет происходить сверху вниз.

Если определять направление движение по фазовой траектории, пересекающей ось y, то лучше анализировать изменение абсциссы движущейся точки.

4 способ

 

Пример 1.

 

 

1. Система имеет единственное нулевое положение равновесия, так как

det A = 6 ≠ 0.

2. Построив соответствующее характеристическое уравнение l2 6 = 0, найдем его корни l1,2 = ± Ö6. Корни вещественные и разного знака. Следовательно, положение равновесия седло.

3. Сепаратрисы седла ищем в виде y = kx.

 

 

4. Вертикальная изоклина: x + y = 0.

Горизонтальная изоклина: x 2y = 0.

 

 

 

 

Пример 2.

 

 

1. Система имеет единственное нулевое положение равновесия, так как det A = 10 ≠ 0.

2. Построив соответствующее характеристическое уравнение l2 7l + 10 = 0,

найдем его корни l1 = 2, l2 = 5. Следовательно, положение равновесия неустойчивый узел.

3. Прямые: y = kx.

 

 

4. Вертикальная изоклина: 2x + y = 0.

Горизонтальная изоклина: x + 3y = 0.

 

 

 

Пример 3.

 

 

1. Система имеет единственное нулевое положение равновесия, так как det A = 18 ≠ 0.

2. Построив соответствующее характеристическое уравнение l2 + 3l + 18 = 0,

найдем его дискриминант D = 63. Так как D < 0, то корни уравнения комплексные, причем Re l1,2 = 3/2. Следовательно, положение равновесия устойчивый фокус.

3. Вертикальная изоклина: x + 4y = 0.

Горизонтальная изоклина: 2x y = 0.

Фазовые траектории являются спиралями, движение по которым происходит к началу координат. Направления «закручивания траекторий» можно определить следующим образом.

 

 

Пример 4.

 

 

1. Система имеет единственное нулевое положение равновесия, так как det A = 3 ≠ 0.

2. Построив соответствующее характеристическое уравнение l2+3 = 0, найдем его корни l1,2 = ±iÖ3. Следовательно, положение равновесия центр.

3. Вертикальная изоклина: x 4y = 0.

Горизонтальная изоклина: x y = 0.

Фазовые траектории системы эллипсы.

Направление движения по ним можно установить, например, так.

 

 

Пример 5 (вырожденный узел)

 

 

1. Система имеет единственное нулевое положение равновесия, так как det A = 4 ¹ 0.

2. Построив соответствующее характеристическое уравнение l2 + 4l + 4 = 0, найдем его корни l1 = l2 = 2. Следовательно, положение равновесия неустойчивый вырожденный узел.

3. Прямая: y = kx.

 

 

4. Вертикальная изоклина: 2x + y = 0.

Горизонтальная изоклина: x + 3y = 0.

 

 

 

Пример 6.

 

 

Так как определитель матрицы системы det A = 0, то система имеет бесконечно много положений равновесия. Все они лежат на прямой y = 2x.

Построив соответствующее характеристическое уравнение l2 + 5l = 0,

найдем его корни l1=0, l2=5. Следовательно, все положения равновесия устойчивы по Ляпунову.

Построим уравнения остальных фазовых траекторий:

 

 

Таким образом, фазовые траектории лежат на прямых

 

 

Пример 7.

 

 






Читайте также:

  1. III 7 Взаимодействие аллельных и неаллельных генов с решением
  2. III. Борьба за разрешение восточного вопроса.
  3. III.3. Композиционное и пространственное решение пейзажей
  4. VIII. Дополнения из самого раннего детства. Разрешение
  5. Внешние факторы, воздействующие на решение о ценах
  6. Все выводы должны быть записаны в тетради ПОДРОБНО, каждый отвечающий должен уметь воспроизвести решение, не используя тетрадь.
  7. Германские государства в первой половине XIX в. (до 1864 г.): Решение судеб Германии на Венском конгрессе. Особенности политического развития Германских государств. Первые попытки объединения страны.
  8. Глава 4. Нормальная наука как решение головоломок
  9. Глава 60. Рассмотрение и разрешение индивидуальных трудовых споров
  10. Глава 61. Рассмотрение и разрешение коллективных трудовых споров
  11. Исследование систем линейных уравнений.
  12. Какое решение должен принять суд?


Последнее изменение этой страницы: 2016-03-17; Просмотров: 151; Нарушение авторского права страницы


lektsia.com 2007 - 2017 год. Все права принадлежат их авторам! (0.238 с.) Главная | Обратная связь