Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология
Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии


Тема. Численные методы решения задач линейной алгебры,



Метод Гаусса

Задание

1. Решить систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) .

2. Вычислить определитель и обратную матрицу для матрицы А методом исключения Гаусса.

3. Сделать выводы о корректности задачи (существование, единственность, устойчивость решения относительно исходных данных).

Порядок выполнения работы

1. Для расчета используйте матрицу А из приложения 2. Вектор свободных членов задайте произвольно.

2. Решите полученную СЛАУ методом Гаусса.

Ø прямой ход: привести СЛАУ к эквивалентной системе с треугольной матрицей системы, т.е.

Ø обратный ход: последовательно вычислить неизвестные хn,..,х2, х1

3. Проверьте полученное решение СЛАУ, используя надстройку Excel поиск решения применительно к исходной системе .

4. Вычислите вручную определитель матрицы А методом Гаусса.

5. Вычислите вручную матрицу А-1, обратную матрице A, методом Гаусса. Проверьте расчеты на ЭВМ, используя матричные функции Excel. Проанализируйте полученные результаты.

6. Вычислите нормы матриц А и А-1 (можно вручную).

7. Исследуйте обусловленность матрицы, вычислив меру обусловленности m(А). Сделайте заключение об обусловленности матрицы Aи заданной системы.

8. Задайте небольшое возмущение исходных данных (только один элемент матрицы А,(~0.1)) и снова решите систему, используя надстройку поиск решения. Проанализируйте, как изменились результаты.

9. Проанализировав полученные данные, сделайте заключение о корректности исходной задачи (существование, единственность, устойчивость решения).

 

Решение СЛАУ с использованием приложения Microsoft Excel

Пример 2.1.Найти решение системы линейных алгебраических уравнений (2.1) используя алгоритм метода Гаусса

, (2.1)

Расчетная схема метода Гаусса приведена на рис (2.1).

 
 

Рис.2.1.

Пример 2.2: Сделать проверку полученного решения СЛАУ из примера 2.1, используя надстройку Поиск решения.

При решении СЛАУ с помощью надстройки приложение Excel использует итерационные (приближенные) методы. Строится последовательность приближений, i=0,1,…n. Назовем вектором невязок вектор:

(2.2)

Задача Excel заключается в том, чтобы найти такое приближение, при котором вектор невязок был бы нулевым, т.е. добиться совпадения значений правых и левых частей системы .

 

Последовательность действий:

1. Заготовьте таблицу, как показано на рис.2.2.

 
 

Рис.2.2.

2. Заготовьте ячейки А7:С7, где будет сформировано решение системы 1, х2, х3). Первоначально они остаются пустыми, т.е. равными нулю. Однако для контроля правильности вводимых далее формул, удобно ввести в эти ячейки какие-либо значения, например единицы. Эти значения можно рассматривать как нулевое приближение решения системы, .

3. Введите коэффициенты системы (матрицу А) в ячейки А3:С5.

4. В столбец D введите выражения для вычисления левых частей исходной системы . Для этого можно использовать функцию СУММПРОИЗВ, принадлежащую категории Математические.

5. В столбец Е запишите значения правых частей системы (матрицу В).

6. В столбец F введите невязки в соответствии с формулой (2.2). Будет не лишним проверить правильность вычислений для случая .

7. Выберите команду меню Сервис\Поиск решения. В окне Поиск решения (рис.2.3) в поле Изменяемые ячейки укажите блок $А$7:$С$7, а в поле Ограничения – $F$3:$F$5=0. Для этого надо щелкнуть на кнопке Добавить и ввести эти ограничения.

 

 

Рис. 2.3.

 

Полученное решение системы (2.1.) х1=1; х2=-1 х3=2 получено в ячейках А7:С7, рис.2.2.


Лабораторная работа №3

Тема. Итерационные методы решения систем линейных алгебраических систем уравнений (методы Якоби и Гаусса-Зейделя)

Задание.Решить СЛАУ методами Якоби и Гаусса-Зейделя с заданной точностью e. Проанализировать результаты решения в зависимости от e=0,1; 0,01; 0,001.

Сравнить результаты решения, полученные двумя методами, сделать соответствующие выводы.

Порядок выполнения работы

1. Для расчета используйте СЛАУ из приложения 3 в соответствии с вариантом.

2. Решите заданную вариантом СЛАУ методам Якоби с точностью e=0,01. Проанализируйте сходимость итерационного процесса.

3. Если итерационный процесс получился расходящимся, преобразуйте исходную систему к виду, пригодному для построения итерационного процесса, т.е. к системе с «преобладанием диагональных элементов» матрицы системы.

4. Проверьте правильность сделанных преобразований, решив обе СЛАУ с использованием надстройки Поиск решения.

5. Решите вручную систему методами Якоби и Гаусса-Зейделя, вычислив по три итерации. В качестве нулевого приближения возьмите нулевой вектор. Сделайте вывод о продолжении или прекращении итерационного процесса для e=0,1.

6. Решите систему методами Якоби и Гаусса-Зейделя, используя приложение Excel (на разных листах книги). Расчетная схема приведена на рис.3.1.

7. Проанализируйте характер полученных решений для различных значений e =0,1; 0,01; 0,001.

8. Проследите сходимость итерационного процесса, построив графики изменения каждой компоненты решения в зависимости от номера итерации (рис.3.2).

9. Используяоценку числа итераций, дающую ответ с заданной точностью e, вычислите количество итераций и сравните это число с полученными выше результатами.

 






Читайте также:

Последнее изменение этой страницы: 2016-03-15; Просмотров: 183; Нарушение авторского права страницы


lektsia.com 2007 - 2017 год. Все права принадлежат их авторам! (0.09 с.) Главная | Обратная связь