ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ СТАЦИОНАРНОГО СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 4Следующая ⇒

В том случае, когда преобразуемая случайная функция X (t) задана своей спектральной плотностью S_x(ω ) и требуется определить спектральную плотность S_y (т) преобразованной случайной функции Y(t).

Желательно, иметь метод, позволяющий непосредственно по известной спектральной плотности преобразуемой функции при заданных свойствах линейного оператора сразу определить спектральную плотность преобразованной функции.

При гармоническом анализе детерминированных функций с этой целью используется еще одна характеристика линейного оператора, описывающая его свойства в частотной области. Это комплексная функция частоты k(jω ) = K(ω )e ^-^j^j⁽^ω⁾, получившая звание передаточной функции оператора. Ее модуль Κ (ω ), и аргумент φ (ω ) соответственно показывают, как изменяются амплитуда и фаза каждой гармонической составляющей спектра преобразуемой функции после действия на нее линейного оператора. Модуль передаточной функции K(ω ) в гармоническом анализе называют амплитудно-частотной, а аргумент φ (ω )—фазочастотной характеристиками оператора.

Известно [2], что передаточная функция k( jω ) и импульсная переходная характеристика h (τ ) линейного оператора связаны парой преобразований Фурье

(2.5.24)

Исходя из свойств передаточной функции, амплитудно-фазовый спектр A_y ( j ω ) детерминированной функции у (t), полученной в результате линейного преобразования детерминированной функция x (t) определяется выражением

(2.5.25)

где A_x(jw) — амплитудно-фазовый спектр функции x(t), определяемый формулой (2.4.3); k(j ω )—передаточная функция линейного оператора.

Однако непосредственное использование (2.5.25) для определения спектральной плотности в случае линейного преобразования случайной функции не представляется возможным. Это объясняется тем, что, как уже указывалось в параграфе 2.4, энергетический спектр, во-первых, не содержит информации о фазах спектральных составляющих, и во-вторых, характеризует энергию этих составляющих, а не их амплитуду.

Для определения спектральной плотности S_y (ω ) преобразованной линейным оператором случайной функции Υ (t) подставим в формулу Винера—Хинчина (2.4.4) ее корреляционную функцию R_y(t), выраженную согласно (2.5.21) через корреляционную функцию R_x(t) преобразуемой функции X (t) и импульсную переходную характеристику оператора R (t)

(2.5.26)

Вводя вместо τ переменную t = t+t₁-t₂ и учитывая, что в силу свойства h (τ ) = 0 при τ < 0 нижние пределы внутренних интегралов можно взять равными — ¥ преобразуем (2.5.26) к виду

Представляя экспоненту в виде произведения трех экспонент и осуществив необходимую группировку, получаем

(2.5.27)

Нетрудно видеть, что первый интеграл в (2.5.27) есть спектральная плотность S_x(w) преобразуемой функции, второй — передаточная функция k(jw), а третий — функция, комплексно сопряженная с передаточной функцией — k(-jω ). Следовательно, произведение второго и третьего интегралов в (2.5.27) дает k(jw)´ (-jw) = | k(jw)|²= K² (ω ) — квадрат модуля передаточной функции (квадрат амплитудно-частотной характеристики оператора) и (2.5.27) принимает вид

S_y (ω ) = S_x(w) K² (ω ), (2.5.28)

Таким образом, спектральная плотность случайной функции Υ (t), получаемой в результате преобразования линейным оператором с передаточной функцией h (τ ) случайной функции Χ (t), равна произведению ее спектральной плотности S_x(t) на квадрат амплитудно-частотной характеристики оператора. Этого следовало ожидать и из физических соображений, так как энергия пропорциональна квадрату амплитуды. Укажем в качестве.примера., что для оператора интегрирования (интегратора), импульсная переходная характеристика которого, как это следует из (2.5.14), h(τ ) = 1, передаточная функция, которую можно получить из выражения (2.5.24) имеет вид h(jw) = - j/ω. Следовательно, квадрат амплитудно-частотной характеристики интегратора равен Κ ²(ω ) = 1/ω ². Тогда спектральные плотности случайных функций на вы-

ходе и входе интегратора связаны соотношениями S_y(w)=w ^-2S_x(w).

Аналогично для оператора дифференцирования имеет место

Получение выражения (2.5.28) дает решение вопроса о преобразовании стационарных функций линейными операторами. Действительно, теперь существует возможность определять как корреляционную функцию, так и спектральную плотность преобразованной функции, если свойства линейного оператора и преобразуемой функции заданы любыми сочетаниями — импульсная переходная характеристика или передаточная функция — корреляционная функция R_x(t) или спектральная плотность S_x(ω ).

2.5.3. Преобразование линейным оператором белого шума

Особые свойства белого шума приводят к определенным особенностям преобразования его линейными операторами, что делает необходимым отдельное рассмотрение этого вопроса. Определим корреляционную функцию R_y(τ ) случайной функции Υ (t), получаемую преобразованием белого шума X (t), для которого

линейным оператором с импульсной переходной характеристикой h (τ ). Согласно выражению (2.5.21) имеем

Переписав аргумент d-функции в виде d( τ ₁- (τ ₂ -τ )) и воспользовавшись фильтрующим свойством d-функции, получим

(2.5.29)

Таким образом, корреляционная функция случайной функции, полученной в результате преобразования белого шума линейным оператором, с точностью до постоянного множителя равна свертке его импульсной переходной функции. Найдем спектральную плотность преобразованной функции. Согласно (2.5.28) имеем

(2.5.30)

Полученное выражение указывает на возможность практического использования белого шума. В самом деле, из формулы (2.5.30) следует, что , то есть амплитудно-частотная характеристика линейного устройства может быть определена по спектральной плотности случайной функции Υ (t) на его выходе, полученной при подаче' на его вход белого шума с известной интенсивностью N₀/2.

Наконец, определим взаимную корреляционную функцию R_xy(t) белого шума X (t) на входе и получаемой случайной функции Υ (t) на выходе линейного устройства с импульсной переход-

ной характеристикой h(τ ). Согласно определению (1.4.8) взаимная корреляционная функция равна R_xy (t₁, t₂) = Учитывая, что Υ (t) =L [X (t)], и меняя порядок применения линейных операторов М[·] и L [·], аналогично (1.5.45), (1.5.46) получаем

Записав линейный оператор с использованием импульсной переходной характеристики, получим

С учетом стационарности случайной функции X (t) R_x(t_1, t₂ – τ ₁) = R_х ( t₂ – τ ₁– t₁) = R_x (t— τ ₁) получаем

(2.5.31)

Подставим в (2.5.31) корреляционную функцию белого шума и учтем фильтрующее свойство d -функции. Тогда выражение (2.5.31) принимает вид

(2.5.32)

Таким образом, взаимная корреляционная функция белого шума и полученной путем его линейного преобразования случайной функции с точностью до постоянного множителя совпадает с импульсной переходной характеристикой линейного оператора. Данный факт может быть использован на практике для определения импульсных переходных характеристик реальных устройств и систем.

Подводя итог изучению вопроса преобразования случайных функций линейными операторами, заметим, что из всего рассмотренного следует существование трех эквивалентных способов задания свойств любого линейного оператора: с помощью условного обозначения, определяющего его свойства как математического понятия; с помощью импульсной переходной характеристики, определяющей его свойства в пространстве аргумента преобразуемых функций, и с помощью передаточной функции, определяющей его свойства в пространстве частот. Все три формы задания оператора эквивалентны и выбор той или другой определяется лишь

содержанием решаемой задачи π способом задания преобрази мой функции.

⇐ Предыдущая 1 234 Следующая ⇒