Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология
Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии


Система, как отношение на абстрактных множествах

Одним из центральных понятий теории систем является поня­тие системы, определенное в теоретико-множественных терминах:

(1)

где V, — вес компоненты; iÎI — декартова произведения ÄVi , называемые объектами системы S; I — множество индексов.


В кибернетике наибольший интерес представляют системы с дву­мя объектами — входным объектом X и выходным объектом Y:

Основными причинами определения системы как теоретико-множественного отношения являются следующие:

1. Система определяется в терминах взаимосвязей между этими свой­ствами, а не тем, что они на самом деле собой представляют (т. е. не с помощью физических, химических, биологических, социа­льных или других явлений). Это вполне согласуется с природой системных исследований, направленных на выяснение организа­ции и взаимосвязи элементов системы, а не на изучение конкрет­ных механизмов в системе.

2. Определение системы как отношения вида (1) является предельно общим. Конечно, различным системам отвечают и различные способы задания описания (дифференциальные урав­нения, булева алгебра, графы и т. д.), но все они есть не более чем отношения вида (1). В условиях предельно нечеткой инфор­мации, когда систему удается описать лишь качественно, все словесные утверждения в силу их лингвистических функций определяют отношения типа (1). Действительно, каждое высказыва­ние содержит две основные лингвистические категории: термы (денотаты) и функторы. Напомним, что термы используются для обозначения объектов, а функторы — для обозначения отноше­ния между ними. И для каждого правильного множества словес­ных утверждений существует отношение (в математическом смы­сле слова), описывающее формальную взаимосвязь между объектами. Таким образом, система всегда является отношением в смысле (1), а уже более узкие классы систем определяются более точно своими специфическими средствами.

3. Системы часто задаются с помощью некоторых уравнений относительно соответствующих переменных. Каждой такой пере­менной можно поставить в соответствие некоторый объект систе­мы, описывающей область значений соответствующей перемен­ной. Утверждая, что система описывается системой уравнений относительно некоторого множества переменных, считают, что система есть отношение над соответствующими объектами, порожденными этими переменными (по одному объекту на каждую переменную, область значений которой он представляет). При этом любая комбинация элементов этих объектов, принадлежащая этому отношению, удовлетворяет ис­ходной системе уравнений.

Под отношением понимается подмножество конечной декар­товой степени Аn = А ´ А ´ ... ´A данного множества А, т. е. под­множество систем (a1, a2, ..., an) из n элементов множества А.

Подмножество R_.Аn называется n-местным или n-арным от­ношением в множестве А. Число n называется рангом или типом отношения R. Множество всех n-арных отношений в множестве А относительно операций _ и _ является булевой алгеброй.

Для построения теории систем на теоретико-множественном уровне, исходя из определения (1), необходимо наделить систе­му как отношение некоторой дополнительной структурой. Это можно сделать двумя способами:

1. Ввести дополнительную структуру для элементов объектов системы( например, рассматривать сам элемент vi,_ Vi как некото­рое множество с подходящей структурой).

2. Ввести структуру непосредственно для самих объектов систе­мы Vi, i_I.

Первый способ приводит к понятию (абстрактных) временных систем, а второй — к понятию алгебраических систем.

Временные, алгебраические и функциональные системы

 

Временные системы.

Если элементы одного из объектов систе­мы есть функции, например v: Тv®Av, то этот объект называют функциональным.. В случае, когда области определения всех функ­ций для данного объекта V одинаковы, т. е. каждая функция v_V является отображением Т в A, v : Т®А, то Т называется индек­сирующим множеством для v, a A — алфавитом объекта Т. Если индексирующее множество линейно упорядочено, то его называ­ют множеством моментов времени. Функции, определенные на множествах моментов времени, принято называть (абстрактны­ми) функциями времени. Объект, элементами которого являются временные функции, называют временным объектом, а системы, определенные на временных объектах, — временными системами.

Особый интерес для исследования представляют системы, у которых элементы и входного и выходного объектов определе­ны на одном и том же множестве: Х_АT и Y_BT. В этом случае под системой понимается отношение


Алгебраические системы.

Другой путь наделения объектов системы математическими структурами состоит в определении одной или нескольких операций, относительно которых V стано­вится алгеброй. В самом простейшем случае определяется бинар­ная операция R : V*V®V и предполагается, что в V можно выделить такое подмножество W, зачастую конечное, что любой элемент v_ V можно получить в результате применения операции R к элементам из W или к элементам, уже построенным из элементов множества. Неподобным образом. В этом случае W на­зывают множеством производящих элементов или алфавитом объекта, а его элементы — символами, а элементы объекта V — словами. Если R есть операция сочленения, то слова — это просто последовательности элементов алфавита W.

Необходимо иметь в виду, что алфавит временного объекта — это не совсем то же самое, что алфавит алгебраичес­кого объекта. Для объектов с конечными алфавитами — это обычно одни и те же множества. Но как только алфавит стано­вится бесконечным, возникают трудности: множество производя­щих элементов и область функций времени оказываются различ­ными множествами, в общем случае даже разной мощности.

Итак, системой называется отношение на непустых (абстракт­ных) множествах:

S_x{Vi, i_I}.

Если множество индексов конечно, то выражение (13.1) мож­но переписать в виде

S_V1*V2*…*Vn. (2)


Пусть IxÌ I и IyÌ I образуют разбиение множества I, т. е. пусть IxÇIy =Æ и IxÈIy =I .

Множество Х= _{Vi. i_Ix,} называется входным объектом, а множество Y=_{Vi,i_Iy} - выходным объектом системы. Тогда система S определяется отношением

S _ X* У

и называется системой «вход — выход» («черный ящик»).

Если S является функцией

S : X®Y.

то система называется функциональной.

Последнее изменение этой страницы: 2016-03-15; Просмотров: 21; Нарушение авторского права страницы


lektsia.com 2007 - 2017 год. Все права принадлежат их авторам! (0.081 с.) Главная | Обратная связь