Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология
Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии


Модуль 1. Нормативные основы работы эксперта предметной комиссии



ФЕДЕРАЛЬНАЯ СЛУЖБА ПО НАДЗОРУ В СФЕРЕ ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

_______________________________________________________________________

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ НАУЧНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

«ФЕДЕРАЛЬНЫЙ ИНСТИТУТ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ»

Унифицированные учебные материалы для подготовки экспертов предметных комиссий ЕГЭ 2016 года

МАТЕМАТИКА

(профильный уровень)

 

Москва


 

 

Унифицированные учебные материалы для подготовки экспертов региональных предметных комиссий ЕГЭ 2016 г. по математике (профильный уровень) предназначены для очной и дистанционной подготовки экспертов по оцениванию заданий с развернутым ответом, которые являются частью контрольных измерительных материалов единого государственного экзамена по математике (профильный уровень).

В учебных материалах дается схематичная информация о нормативных основах работы эксперта предметной комиссии, краткие инструкции по оцениванию выполнения отдельных заданий экзаменационной работы и действиям в типичных проблемных ситуациях оценивания. Материалы содержат вопросы для входного контроля, теоретические и практические задания, а также изображения экзаменационных работ для тренировки в оценивании ответов участников экзамена.

 

 

© Федеральный институт педагогических измерений, 2016


 

Оглавление

Входной контроль. 4

Модуль 1. Нормативные основы работы эксперта предметной комиссии. 8

Модуль 2. Методические рекомендации по оцениванию выполнения заданий с развернутым ответом 21

Задание 13 (=15 в 2015) 21

Задание 14 (=16 в 2015) 30

Задание 15 (=17 в 2015) 44

Задание 16 (=18 в 2015) 53

Задание 17 (=19 в 2015) 65

Задание 18 (=20 в 2015) 77

Задание 19 (=21 в 2015) 91

Модуль 3. Решение типичных проблемных ситуаций оценивания. 103

Модуль 4. Тренинги. 110

Итоговый контроль. 237

 

 


Входной контроль

Ниже представлены четыре варианта входного контроля по математике. Каждый из них состоит из пяти заданий, соответствующих по тематике и уровню сложности заданиям 13-17 в ЕГЭ 2016 г.

При самостоятельной подготовке эксперта выполнять можно один, любой, из этих вариантов. При групповой работе распределение вариантов между экспертами организует и контролирует ответственный за проведение этой работы в конкретной аудитории. Ориентировочное время выполнения входного контроля 70-90 мин.

Вариант 1

 

 

1. а) Решите уравнение .

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .

 

 

2. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 60, а боковое ребро равно 37. Точки и — середины рёбер и соответственно. Плоскость содержит прямую и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.

а) Докажите, что плоскость делит медиану основания в отношении , считая от точки .

б) Найдите расстояние от вершины до плоскости .

 

 

3. Решите неравенство .

 

4. Точка лежит на стороне выпуклого четырёхугольника , причём и — вершины равнобедренных треугольников с основаниями и соответственно, а прямые и перпендикулярны.

а) Докажите, что биссектрисы углов при вершинах и четырёхугольника пересекаются на стороне .

б) Пусть — точка пересечения этих биссектрис. Найдите площадь четырёхугольника , если известно, что , а площадь четырёхугольника, стороны которого лежат на прямых , , и , равна 18.

 

 

5. Строительство нового завода стоит 75 млн рублей. Затраты на производство
тыс. ед. продукции на таком заводе равны млн рублей в год. Если продукцию завода продать по цене тыс. рублей за единицу,
то прибыль фирмы (в млн рублей) за один год составит . Когда завод будет построен, фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. При каком наименьшем значении строительство завода окупится не более чем за 3 года?

 

Вариант 2

 

1. а) Решите уравнение .

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .

 

 

2. В основании четырёхугольной пирамиды лежит прямоугольник со сторонами и . Длины боковых рёбер пирамиды , , .

а) Докажите, что — высота пирамиды.

б) Найдите расстояние от вершины до плоскости .

 

 

3. Решите неравенство .

 

 

4. Дан прямоугольный треугольник с прямым углом . На катете взята точка . Окружность с центром и диаметром касается гипотенузы в точке .

а) Докажите, что прямые и параллельны.

б) Найдите площадь четырёхугольника , если
и .

 

 

5. 15-го января планируется взять кредит в банке на 24 месяца. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Какую сумму следует взять в кредит, чтобы общая сумма выплат после полного его погашения равнялась 1 млн рублей?

 


Вариант 3

 

1. а) Решите уравнение

.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .

 

 

 

2. В основании четырёхугольной пирамиды лежит прямоугольник со сторонами и . Длины боковых рёбер пирамиды , , .

а) Докажите, что — высота пирамиды.

б) Найдите угол между прямой и плоскостью .

 

 

 

3. Решите неравенство .

 

4. Диагонали и четырёхугольника , вписанного в окружность, пересекаются в точке , причём .

а) Докажите, что .

б) Найдите площадь треугольника , где — центр окружности, вписанной в треугольник , если дополнительно известно, что — диаметр описанной около четырёхугольника окружности, , а .

 

 

5. В июле планируется взять кредит в банке на сумму 9 млн рублей
на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

Чему будет равна общая сумма выплат после полного погашения кредита, если наименьший годовой платёж составит 1, 25 млн рублей?

 

 

Вариант 4

 

 

1. а) Решите уравнение

.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .

 

 

2. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 6,
а боковое ребро равно 4. Точки и — середины рёбер и соответственно. Плоскость содержит прямую и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.

а) Докажите, что плоскость делит медиану основания в отношении , считая от точки .

б) Найдите периметр многоугольника, являющегося сечением пирамиды плоскостью .

 

 

3. Решите неравенство .

 

 

4. Две окружности касаются внутренним образом в точке , причём меньшая проходит через центр большей. Хорда большей окружности касается меньшей в точке . Хорды и пересекают меньшую окружность
в точках и соответственно, а отрезки и пересекаются в точке .

а) Докажите, что .

б) Найдите , если , а радиус малой окружности равен .

 

 

5. В июле планируется взять кредит в банке на сумму 4, 5 млн рублей на срок
9 лет. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

Найдите , если известно, что наибольший годовой платёж по кредиту составит не более 1, 4 млн рублей, а наименьший — не менее 0, 6 млн рублей.

 


ВАРИАНТ 1

 

15

 

а) Решите уравнение .

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .

 

 

Решение.

а) Запишем исходное уравнение в виде:

; .

Значит, или , откуда , , или , , или , откуда , , или , .

 

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку .

Получим числа: ; ; .

Ответ: а) , ; , ; О: , ; , ; Ответ: б) ; ; .

 

 

ВАРИАНТ 2

 

 

а) Решите уравнение .

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .

Ответ: а ) , ; , ; Ответ: , ; , ; Ответ: б) ; ; .


Пример 1.

 

Комментарий.

Ответ верен. Ошибок в равенствах и переходах нет. 2 балла? Обратимся к критериям по поводу решения п. б). Обоснованно ли получен верный ответ? А нет в работе ни слов, ни рисунка про обоснования. Значит, 1 балл? Вот аргумент в сторону повышения оценки: «Ведь показано, как из основных значений получаются все верные. Это и есть обоснование». А вот и контраргумент: в а) в ответе период равен , а в б) почему-то .

 

Оценка: 1 балл



Пример 2.

Комментарий.

Арифметическая ошибка при подсчёте корня: он показан правильно, но написано вместо .

Оценка: 1 балл.



Пример 3.

Комментарий.

Вот тут, в отличие от Примера 1, имеется обоснование верного выбора в б). Правда, в а) есть очевидная описка: не извлечен квадратный корень из 4. Хорошо, что это не повлияло на верность ответа.

Оценка: 2 балла

Контрольные вопросы.

1) При решении п. а) были получены уравнения . Ответ приведен такой . В п. б) верный отбор был произведён по числовой окружности, на которой верно были выделены точки, соответствующие корням уравнений . Эксперт поставил 0 баллов. Обоснование: грубая ошибка при решении простейших тригонометрических уравнений. Согласны ли Вы с этой оценкой?

2) При решении п. а) написано … и далее без ошибок до полного ответа. Эксперт поставил 0 баллов. Обоснование: ответ полностью не совпал с верным. Согласны ли Вы с этой оценкой?



ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ.

Пример 4.

Оценка эксперта___________



Пример 5.

Оценка эксперта___________

Пример 6.

Оценка эксперта___________


Пример 7.

Оценка эксперта___________

Пример 8.

Оценка эксперта___________



Пример 9.

Оценка эксперта___________

Пример 10.

Оценка эксперта___________


Задание 14 (=16 в 2015)

Самые общие инструкции по оцениванию выполнения заданий с развёрнутым ответом содержатся в критериях оценивания.

Содержание критерия, задание №14 (=16 Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б
Имеется верное доказательство утверждения пункта а ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
Максимальный балл

В этом задании разделение условия на пункты а) и б) было введено позже всех остальных, в 2014 г. Такое разделение, во-первых, как показала практика работы, делает более структурированной процедуру оценивания, а во-вторых, выделение в отдельный пункт а) доказательства, даёт правильный, по нашему мнению, акцент для преподавания геометрии в школе. Это разделение имеет и одну «негативную» тонкость. А именно, если п. а) не выполнен верно, в п. б) весь полный ход решения верен, но имеется (пусть и небольшая) арифметическая ошибка, приведшая к неверному ответу, то следует выставлять 0 баллов. Дело в том, что 1 балл невозможно поделить пополам и выставить 0, 5 балла отдельно за п. б). При проверке этого задания эксперту следует отчетливо понимать, что возможны весьма различные формы записи верного ответа. В особенности, это касается величин углов (реже – длин, площадей и объёмов). Проверка (не)совпадения ответа из работы и ответа из материалов «Критерии оценивания…» есть прямая обязанность эксперта.

Как и в задании 15, обращаем внимание и на формулировку «…получены верные ответы…». Она позволяет выставлять полный балл в тех редких, но встречающихся случаях, когда верный ответ в работе получен, а при его выписывании в строку «Ответ» есть описки. Также, как и в задании 15, верно приведенный ответ в п.б) и правдоподобно выглядящие текст и рисунок в а) еще не есть основание для выставления 2 баллов. Доказательства, хотя и простые, но их следует проверять внимательно.



ВАРИАНТ 1

 

16

 

В основании четырёхугольной пирамиды лежит прямоугольник со сторонами и . Длины боковых рёбер пирамиды , , .

а) Докажите, что — высота пирамиды. б) Найдите угол между прямыми и .

 

Решение.

а) В треугольнике имеем:

,

поэтому треугольник прямоугольный с гипотенузой и прямым углом . Аналогично, из равенства

получаем, что . Так как прямая перпендикулярна прямым и , прямая перпендикулярна плоскости .

б) На прямой отметим такую точку , что — параллелограмм, тогда и . Найдём угол . По теореме Пифагора:

; и .

По теореме косинусов:

; ; .

Искомый угол равен . Ответ: б) .

 

 

ВАРИАНТ 2

 

 

16. В основании четырёхугольной пирамиды лежит прямоугольник со сторонами и . Длины боковых рёбер пирамиды , , .

а) Докажите, что — высота пирамиды.

б) Найдите угол между прямыми и .

Ответ: б) .


Пример 1.

Комментарий.

Несмотря на верность ответа, ситуация пограничная. В п. а) начало наводит на подозрение о логической ошибке: доказательство начинается с «пусть В». К счастью, ниже «Равенство выполнятся, значит...» позволяет считать, что по существу доказательство идёт в верном порядке. Хотя, ещё чуть-чуть и следовало бы не засчитывать п.а)

Оценка: 2 балла


Пример 2.

Комментарий. В а) всё чисто, в б) – арифметическая ошибка. Оценка: 1 балл.


Пример 3.

Комментарий. П. б) решен на удивление неверно. В п. а) ситуация схожа с Примером 1. Но, в отличие от Примера 1, тут явно вместо проверяется и нет никаких шансов как-то по иному проинтерпретировать текст.

Оценка: 0 баллов



Контрольные вопросы.

1) Про п. а) в решении написано лаконично «Не получилось». П. б) обоснованно построен угол между прямой и плоскостью и получен верный ответ. Эксперт поставил 0 баллов. Обоснование: а) не доказан и поэтому вся конструкция в б) не обоснована. Согласны ли Вы с этой оценкой?

 

2) В п. а) доказательство неверное. П. б) сказано, что углом между прямыми является следующий угол. Пояснения или обоснования отсутствуют. Дальнейшие вычисления и ответ верны. Эксперт поставил 1 балл. Обоснование: по критериям. Согласны ли Вы с этой оценкой?

 

3) В п. а) доказательство верное. В п. б) построения верны, вычисления длинны и утомительны, получен ответ . В нормативном документе «Критерии оценивания…» в результате решения получен ответ . Эксперт поставил 1 балл. Обоснование: по критериям. Согласны ли Вы с этой оценкой?



ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ.

Пример 4.

Оценка эксперта _____________


Пример 5.

 


Оценка эксперта _____________


Пример 6.


 

Оценка эксперта _____________



Пример 7.

Оценка эксперта _______



Пример 8.

Оценка эксперта _______



Пример 9.

Оценка эксперта _______



Пример 10.

 

Оценка эксперта _______

 


Задание 15 (=17 в 2015)

Самые общие инструкции по оцениванию выполнения заданий с развёрнутым ответом содержатся в критериях оценивания.

Содержание критерия, задание 15 (=17 в 2015) Баллы
Обоснованно получен верный ответ
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точки ….(граничных точек….), ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
Максимальный балл

Задание этого типа (различного рода неравенства) является, пожалуй, наиболее простым с точки зрения выставления баллов за его выполнение. Дело в том, что это - «половина» от прежнего трехбалльного задания С3. После уменьшения числа неравенств с двух до одного, задача реально становится полуторабалльной. Но таких баллов нет, и она стала двубалльной, а при этом оценка в 1 балл стала весьма близкой к оценке 2 балла. Грубо, 1 балл здесь – это не «наполовину» решенная задача, а практически полностью решенная задача с проколами и неточностями на уровне 1-2 граничных точек из верного ответа.

Трактовка второй части критерия на 1 балл тут такая же, как и в задании 13(=15), см. контрольные вопросы к этому заданию. Сюда же попадают и те редкие случаи, когда ошибка допущена при переписывании условия в свой бланк, а далее приведено полное решение (формально, другой) задачи.

Обращаем внимание и на формулировку «…получен верный ответ…». Она позволяет выставлять полный балл в тех случаях, когда в тексте решения получены верные ответы, но в финальной строчке «Ответ» допущены описки, пропуски и т.п.

Как и выше, не следует ограничивать проверку до формального сличения ответа из работы с верным. Наконец, подчеркнем, что само отсутствие в решении слов ОДЗ (или чего-то аналогичного) не может служить основанием для снижения оценки. Снижать следует за неучёт ограничений вытекающих из условия задачи.

 



ВАРИАНТ 1

 

 

а

 

17

 

Решите неравенство .

 

Решение. Пусть , тогда неравенство примет вид:

; ,

откуда ; .

При получим: , откуда .

При получим: , откуда .

Решение исходного неравенства: ; .

 

Ответ: ; .

 

Содержание критерия Баллы
Обоснованно получен верный ответ
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точки 0, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
Максимальный балл

ВАРИАНТ 2

 

17

 

Решите неравенство .

Ответ: ; .

 

 



Пример 1.

Комментарий. Замечаний, в целом, нет. Обращаем внимание, что ОДЗ в начале «не дорешена» до значений : это сделано перед самым ответом.

Оценка: 2 балла.


Пример 2.

Комментарий. Типичное применение второй части критерия на 1 балл.

Оценка: 1 балл.

Модуль 2. Задание 15 (=17). Пример 3.

Комментарий. «Почти» решенная задача, но в решающий момент не адекватное использование метода интервалов.

Оценка: 0 баллов


Контрольные вопросы.

1) В работе вместо неравенства верно решено неравенство Эксперт поставил 1 балл, обосновав это как описку при переписывании условия, при которой « имеется верная последовательность всех шагов решения». Согласны ли Вы с этой оценкой?

 

2) В работе после верно полученного рационального неравенства

использован метод интервалов, но «+» и «-» чередуются в ошибочном порядке. Далее всё верно. Эксперт поставил 1 балл, обосновав это как описку при расстановке знаков, при которой « имеется верная последовательность всех шагов решения». Согласны ли Вы с этой оценкой?

 

3) В работе после неравенства , написано ; и далее получен ответ ; , см. Вариант 1, выше. Эксперт поставил 1 балл, обосновав это как автоматическую описку «раз , то и ». Согласны ли Вы с этой оценкой?

 


ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ.

Пример 4.

Оценка эксперта______

Пример 5.

Оценка эксперта______


Пример 6.

Оценка эксперта______

Пример 7.

Оценка эксперта______


Пример 8.

Оценка эксперта______

Пример 9.

Оценка эксперта______



Пример 10.

Оценка эксперта______


Поделиться:



Популярное:

  1. I. НОРМАТИВНЫЕ ПРАВОВЫЕ АКТЫ
  2. III. ОСНОВЫ НОРМИРОВАННОГО КОРМЛЕНИЯ
  3. III.1. Методологические основы классификации ландшафтов
  4. IV. Территориальные основы местного самоуправления
  5. PR-менеджмент: технологические основы
  6. VI. Организационные основы местного самоуправления
  7. VII. Экономические основы местного самоуправления
  8. Б1.В.03.01 История национальной государственности Удмуртии (очная форма обучения НОРМАТИВНЫЕ СРОКИ)
  9. База данных – это поименованная совокупность структурированных данных некоторой предметной области.
  10. Болтовые соединения. Общая хар-ка и область применения. Основы расчета болтовых соединений.
  11. В.Н. Татищев. Теоретико-методологические основы исторических взглядов. Движущие силы истории. Причины возникновения государств и формы государственного устройства. Периодизация всемирной истории.
  12. Введение. Основы исторического знания


Последнее изменение этой страницы: 2016-03-17; Просмотров: 871; Нарушение авторского права страницы


lektsia.com 2007 - 2024 год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! (0.221 с.)
Главная | Случайная страница | Обратная связь