Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология
Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии


Теоретические основы линии уравнений и неравенств



2.1. Задания для предварительного обсуждения:

а) решите уравнение: ;

б) решите неравенство: ;

в) решите уравнение:

г) на каких понятиях и свойствах основано решение уравнений (неравенств)?

2.2. Базовые понятия линии уравнений и неравенств ШКМ

К базовым понятиям линии уравнений и неравенств относят:

· понятие уравнения (неравенства с переменной); понятие «числовые неравенства»;

· корень уравнения (решение неравенства);

· понятие области определения уравнения (неравенства);

· понятие равносильных уравнений (неравенств);

· понятие уравнения-следствия[2].

2.2.1. Определение уравнения и неравенства

Приведем определение уравнения, принятое в математике. «Пусть на множествеМзафиксирован набор алгебраических операций, х – переменная на М; тогда уравнением на множестве Мотносительно х называется предикат вида a(x) = b(x), где a(x) и b(x) – термы относительно заданных операций, в запись которых входит символ x»[31, с. 107]. Принятым в логике терминам «терм» и «предикат» соответствуют термины школьной математики «выражение» и «предложение с переменной».

Дихотомическое деление понятия «выражение» (см. рис. 2. «Виды выражений ШКМ» в лекции по ТПВ) приводит к выделению подмножеств «уравнения» и «неравенства». Таким образом, с логической точки зрения уравнение (неравенство) является выражением с переменной, содержащим знак равенства (отношения <,>, ).

Описание объектов подмножества «Выражение с переменной со знаком “ = ”», содержащегося в структуре выражений может служить определением уравнения. Аналогично, выражение с переменной, содержащее знак отношения ”>“ (”<“, “ ”, “ ”), принято называть неравенством [36]. Таким образом, в школьном курсе математики можно дать следующее определение: выражение с переменной, содержащее знак “ = ”, называется уравнением [26].

В действующих учебниках по математике для 5-6 классов и в курсе алгебры 7 класса уравнения рассматриваются как особые задачи на нахождение значения переменной (неизвестной). В частности, в учебнике по математике для 5 класса «уравнением называют равенство, содержащее букву, значение которой надо найти» [28, с. 83].

Понятие «неравенство» в школьном курсе алгебры вводится описательно, на интуитивном уровне(т.е. на уровне представления об объекте) [4], [33], хотя вполне может быть определено аналогично понятию уравнения.

2.2.2. Понятие равносильных уравнений (неравенств)

Определив уравнение как предикат, необходимо выяснить, каким правилам подчиняются операции над уравнениями. Как известно, это операции отрицания, конъюнкции, дизъюнкции, импликации, эквивалентности и др. Для решения уравнений особенно важно понимать смысл полученного после очередного преобразования уравнения, т.е. будет ли новое уравнение с тем же множеством решений или множество решений изменилось. С этой целью вводится понятие равносильных уравнений.

«Если из первого предложения следует второе и из второго следует первое, то эти предложения называются равносильными, т.е. тогда и только тогда, когда и » [12, с. 213]. Эквивалентным этому определению является чаще используемая в школьном курсе математики следующая трактовка понятия равносильных уравнений: уравнения называются равносильными, «…если выполнены условия: области определения уравнений одинаковы и множества их корней равны» [31, с. 110].

Задание № 1 для самостоятельной работы.

1. Выполните логико-математический анализ введения базовых понятий ШКМ (п. 2.2.):

а) понятия уравнения [1], [2], [28];

б) понятия «числовое неравенство» [3], [4], [33].

2. Какое понятие определено в предложении «Действительное число а больше (меньше) действительного числа b, если их разность а – b — положительное (отрицательное) число. Пишут: а > b (а < b)» [33, с. 175]?

3. Сравните определение равносильных уравнений, сформулированное выше (п. 2.2.2.), с определением, приведенным в школьном учебнике алгебры [1, с. 25]. В чем их сходство (отличие)? В чем причина различий, как вы считаете? Сделайте вывод.

2.2.3. Свойстваравносильных уравнений (неравенств)

Сформулируем теоремы.

1о. Если к обеим частям уравнения прибавить число или целое относительно неизвестного выражение, то получится уравнение, равносильное данному[3].

Используя математический язык, данное свойство можно записать следующим образом. Если данное уравнение обозначить (1), а уравнение, полученное прибавлением m к обеим частям данного уравнения, — (2), то (3).

Доказательство.

I. Дано уравнение (1); полученное уравнение: (2). Докажем, что любой корень уравнения (1) является корнем уравнения (2).

Пусть – корень уравнения (1). Тогда по определению корня уравнения, при подстановке его в уравнение (1) получим верное числовое равенство: . К обеим частям полученного числового равенства (по свойствам числовых равенств) можно прибавить любое число , получим снова верное числовое равенство: . Таким образом, – корень уравнения (2).

II. Рассмотрим уравнение (2). Докажем, что любой корень уравнения (2) является корнем уравнения (1).

Пусть – корень уравнения (2). Тогда по определению корня уравнения, при подстановке его в уравнение (2) получим верное числовое равенство: . К обеим частям полученного числового равенства (по свойствам числовых равенств) можно прибавить любое число , получим снова верное числовое равенство: . Таким образом, – корень уравнения (2).

Теорема доказана.

Следствие. Если выражение, стоящее в одной части уравнения, перенести в другую, сменив его знак на противоположный, то полученное уравнение будет равносильно данному.

2о. Если обе части уравнения умножить (или разделить) на одно и то же число или выражение, не равное нулю и имеющее смысл при всех допустимых значениях входящей в уравнение переменной, то получится уравнение, равносильное данному. То есть, если имели уравнение и получили уравнение , то

Или, если преобразованием уравнения получили уравнение , то где Доказательство свойства аналогично.

 

2.3. Виды уравнений (неравенств) ШКМ

Рис. 2

Задание № 2 для самостоятельной работы.

1. Докажите второе свойство равносильных уравнений.

2. Изучите самостоятельно введение отношений «больше» («меньше»); проведите логико-дидактический анализ темы «Числовые неравенства и их свойства».

3. Сформулируйте и докажите свойства равносильности неравенств первой степени с одной переменной.

2.4. Основные методы решения уравнений (неравенств) в ШКМ

Проиллюстрируем основные методы решения уравнений и неравенств школьного курса математики на примерах, предложенных для предварительного обсуждения (п. 2.1).

2.4.1. Метод равносильных преобразований алгебраических уравнений

Ответ: 4.

2.4.2. Метод перехода к уравнению-следствию

или

Проверка (обязательный компонент решения!):

если , то 1=1;

если , то = 5 – 7 . При выражение не имеет смысла.

Ответ: 4.

2.4.3. Метод равносильных преобразований в решении неравенств

Ответ: (– ).

Применение этих методов для каждого из видов уравнений, изучаемых в школе (рис. 2), приведено ниже в п. 5.1.2.

Задание № 3 для самостоятельной работы.

1. Изучите суть графического метода решения уравнений, неравенств, и их систем [3, с.172], [5, с. 39; 64], [25, с. 39], [31, с.121].

2. Подготовьте краткий конспект и презентацию для выступления.

3. Основные этапы изучения уравнений и неравенств[4]

3.1. Пропедевтический этап (1 – 6 классы)

1 – 4 классы

Формирование представления о понятии «уравнение» (с использованием термина). Решение простых уравнений, в которых буквой обозначено неизвестное слагаемое (уменьшаемое, вычитаемое, множитель, делимое, делитель).

Примеры. Реши уравнения:

390 – х = 197; х : 5 = 275; 456 : х = 4; х –69 = 70 [32].

Решение задач с помощью уравнений.

5 – 6 классы

Изучение понятий уравнения, корня уравнений, что значит решить уравнение. Решение наряду с простыми уравнениями, более сложных, содержащих неизвестное в одной части уравнения [17], [28].

Например, (390 – х) : 5 = 40.

Решение уравнений, содержащих переменную в обеих частях уравнения. Для этого изучается правило переноса слагаемых из одной части уравнения в другую (шестой класс [19], [29][5]). Применение уравнений к решению текстовых задач.

3.2. Систематическое изучение алгебраических уравнений и неравенств

(7 – 9 классы)

7 класс. Понятие уравнения с одной и двумя переменными. Изучение понятия и свойств равносильных уравнений. Решение линейных уравнений, систем двух линейных уравнений с двумя переменными, применение уравнений и систем уравнений первой степени к решению текстовых задач.

8 класс. Понятие дробно-рационального и квадратного уравнений, их решение и применение к решению текстовых задач. Методы решения уравнений: разложение на множители, метод введения новой переменной.

Определение понятий «больше», «меньше», числовые неравенства и их свойства, неравенства с одной переменной и их решение.

3.3. Изучение трансцендентных уравнений и неравенств (10–11 кл.)

Особенностью изучения линии уравнений на данном этапе является то, что ознакомление с каждым видом уравнения и его решением предшествует изучению соответствующей функции.

Решение простейших трансцендентных уравнений и неравенств основано на теореме о корне [6, с. 62] и свойствах функций.

Задание № 4 для самостоятельной работы.

1. Выполните анализ решения простейших трансцендентных уравнений (тригонометрических, показательных, логарифмических).

2. Составьте конспект (презентацию к выступлению) для решения уравнений:

3. Изучите методы решения трансцендентных уравнений, проследите использование равносильных преобразований в их решении. Приведите обоснования преобразований. Например, в показательном уравнении дайте обоснование следующего преобразования: , где .






Читайте также:

Последнее изменение этой страницы: 2016-03-16; Просмотров: 89; Нарушение авторского права страницы


lektsia.com 2007 - 2017 год. Все права принадлежат их авторам! (0.115 с.) Главная | Обратная связь