Решение уравнений первой степени с одной переменной

Рассмотрим линейное уравнение где и – некоторые числа.

Решим уравнение при помощи равносильных преобразований. При , . Таким образом, если , то (уравнение имеет единственный корень).

В случае уравнение имеет вид .

Если , то уравнение не имеет корней, а если , то любое (действительное) число является корнем уравнения.

Ответ: 1) при имеет единственный корень ,

2) при и не имеет корней,

3) при и имеет бесконечно много корней.

Любое уравнений первой степени с одной переменной можно преобразовать в равносильное линейное уравнение (свойство 1).

Например, при решении уравнения упрощают выражение, стоящее в левой части. К полученному уравнению применяются свойства равносильных уравнений (п. 2.2.3):

Решение уравнений с одной переменной степени выше первой

В 7-м классе учащиеся решают целые уравнения степени выше первой, используя свойства равенства произведения нулю: и т.п. К уравнению такого вида обычно приводится с помощью равносильного преобразования и разложения на множители уравнение .

В случае целого уравнения, если разлагается на множители, то имеем:

Квадратные уравнения имеют важное прикладное значение, к ним сводятся многие трансцендентные уравнения (показательные, логарифмические, тригонометрические).

«Квадратным уравнением называется уравнение вида , где – переменная, , и – некоторые числа, причём »[3, с. 286].

Решается полное квадратное уравнение с помощью метода разложения на множителиего левой части и при помощи равносильных преобразований.

Решим квадратное уравнение. Так как , то

Числитель дроби , т.е. выражение , называют дискриминантом квадратного уравнения . Его обозначают буквой D. Значит, . Используя обозначение дискриминанта, последнее уравнение можно записать в виде .

Знаменатель дроби положителен, так как по определению квадратного уравнения . От D зависит, какие значения (положительные, нуль или отрицательные) принимает эта дробь. Рассмотрим отдельно каждый случай.

1. Если , то . Получаем или , т.е.

Уравнение в этом случае имеет два корня: и .

2. Если , то .

Уравнение в этом случае имеет один корень .

3. Если , то . В этом случае уравнение не имеет действительных корней.

В 8-м классе с изучением алгебраических дробей решаются дробно-рациональные уравнения с одной переменной: . Используя условие равенства дроби нулю, получим:

Таким образом, при решении уравнений используются свойства равносильных уравнений. Кроме основных свойств равносильных уравнений для каждого вида уравнений изучаются другие приемы. Так, целые уравнения чаще всего решаются с помощью метода разложения на множители, в более сложных из них используется метод введения новой переменной (метод подстановки).

Введение новой переменной
как прием равносильных преобразований уравнений

Суть этого метода по отношению к уравнению состоит в том, чтобы найти функции и , для которых при любом (т.е. для любого значения из области определения уравнения) выполняется равенство

В этом случае достаточно решить уравнение , а затем для каждого его корня решить уравнение (*). Совокупность всех полученных таким образом корней х уравнения (*), таких что , будет искомым множеством решений исходного уравнения. Функция называется подстановкой.

В случае алгебраических уравнений, как правило, в роли применяются многочлены, дроби или радикалы. В учебнике для 9-го класса [5] метод решения уравнений степени выше двух носит название метода введения новой переменной.

Задание № 7 для самостоятельной работы.

1. Проведите логико-математический анализ изучения алгебраических неравенств [4], [5], [33]. Сделайте выводы.

2. Проведите логико-математический анализ изучения трансцендентных неравенств [6], [34]. Сделайте выводы.

Список литературы

1. Алгебра: учеб. для 7 кл. общеобразоват. учреждений / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.В. Суворова; под ред. С.А. Теляковского. – 10-е изд. – М.: Просвещение, 2008.

2. Алгебра: учеб. для 7 кл. общеобразоват. учреждений / Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин и др. – М.: Просвещение, 1997. – 240 с.

3. Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин и др. – М.: Просвещение, 2001. – 240 с.

4. Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.В. Суворова; под ред. С.А. Теляковского. – М.: Просвещение, 2010.

5. Алгебра 9: учеб. для 9 кл. общеобразоват. учреждений / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.В.Суворова; под ред. С.А. Теляковского. – М.: Просвещение, 2006.

6. Алгебра и начала анализа: учеб. для 10-11 кл. сред. шк. / А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын и др. – М.: Просвещение, 1990. – 320 с.

7. Башмако М.И. Давайте учить математике / М.И. Башмаков// Математика: Приложение к газете «Первое сентября».– 2010.– № 6.— С. 2–5, 48.

8. Васильева Г.Н. Методические аспекты деятельностного подхода при обучении математике в средней школе / Г.Н. Васильева. – Пермь, 2009. – 136 с.

9. Васильева Г.Н. Об изложении курса алгебры основной школы с позиций деятельностного подхода в обучении / Г.Н. Васильева // Актуальные проблемы преподавания математики в педагогических вузах и средней школе: тез. докл. XXIII Всерос. семинара преподавателей математики ун-тов и пед. вузов, 13–15 октября 2004 г. / гл. ред. Е.В. Яковлев. – Челябинск; М., 2004. – С. 197.

10. Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики: Арифметика. Алгебра. Геометрия: кн. для учащихся 10–11 кл. общеорбразоват. учреждений / Н.Я. Виленкин, Л.П. Шибасов, З.Ф. Шибасова. – М.: Просвещение, 2008. – 192 с.

11. Виленкин Н.Я. Равенства, тождества, уравнения, неравенства / Н.Я. Виленкин, С.И. Шварцбурд // Математика в школе.–1970.– № 4. —С. 4.

12. Виленкин Н.Я. Современные основы школьного курса математики / Н.Я. Виленкин. – М.: Просвещение, 1980. – 377 с.

13. Гастева С. А. Методика преподавания математики в восьмилетней школе / С.А. Гастева, Б.И. Крельштейн, С.Е. Ляпин, М.И. Шидловская; под общей ред. С.Е. Ляпина. – М.: Просвещение, 1965. – 743 с.

14. Гельфман Э.Г. Натуральные числа и десятичные дроби: практикум: учеб. пособие по математике для 5-го класса / Э.Г. Гельфман и др. – Томск: Изд-во Том. ун-та, 1998.– 228 с.

15. Давыдов В.В. Проблемы развивающего обучения: Опыт теоретического и экспериментального психологического исследования / В.В. Давыдов. – М.: Академия, 1986. – 240 с.

16. Давыдов В.В. Содержание и структура учебной деятельности учащихся / В.В. Давыдов // Формирование учебной деятельности школьников. – М., 1982. – С. 10–21.

17. Дорофеев Г.В. Математика. 5 класс. В 3 ч. Ч. 1 / Г.В. Дорофеев, Л.Г. Петерсон. – М.: Ювента: Просвещение, 2005.

18. Дорофеев Г.В. Математика. 5 класс. В 3 ч. Ч. 2 / Г.В. Дорофеев, Л.Г. Петерсон. – М.: Ювента: Просвещение, 2010.

19. Дорофеев Г.В. Математика. 6 класс. Ч. 3 / Г.В. Дорофеев, Л. Г. Петерсон. – М.: Баласс: С-инфо, 2002.

20. Епишева О.Б. Специальная методика обучения арифметике, алгебре и началам анализа в средней школе / О.Б. Епишева. – Тобольск, 2000.

21. Зубарева И.И. Математика. 5 кл.: учеб. для общеобразоват. учреждений / И.И. Зубарева, А.Г. Мордкович. – 2-е изд. – М.: Мнемозина, 2003. – 293 с.

22. Колягин Ю.М. Методика преподавания математики в средней школе. Частные методики / Ю.М. Колягин и др. – М., 1977.

23. Лабораторные и практические работы по методике преподавания математики: учеб. пособие для студентов физ.-мат. спец. пед. ин-тов / под ред. Е.И. Лященко / Е.И. Лященко, К.В. Зобкова, Т.Ф. Кириченко и др. – М.: Просвещение, 1988. – 223 с.

24. Лиман М.М. Школьникам о математике и математиках: пособие для учащихся 4-8 кл. сред. шк. / сост. М.М. Лиман. – М.: Просвещение, 1981.– 80 с.

25. Литвиненко В.Н. Практикум по элементарной математике: Алгебра. Тригонометрия: учеб. пособие для студентов физ.-мат. спец. пед. ин-тов. / В.Н. Литвиненко, А.Г. Мордкович. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Просвещение, 1991. – 352 с.

26. Лященко Е.И. Методика обучения математике в 4-5–х классах / Е.И. Лященко, А.А. Мазаник. – Минск: Нар. асвета, 1976. – 222 с.

27. Математика: учеб. для 3 кл. трехлет. нач. шк. / А.С. Пчелко, М.А. Бантова, М.И. Моро, А.М. Пышкало. – 18-е изд. — М.: Просвещение, 1991. – 207 с.

28. Математика: учеб. для 5 кл. ср. шк. / Н.Я. Виленкин, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд, В.И. Жохов. – 3-е изд., испр. и доп. – М.: Мнемозина, 2003. – 384 с.

29. Математика : учеб. для 6 кл. ср. шк. / Н.Я. Виленкин, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд, В.И. Жохов. – 3-е изд., испр. и доп. – М.: Мнемозина, 2004. – 304 с.

30. Мельникова Е.Л. Проблемный урок или как открывать знания с учениками: пособие для учителя / Е.Л. Мельникова. – М., 2002. – 168 с.

31. Методика преподавания математики в средней школе: Частная методика: учеб. пособие для студентов пед. ин-тов по физ.-мат. спец. / А.Я. Блох, В.А. Гусев, Г. В. Дорофеев и др.; сост. В. И. Мишин. – М.: Просвещение, 1987. – 416 с.

32. Мордкович А.Г. Алгебра. 7 кл.: в 2 ч. Ч. 1: учеб. для общеобразоват. учреждений / А.Г. Мордкович. – 4-е изд., испр. – М.: Мнемозина, 2001. – 160 с.

33. Мордкович А.Г. Алгебра. 8 кл.: в 2 ч. Ч. 1: учеб. для общеобразоват. учреждений / А.Г. Мордкович. – 4-е изд. – М.: Мнемозина, 2002. – 223 с.

34. Мордкович, А.Г. Алгебра и начала анализа: учеб. для 10-11 кл. сред. шк.: в 2 ч. Ч 1: / А. Г. Мордкович. – 10-е изд., испр. – М.: Мнемозина, 2009. – 399 с.

35. Образовательный стандарт основной школы: материалы семинара, п. Салтыковка Моск. обл., 3–5 апреля 2002 г. – М., 2002.

36. Плакатина О.И. Специальная методика преподавания математики в средней школе: учеб. пособие по теории и методике обучения математике для студентов педагогических вузов специальности 032100 – «Математика» / О.И. Плакатина. – Иркутск, 2004.

37. Программа общеобразовательных учреждений. Алгебра 7–9 классы / сост. Т.А. Бурмистрова. – М.: Просвещение, 2009. – 256 с.

38. Региональный стандарт для общеобразовательных учреждений Пермской области: «Математика» / Департамент образования и науки администрации Перм. области; ПГПУ. – Пермь, 2001.

39. Столяр А.А. Педагогика математики / А.А. Столяр. – Минск, 1986. – 414 c.

40. Талызина Н.Ф. Педагогическая психология: учеб. для студентов учеб. заведений сред. проф. образования / Н.Ф. Талызина. – М.: Академия, 2003.– 288 с.

41. Чистяков В.Д. Исторические экскурсы на уроках математики в средней школе / В.Д. Чистяков. – 2-е изд. – Минск: Нар. Асвета., 1969. – 111 с.

42. «Школа 2000…». Математика. 5–6 классы: метод. материалы к учеб. математики Г.В. Дорофеева, Л.Г. Петерсон / сост. Л.Г. Петерсон. – М.: УМЦ «Школа 2000…», 2003. – 240 с.

Методические рекомендации к изучению темы «Неравенства»

В школьном курсе математики

1. Место, значение темы.

2. Логико-математический анализ содержания темы: «Неравенства» в основной школе.

3. Сведения о сравнении чисел и неравенствах, известные учащимся из курса обучения в начальной школе и 5– 6-х классах.

4. Методика изучения неравенств с переменной:

1) введение понятий: неравенство с одной переменной; решение неравенства; равносильность неравенств;

2) изучение свойств равносильных неравенств.

Общее задание:

1. Выполните задания № 1–3, 7 для самостоятельной работы по теме, предложенные в лекции. Представьте письменный вариант выполнения указанных заданий.

2. Выполните индивидуальное задание.

Темы индивидуальных заданий

1. Числовые неравенства и их свойства. Методика изучения свойств числовых неравенств.

2. Доказательство неравенств. Способы доказательства неравенств. Методика обучения доказательству неравенств.

3. Методика изучения применение числовых неравенств к вычислениям с приближенными данными.

4. Методика изучения решения неравенств:

1) линейных неравенств;

2) квадратных неравенств;

3) дробно-рациональных;

4) иррациональных;

5) трансцендентных неравенств;

6) неравенств, содержащих переменную под знаком модуля.

Темы рефератов

1. Методика обучения решению неравенств с параметрами.

2. Методика обучения графическому решению систем неравенств. Использование средств обучения при графическом решении систем неравенств (шаблоны, компьютерные презентации с анимацией и др.).

3. Методика изучения (определение; основные типы неравенств и способы их решения; средства обучения):

а) показательных неравенств;

б) логарифмических неравенств;

в) тригонометрических неравенств;

г) неравенства, содержащие переменную под знаком модуля.

4. Прикладные аспекты уравнений и неравенств (логарифмические, тригонометрические, с переменной под знаком модуля).

8. Типичные ошибки, допускаемые учащимися при решении неравенств, и методика их устранения.

9. Роль неравенств с переменными в изучении свойств функции и использование свойств функций при решении неравенств с переменными.

10. Способы решения неравенств (аналитический и графический).

11. Неравенства в школьном курсе математики: библиографический список статей, опубликованных в газете «Математика» за 2001-2011 г.г. (с аннотацией).

⇐ Предыдущая 3 4 5 6 789 10 11 12 Следующая ⇒