Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология
Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии


Решение уравнений первой степени с одной переменной



Рассмотрим линейное уравнение где и – некоторые числа.

Решим уравнение при помощи равносильных преобразований. При , . Таким образом, если , то (уравнение имеет единственный корень).

В случае уравнение имеет вид .

Если , то уравнение не имеет корней, а если , то любое (действительное) число является корнем уравнения.

Ответ: 1) при имеет единственный корень ,

2) при и не имеет корней,

3) при и имеет бесконечно много корней.

Любое уравнений первой степени с одной переменной можно преобразовать в равносильное линейное уравнение (свойство 1).

Например, при решении уравнения упрощают выражение, стоящее в левой части. К полученному уравнению применяются свойства равносильных уравнений (п. 2.2.3):

Решение уравнений с одной переменной степени выше первой

В 7-м классе учащиеся решают целые уравнения степени выше первой, используя свойства равенства произведения нулю: и т.п. К уравнению такого вида обычно приводится с помощью равносильного преобразования и разложения на множители уравнение .

В случае целого уравнения, если разлагается на множители, то имеем:

Квадратные уравнения имеют важное прикладное значение, к ним сводятся многие трансцендентные уравнения (показательные, логарифмические, тригонометрические).

«Квадратным уравнением называется уравнение вида , где – переменная, , и – некоторые числа, причём »[3, с. 286].

Решается полное квадратное уравнение с помощью метода разложения на множителиего левой части и при помощи равносильных преобразований.

Решим квадратное уравнение. Так как , то

Числитель дроби , т.е. выражение , называют дискриминантом квадратного уравнения . Его обозначают буквой D. Значит, . Используя обозначение дискриминанта, последнее уравнение можно записать в виде .

Знаменатель дроби положителен, так как по определению квадратного уравнения . От D зависит, какие значения (положительные, нуль или отрицательные) принимает эта дробь. Рассмотрим отдельно каждый случай.

1. Если , то . Получаем или , т.е.

Уравнение в этом случае имеет два корня: и .

2. Если , то .

Уравнение в этом случае имеет один корень .

3. Если , то . В этом случае уравнение не имеет действительных корней.

В 8-м классе с изучением алгебраических дробей решаются дробно-рациональные уравнения с одной переменной: . Используя условие равенства дроби нулю, получим:

Таким образом, при решении уравнений используются свойства равносильных уравнений. Кроме основных свойств равносильных уравнений для каждого вида уравнений изучаются другие приемы. Так, целые уравнения чаще всего решаются с помощью метода разложения на множители, в более сложных из них используется метод введения новой переменной (метод подстановки).

Введение новой переменной
как прием равносильных преобразований уравнений

Суть этого метода по отношению к уравнению состоит в том, чтобы найти функции и , для которых при любом (т.е. для любого значения из области определения уравнения) выполняется равенство

В этом случае достаточно решить уравнение , а затем для каждого его корня решить уравнение (*). Совокупность всех полученных таким образом корней х уравнения (*), таких что , будет искомым множеством решений исходного уравнения. Функция называется подстановкой.

В случае алгебраических уравнений, как правило, в роли применяются многочлены, дроби или радикалы. В учебнике для 9-го класса [5] метод решения уравнений степени выше двух носит название метода введения новой переменной.

Задание № 7 для самостоятельной работы.

1. Проведите логико-математический анализ изучения алгебраических неравенств [4], [5], [33]. Сделайте выводы.

2. Проведите логико-математический анализ изучения трансцендентных неравенств [6], [34]. Сделайте выводы.

Список литературы

1. Алгебра: учеб. для 7 кл. общеобразоват. учреждений / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.В. Суворова ; под ред. С.А. Теляковского. – 10-е изд. – М. : Просвещение, 2008.

2. Алгебра : учеб. для 7 кл. общеобразоват. учреждений / Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин и др. – М. : Просвещение, 1997. – 240 с.

3. Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин и др. – М. : Просвещение, 2001. – 240 с.

4. Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.В. Суворова; под ред. С.А. Теляковского. – М. : Просвещение, 2010.

5. Алгебра 9: учеб. для 9 кл. общеобразоват. учреждений / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.В.Суворова; под ред. С.А. Теляковского. – М. : Просвещение, 2006.

6. Алгебра и начала анализа: учеб. для 10-11 кл. сред. шк. / А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын и др. – М. : Просвещение, 1990. – 320 с.

7. Башмако М.И. Давайте учить математике / М.И. Башмаков// Математика: Приложение к газете «Первое сентября».– 2010.– № 6.— С. 2–5, 48.

8. Васильева Г.Н. Методические аспекты деятельностного подхода при обучении математике в средней школе / Г.Н. Васильева. – Пермь, 2009. – 136 с.

9. Васильева Г.Н. Об изложении курса алгебры основной школы с позиций деятельностного подхода в обучении / Г.Н. Васильева // Актуальные проблемы преподавания математики в педагогических вузах и средней школе : тез. докл. XXIII Всерос. семинара преподавателей математики ун-тов и пед. вузов, 13–15 октября 2004 г. / гл. ред. Е.В. Яковлев. – Челябинск ; М., 2004. – С. 197.

10. Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики: Арифметика. Алгебра. Геометрия: кн. для учащихся 10–11 кл. общеорбразоват. учреждений / Н.Я. Виленкин, Л.П. Шибасов, З.Ф. Шибасова. – М.: Просвещение, 2008. – 192 с.

11. Виленкин Н.Я. Равенства, тождества, уравнения, неравенства / Н.Я. Виленкин, С.И. Шварцбурд // Математика в школе.–1970.– № 4. —С. 4.

12. Виленкин Н.Я. Современные основы школьного курса математики / Н.Я. Виленкин. – М. : Просвещение, 1980. – 377 с.

13. Гастева С. А. Методика преподавания математики в восьмилетней школе / С.А. Гастева, Б.И. Крельштейн, С.Е. Ляпин, М.И. Шидловская ; под общей ред. С.Е. Ляпина. – М. : Просвещение, 1965. – 743 с.

14. Гельфман Э.Г. Натуральные числа и десятичные дроби : практикум : учеб. пособие по математике для 5-го класса / Э.Г. Гельфман и др. – Томск : Изд-во Том. ун-та, 1998.– 228 с.

15. Давыдов В.В. Проблемы развивающего обучения: Опыт теоретического и экспериментального психологического исследования / В.В. Давыдов. – М. : Академия, 1986. – 240 с.

16. Давыдов В.В. Содержание и структура учебной деятельности учащихся / В.В. Давыдов // Формирование учебной деятельности школьников. – М., 1982. – С. 10–21.

17. Дорофеев Г.В. Математика. 5 класс. В 3 ч. Ч. 1 / Г.В. Дорофеев, Л.Г. Петерсон. – М. : Ювента : Просвещение, 2005.

18. Дорофеев Г.В. Математика. 5 класс. В 3 ч. Ч. 2 / Г.В. Дорофеев, Л.Г. Петерсон. – М. : Ювента : Просвещение, 2010.

19. Дорофеев Г.В. Математика. 6 класс. Ч. 3 / Г.В. Дорофеев, Л. Г. Петерсон. – М. : Баласс : С-инфо, 2002.

20. Епишева О.Б. Специальная методика обучения арифметике, алгебре и началам анализа в средней школе / О.Б. Епишева. – Тобольск, 2000.

21. Зубарева И.И. Математика. 5 кл. : учеб. для общеобразоват. учреждений / И.И. Зубарева, А.Г. Мордкович. – 2-е изд. – М.: Мнемозина, 2003. – 293 с.

22. Колягин Ю.М. Методика преподавания математики в средней школе. Частные методики / Ю.М. Колягин и др. – М., 1977.

23. Лабораторные и практические работы по методике преподавания математики: учеб. пособие для студентов физ.-мат. спец. пед. ин-тов / под ред. Е.И. Лященко / Е.И. Лященко, К.В. Зобкова, Т.Ф. Кириченко и др. – М. : Просвещение, 1988. – 223 с.

24. Лиман М.М. Школьникам о математике и математиках: пособие для учащихся 4-8 кл. сред. шк. / сост. М.М. Лиман. – М.: Просвещение, 1981.– 80 с.

25. Литвиненко В.Н. Практикум по элементарной математике: Алгебра. Тригонометрия: учеб. пособие для студентов физ.-мат. спец. пед. ин-тов. / В.Н. Литвиненко, А.Г. Мордкович. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Просвещение, 1991. – 352 с.

26. Лященко Е.И. Методика обучения математике в 4-5–х классах / Е.И. Лященко, А.А. Мазаник. – Минск : Нар. асвета, 1976. – 222 с.

27. Математика: учеб. для 3 кл. трехлет. нач. шк. / А.С. Пчелко, М.А. Бантова, М.И. Моро, А.М. Пышкало. – 18-е изд. — М. : Просвещение, 1991. – 207 с.

28. Математика : учеб. для 5 кл. ср. шк. / Н.Я. Виленкин, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд, В.И. Жохов. – 3-е изд., испр. и доп. – М. : Мнемозина, 2003. – 384 с.

29. Математика : учеб. для 6 кл. ср. шк. / Н.Я. Виленкин, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд, В.И. Жохов. – 3-е изд., испр. и доп. – М. : Мнемозина, 2004. – 304 с.

30. Мельникова Е.Л. Проблемный урок или как открывать знания с учениками: пособие для учителя / Е.Л. Мельникова. – М., 2002. – 168 с.

31. Методика преподавания математики в средней школе: Частная методика: учеб. пособие для студентов пед. ин-тов по физ.-мат. спец. / А.Я. Блох, В.А. Гусев, Г. В. Дорофеев и др.; сост. В. И. Мишин. – М.: Просвещение, 1987. – 416 с.

32. Мордкович А.Г. Алгебра. 7 кл.: в 2 ч. Ч. 1 : учеб. для общеобразоват. учреждений / А.Г. Мордкович. – 4-е изд., испр. – М. : Мнемозина, 2001. – 160 с.

33. Мордкович А.Г. Алгебра. 8 кл.: в 2 ч. Ч. 1 : учеб. для общеобразоват. учреждений / А.Г. Мордкович. – 4-е изд. – М. : Мнемозина, 2002. – 223 с.

34. Мордкович, А.Г. Алгебра и начала анализа: учеб. для 10-11 кл. сред. шк.: в 2 ч. Ч 1 : / А. Г. Мордкович. – 10-е изд., испр. – М. : Мнемозина, 2009. – 399 с.

35. Образовательный стандарт основной школы : материалы семинара, п. Салтыковка Моск. обл., 3–5 апреля 2002 г. – М., 2002.

36. Плакатина О.И. Специальная методика преподавания математики в средней школе: учеб. пособие по теории и методике обучения математике для студентов педагогических вузов специальности 032100 – «Математика» / О.И. Плакатина. – Иркутск, 2004.

37. Программа общеобразовательных учреждений. Алгебра 7–9 классы / сост. Т.А. Бурмистрова. – М. : Просвещение, 2009. – 256 с.

38. Региональный стандарт для общеобразовательных учреждений Пермской области: «Математика» / Департамент образования и науки администрации Перм. области ; ПГПУ. – Пермь, 2001.

39. Столяр А.А. Педагогика математики / А.А. Столяр. – Минск, 1986. – 414 c.

40. Талызина Н.Ф. Педагогическая психология: учеб. для студентов учеб. заведений сред. проф. образования / Н.Ф. Талызина. – М. : Академия, 2003.– 288 с.

41. Чистяков В.Д. Исторические экскурсы на уроках математики в средней школе / В.Д. Чистяков. – 2-е изд. – Минск : Нар. Асвета., 1969. – 111 с.

42. «Школа 2000…». Математика. 5–6 классы : метод. материалы к учеб. математики Г.В. Дорофеева, Л.Г. Петерсон / сост. Л.Г. Петерсон. – М. : УМЦ «Школа 2000…», 2003. – 240 с.

 

Методические рекомендации к изучению темы «Неравенства»

В школьном курсе математики

1. Место, значение темы.

2. Логико-математический анализ содержания темы: «Неравенства» в основной школе.

3. Сведения о сравнении чисел и неравенствах, известные учащимся из курса обучения в начальной школе и 5– 6-х классах.

4. Методика изучения неравенств с переменной:

1) введение понятий: неравенство с одной переменной; решение неравенства; равносильность неравенств;

2) изучение свойств равносильных неравенств.

Общее задание:

1. Выполните задания № 1–3, 7 для самостоятельной работы по теме, предложенные в лекции. Представьте письменный вариант выполнения указанных заданий.

2. Выполните индивидуальное задание.

Темы индивидуальных заданий

1. Числовые неравенства и их свойства. Методика изучения свойств числовых неравенств.

2. Доказательство неравенств. Способы доказательства неравенств. Методика обучения доказательству неравенств.

3. Методика изучения применение числовых неравенств к вычислениям с приближенными данными.

4. Методика изучения решения неравенств:

1) линейных неравенств;

2) квадратных неравенств;

3) дробно-рациональных;

4) иррациональных;

5) трансцендентных неравенств;

6) неравенств, содержащих переменную под знаком модуля.

Темы рефератов

1. Методика обучения решению неравенств с параметрами.

2. Методика обучения графическому решению систем неравенств. Использование средств обучения при графическом решении систем неравенств (шаблоны, компьютерные презентации с анимацией и др.).

3. Методика изучения (определение; основные типы неравенств и способы их решения; средства обучения):

а) показательных неравенств;

б) логарифмических неравенств;

в) тригонометрических неравенств;

г) неравенства, содержащие переменную под знаком модуля.

4. Прикладные аспекты уравнений и неравенств (логарифмические, тригонометрические, с переменной под знаком модуля).

8. Типичные ошибки, допускаемые учащимися при решении неравенств, и методика их устранения.

9. Роль неравенств с переменными в изучении свойств функции и использование свойств функций при решении неравенств с переменными.

10. Способы решения неравенств (аналитический и графический).

11. Неравенства в школьном курсе математики: библиографический список статей, опубликованных в газете «Математика» за 2001-2011 г.г. (с аннотацией).






Читайте также:

  1. Adjective and adverb. Имя прилагательное и наречие. Степени сравнения.
  2. F33.2 Рекуррентное депрессивное расстройство, текущий эпизод тяжелый степени без психотических симптомов.
  3. F70.99 Умственная отсталость легкой степени без указаний на нарушение поведения, обусловленная неуточненными причинами
  4. I. ПРОТОКОЛ К МАДРИДСКОМУ СОГЛАШЕНИЮ О МЕЖДУНАРОДНОЙ РЕГИСТРАЦИИ ЗНАКОВ («МАДРИДСКИЙ ПРОТОКОЛ»)
  5. II.2. Технология написания введения и первой главы работы
  6. III 7 Взаимодействие аллельных и неаллельных генов с решением
  7. III. Борьба за разрешение восточного вопроса.
  8. III.3. Композиционное и пространственное решение пейзажей
  9. VIII. Дополнения из самого раннего детства. Разрешение
  10. А. НИЦЦКОЕ СОГЛАШЕНИЕ О МЕЖДУНАРОДНОЙ КЛАССИФИКАЦИИ ТОВАРОВ И УСЛУГ ДЛЯ РЕГИСТРАЦИИ ЗНАКОВ
  11. Авары, славяне и Византия в первой четверти седьмого века
  12. Авиация в Первой мировой войне


Последнее изменение этой страницы: 2016-03-16; Просмотров: 102; Нарушение авторского права страницы


lektsia.com 2007 - 2017 год. Все права принадлежат их авторам! (0.169 с.) Главная | Обратная связь