Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология
Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии


Оценка точности результатов моделирования



При имитационном моделировании важным вопрос точности полученного результата. Точность зависит от числа реализаций модели, которые необходимы для того, чтобы оценка вероятности интересующего нас события, была достаточно близка к истинному ее значению. Этот вопрос обычно воз­никает и в других постановках статистических задач.

Теория вероятностей позволяет нам оценить эту точность. Относительная величина ошибки приблизительно обратно пропорциональна квадратному корню из числа испытаний. Иными словами, если мы получили N реализаций модели для определения интересующей нас величины Х, то последняя будет получена с ошибкой Dх, наиболее вероятное значение которой определяется из приближенного соотношения

.

Мы можем определить число испытаний, для получения ответа с заданной точностью.

.

От числа испытаний зависит так же и точность модели.

.

Определяя поток машин в предыдущем примере мы получили х=6, а число реализаций модели составило N=10.Тогда Dх=1,9, что составляет 32%. Это и есть точность нашего результата х=6±2.

Мы можем определить число испытаний, для получения ответа с заданной точностью. Нас устроит Dх=1, так как число приезжающих машин всегда целое число. Оно равно

.

Тогда, для получения необходимой точности число реализаций модели должно составлять N=36.

 

5.7. Примеры построения имитационных моделей

5.7.1. Вычисление числа π

Мы рассматривали динамические имитационные модели, в которых осуществлялось моделирование процессов, протекающих во времени. Представленная ниже модель относится к классу статических, не зависящих от времени.

Известно, что число π (отношение длины окружности к диаметру) является иррациональным числом. Оно может быть представлено бесконечной непериодической десятичной дробью π=3,14… . Кроме того, число π трансцендентно, то есть не может быть корнем алгебраического уравнения с целыми коэффициентами. В настоящее время число π вычислено с точностью до триллионного знака. Используются разные методы, например, разложение в ряд. Ряд Лейбница (дает очень медленную сходимость)

Покажем теперь, как можно решить задачу вычисления числа π методом Монте-Карло. Нарисуем квадрат, сторону которого примем за единицу длины. Впишем в этот квадрат четверть круга, как показано на рисунке.

 

 
 

 


 

Рис. 18 Схема моделирования числа π

Площадь части круга равна . Площадь квадрата равна единице. Каждая точка R(х,у) внутри рисунка имеет две координаты х и у. Пусть эти координаты являются случайными числами (числа равномерно распределены, число точек пропорционально площади). Если диапазон изменения этих случайных чисел равен [0,1], то любое случайное число R(х,у) будет находиться в площади квадрата. Определим два случайных события, составляющих полную группу:

А – случайное число R попадает в площадь круга с вероятностью Р(А);

В – случайное число R попадает в площадь квадрата, не покрытую кругом с вероятностью Р(В).

Они составляют полную группу. Случайное попадание будет либо в круге, либо в части квадрата S2.

Теперь проведем множество реализаций N случайного числа R(х,у). Количество чисел, попавших на поверхность части круга равно n, а вне круга – равно N - n. Очевидно, что отношение площадей равно отношению вероятностей и равно отношению числа попаданий :

. или .

 

И так, есть модель . Берем пару случайных чисел R(х,у). Необходимо сформировать условие попадания в круг.

Для того, что бы определить n нам необходимо в этой модели указать условие реализации события А. Естественно, оно будет выглядеть следующим образом. .

Теперь, производя множество реализаций модели и фиксируя результаты, мы можем вычислить число π.Единица соответствует событию А.

Таблица 16

Реализации
Результаты реализаций

 

Вычислив среднее значение, мы получим π=2,857.

Для оценки точности модели будем использовать приведенную выше формулу:

.

Для вычисления числа π мы использовали 14 реализаций и получили значение π=2,857.Этот результат был получен с точностью Dπ=0,8.

Таким образом, определенное нами число должно быть записано Dπ =2,857±0,8.Точное значение π=3,14… , как и должно быть, лежит внутри указанного интервала ошибок.

Для получения более точного результата, например с точностью до одной сотой, необходимо провести около ста тысяч реализаций модели = 90 000.

 






Читайте также:

Последнее изменение этой страницы: 2016-03-16; Просмотров: 175; Нарушение авторского права страницы


lektsia.com 2007 - 2017 год. Все права принадлежат их авторам! (0.096 с.) Главная | Обратная связь