Двумерное нормальное распределение

Среди законов распределения двумерной с. в. (X, У) на практике чаще всего встречается нормальное (гауссовское) распределение веро­ятностей. Оно применяется, в частности, для описания 2-х результатов измерения, абсциссы и ординаты точки попадания (X, У) при стрельбе и т.д.

Двумерная с. в. (X, У) называется распределенной по нормальному ^ закону, если ее совместная плотность f(x, у) имеет вид

f(z, y) =

2ъо_хОу - г²

1 / {х - т_а)² 2г(ж - mg)(y — m_y) (у - т_у)² \ _х-2(1-г> ){ * " ⁺ «i )_{t (}з.з₅₎

где т_х, т_у, а_х, а_у, г = гху — параметры этого распределения.

Распределение (3.35) называется также нормальным законом рас­пределения на плоскости или двумерным нормальным (гауссовским) распределением.

Можно доказать, что f(x, у) — это функция плотности, т.е. спра­ведливо равенство

оо оо

J J f{x, y)dxdy - 1;

—оо —оо

т_х — MX, m.y = MY; а_х и сг_у — средние квадратические отклонения (с. к. о.); г — коэффициент корреляции с. в. X и У.

Это означает, что двумерное нормальное распределение полностью определяется заданием его числовых характеристик, что удобно на практике (опытным путем находят эти параметры-характеристики и получают совместную плотность f(x, у) двух нормально распределен­ных с. в. X и У).

Выясним смысл, например, параметров т_х и а_х, найдя распреде­ление вероятностей составляющей X (т. е. плотность вероятностей од­номерной с. в. X). Согласно формуле (3.10) (п. 3.3) имеем:

У (х~т_х)²

f(x, y)dy=------- l___e-2al(l-r»)_x

оо Ч

J 2n< J-r < 7,, vl — Т

I f {у - Щу)² 2г{х - тп_х){у - m_v)\

е ²⁽¹ " 'Л ^аЪ J_dy«

х -т_х у-гпу

V2c

подстановки ——— = t, —=— = z

уДоу

 

у/2< 7у

д02-2ги)

7 —i

1 -г' / е 1-

2ъо_х(Туу/\ - г²

— оо

, 2 ОО

7 _—i

r dz =

е [5] -г2 dz =

l-r² / _е 1-

у/2ка_х у/1 — г²

^, < » (z-rt)²

_ _e l-r^i-r'² Г

~ у/2ко_х \/1 - г² J

z — rt

подстановка................ ■ ■ = и

л/1 — г'

1л;

е * \/Г

■ \/7г =

V2ira_xVl - г² J л/2-ка_х

—оо

2. e~t

du —

оо

так как

т. е.

Jе~^и2 du = \/я" — интеграл Пуассона, формула (2.39)

(ж — т»)²

\/2тга_х

(х - Ша; )²

 

Случайная величина X имеет нормальное распределение с м. о. т_х и дисперсией а². Аналогично получаем

 

/2(У)

(3.37)

(у - 1 _е за»

\/2/КОу

 

т. е. У ~ N(m_y, cij, ).

График плотности f(x, y) нормального распределения двумерной с. в. (X, У) представляет собой холмообразную поверхность, верши­на которой находится в точке lm_x, m_yy ^ 1, т.е. макси-

\ 2па_х(Т_уу/1 - г²)

мум функции f(x, y) достигается в точке (tyi_x, m_y), рис.34. Сечения поверхности распределения плоскостями, проходящими через точку
^тх> ^my > z У Г ~ ) перпендикулярно плоскости Оху, предста-

2п< т_ха_уу/1 — г²

вляют собой кривые Гаусса вида z = b_е~^а(^х~^т? )². Пересекал поверх­ность распределения г = f(x, y) плоскостью z = zq, где 0 < zq < 2_max, параллельной плоскости Оху, получим в сечении эллипс, уравнение проекции которого на плоскость Оху, имеет вид

(х - т_х)² [х - т_х)(у - т_у) [у - т_у)² ---- Л ^2г о^ ⁺ 15 = ^h ' ^{3'³⁸⁾

о* ^х у сг⁴

где h ² = —2(1 — г²) \п(2тгго< 7_ха_уу/1 — г²). (В силу ограничения на zq ар­гумент логарифма меньше 1, следовательно, значение логарифма отри­цательно.) Если осуществить преобразование параллельного переноса и поворота осей по формулам

(х = т_х 4- xq cos а — уо sin а, \у — т_у + Жо sin о; + уо cos а,

2го_ха_у

где угол а подобран так, что tg2а = —5----- то уравнение (3.38) пре-

образуется в каноническое уравнение эллипса. Эллипс (3.38) называют эллипсом рассеяния; оси симметрии эллипса (они образуют с осью Ох углы а и + а; ) — главными осями рассеяния, а центр эллипса (точка (т_х, т_у)) — ■ центрам рассеяния.

Если компоненты двумерной нормально распределенной с. в. (X, У) некоррелированы (г = гху = 0), то функция плотности (3.35) прини­мает вид

(ж -т_х)² (у-т_у)² *> " Ь

'< *•»> = * ⁴ ^ ^

(х-т_х)² _{У~ т_у)²

= —7=—--i-e =Д(х)-/2Ы,

у2-к< т_х у2тт а у

т. е. f(x, y) — fi(x) • /2(1/), где Д(я) — плотность распределения с. в. X, /2(у) — с. в. У. Отсюда следует вывод: некоррелированные нормально распределенные случайные величины являются также и независимы­ми. Справедливо и обратное утверждение. Таким образом, для нор­мально распределенных с. в. термины «независимость» и «некоррели­рованность» эквивалентны.

Уравнение эллипса рассеяния для некоррелированных с. в. запи­сывается в виде

{х-тп_х)² (у-ту)² ₌ (, ha_x)² (ha_y)²

(следует из равенства (3.38) при г — 0). На рис. 44 изображен один такой эллипс (при h = 1).

Рис. 44

 

Утверждение. Если с. в. X и Y независимы, то вероятность попа­дания случайной точки (X, Y), распределенной по нормальному закону в прямоугольник R = {a находится по формуле:

1 ¹

где Фо(я) — -у _ / е 2 dz — функция Лапласа.

> /27Г О

Q Используя формулу (3.8), находим: Р{а =

г (^х~^т*)² f (у

= —I е~ dx • I е ^2al dy =

У/2ТГ0_х J y2Tttjy J

- (^ф° (ц^) - - №)) ■ (- -^ф° (ц^)) •

Произвольную область D можно приближенно заменить областью, составленной из прямоугольников. На этом основало применение так называемых «сеток рассеивания».

Можно показать, что вероятность попадания такой же точки (X, У) в один из эллипсов рассеяния равна

~m_x)² _i {у-ту)² ^ _l2\ _, __1_Аа

2 2 < 7

ИГ1 Пример 3.9. Найти вероятность попадания точки (X, У) в прямо-

угольник {|х| ^ 1, \у\ ^ 2}, если плотность совместного распределения

. _ х² + 4у² с. в. X и У равна/(я, у) = ^е б

О Функцию f{x, y) можно переписать в виде

(у ~ Q)²

/(®_|У) = —L= е W =/₁(Х)-/₂(_2/).

Значит, с. в. Л" и У независимы N(0, у^З), Y ~ N ^0, • Поэто-

My Р{\х\ < l, \v\ ^ 2} - 2Фо ■ 2Фо = 4Ф_о(0, 58) • Ф₀(2, 31) = = 0, 428. #

Регрессия. Теорема о нормальной корреляции

При изучении двумерной случайной величины рассматриваются не только числовые характеристики одномерных компонент X и У (см. п. 3.6), но и числовые характеристики условных распределений: услов­ные м.о., условные дисперсии.

Рч| Условным математическим ожиданием одной из с. в., входящих

в систему ( X, У) называется ее м.о., вычисляемое при условии, что другая с. в. приняла определенное значение (или попала в данный ин­тервал). Обозначается: М(У\Х = х) или М(У\х) и М(Х\у).

Вычисляются эти характеристики по обычным формулам м.о., в которых вместо плотности распределения и вероятностей событий ис­пользуются условные плотности распределения или условные вероят­ности (п. 3.5).

Для непрерывных с. в.

оо оо

М(У\х)= J yf(y\x)dy, М(Х\у)= J xf(x\y) dx, (3.39)

—oo —oo

где f(y\x) и f(x\y) — условные плотности распределения с. в. X и У, определяемые равенствами (3.17) и (3.18) п. 3.5.

Для дискретных с. в. X и У условные м. о. вычисляются по фор­мулам

то п

M{Y\xi) = M(X\_Vj) = ^^p^jt/j), (3.40)

j=l i=l

где p{yj\xi) = P{Y = yj\X = xj, p(a! i|j/j) = = яг«|У = yj], форму­лы (3.15) и (3.16).

Условное математическое ожидание с. в. У при заданном X — х, т. е. M(Y\x) = ip{x), называется функцией регрессии или просто регрессией У на а: (или У по х). Аналогично, М{Х\у) = < р(у) — регрессия X на у (или X по у).

Графики этих функций называются соответственно линиями (или «кривыми») регрессии У на х и X на у.

Если обе функции регрессии У на ж и X на у линейны, то говорят, что с. в. X и У связаны линейной корреляционной зависимостью.

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. III. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЧАСОВ КУРСА ПО ТЕМАМ И ВИДАМ РАБОТ
2. V. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ РАБОТЫ МЕЖДУ ЗАМАМИ
3. В условиях дуополии с неравным распределением рыночной власти между фирмами одна из них ведет себя как лидер, в то время как другая осуществляет стратегию приспособления
4. Виды прибыли в строительстве. Распределение прибыли.
5. Влияние важнейших экологических факторов на морфогенез, распределение растений и формирование фитоценозов
6. Воздействие на перераспределение национального дохода
7. Вопрос. Понятие и цель судебного доказывания. Распределение обязанности доказывания. Понятие и виды судебных доказательств.
8. Географическое распределение мировой торговли
9. Гетерогенное (неравновесное) распределение микрокомпонента между твердой и жидкой фазами
10. Глава 3. Распределение фонда оплаты труда
11. Глава 9. Паранормальное изменение и создание биологических форм
12. Гомогенное распределение микрокомпонента между твердой и жидкой фазами