КРАТКИЙ ИСТОРИЧЕСКИЙ ОБЗОР РАЗВИТИЯ ГИДРАВЛИКИ

В.А.Кудинов, Э.М.Карташов

ГидрАВЛика

Допущено Министерством образования и науки Российской Федерации в качестве учебного пособия для студентов высших технических учебных заведений

Москва

«Высшая школа»

УДК 621.036.7

ББК 31.31

Рецензенты:

Кудинов В.А., Карташов Э.М.

К Гидравлика. Учеб. пособие для втузов.

М.: Высш. шк., 2004.– 180 с.: ил.

ISBN 5-7964–0330-3

В книге рассмотрены вопросы гидравлики, включенные в программу курса для студентов инженерно-технических специальностей высших учебных заведений. Достаточно подробно изложены основные физико-механические свойства жидкостей, вопросы гидростатики и гидродинамики, даны основы теории гидродинамического подобия, рассмотрены классификация гидравлических потерь, гидравлический расчет трубопроводов и другие вопросы гидравлики.

УДК 621.036.7

ББК 31.31

Глава 1

ВВЕДЕНИЕ

Определение науки «Гидромеханика»

Общие закономерности, связывающие механические движения и взаимодействия тел, находящихся в твердом, жидком и газообразном состояниях, изучаются наукой, называемой механикой, являющейся частью физики.
В зависимости от состояния тела механика разделяется на отдельные направления.

Законы движения абсолютно твердых тел изучаются в теоретической механике, упругих тел – в теории упругости, пластических тел – в теории пластичности.

Законы движения и равновесия жидкостей и газов изучаются в механике жидкостей и газов или в гидромеханике. Гидромеханика разделяется на гидростатику и гидродинамику, включающую кинематику жидкости.

Кинематика жидкости – раздел гидромеханики, в котором рассматриваются виды и формы движения жидкостей, не выясняя причин этого движения (поступательное, деформационное и вихревое движение).

В гидростатике изучаются условия равновесия жидкостей и газов.

В гидродинамике изучаются законы движения жидкостей и газов и устанавливаются зависимости для основных факторов движения. Внешние силы, действующие на тело, считаются известными. Требуется определить давление и скорость движения среды.

В гидромеханике в качестве основного метода исследования используется строгий математический анализ. Параллельно гидромеханике (вначале независимо) развивалась наука, называемая гидравликой. Гидравлика является прикладной инженерной наукой о равновесии и движении жидкостей, базирующейся в основном на экспериментальных данных и использующей приближенные методы расчета. Здесь используются эмпирические и полуэмпирические зависимости (основанные на экспериментальных данных), осредненные величины и прочие допущения, упрощающие рассматриваемый вопрос с целью оценки главных характеристик изучаемого явления.

Таким образом, гидромеханика и гидравлика – это две родственные науки, во многих случаях изучающие одинаковые проблемы, но различными методами. Отметим, что в ряде случаев приходится решать проблемы, сочетая методы гидравлики и гидромеханики. Поэтому иногда весьма затруднительно провести границу между этими двумя науками.

Таблица 1.1

Физические величины	Единицы измерения
СГС	МКГСС	СИ
Площадь w	см²	м²	м²
Объем V	см³	м³	м³
Скорость υ	см/сек	м/сек	м/с
Ускорение a	см/сек²	м/сек²	м/с²
Масса m	г	кгс× сек²/м	кг
Сила F	г× см/сек²= дина (дин)	кгс	кг× м/с²= Ньютон (Н)
Удельный вес g	г/см²× сек²= дин/см³	кгс/м³	кг/м²× с²= Н/м³
Плотность r	г/см³	кгс× сек²/м⁴	кг/м³
Давление p	г/см× сек²	кгс/см²	кг/м× с²=Н/м²
Напряжение t	г/см× сек²	кгс/см²	кг/м× с²=Н/м²
Динамический коэффициент вязкости m	г/см× сек= пуаз (пз)	кгс× сек/см²	кг/м× с
Кинематический коэффициент вязкости n	см²/сек= стокс (ст)	м²/сек	м²/с

что многие учебники, а также значительная часть технической литературы построены на использовании единиц измерения СГС и МКГСС, необходимо иметь таблицу соответствия единиц измерения физических величин в различных системах (см. табл. 1.1).

Глава 2

СВОЙСТВА ЖИДКОСТЕЙ

Задачи

Задача 1. Определить изменение объема воды в резервуаре при нагреве ее от до . Первоначальный объем воды . Коэффициент объемного расширения в интервале температур ─ при давлении 10⁵ Па .

Решение. Коэффициент температурного расширения капельных жидкостей, определяющий относительное изменение объема жидкости при увеличении температуры на 1 градус, находится по формуле

где -первоначальный объем жидкости; -изменение объема жидкости при увеличении ее температуры на величину .

Из формулы для имеем

Задача 2. Определить изменение плотности воды при увеличении ее температуры от до .

Решение. Изменение плотности можно найти по следующей приближенной формуле

где - плотность при температуре ; -коэффициент температурного расширения.

Отсюда

Задача 3. Определить кинематическую и динамическую вязкость воды при температуре (давление ).

Решение. Для определения кинематической вязкости используем формулу

Формула для определения динамической вязкости воды имеет вид

Сделаем проверку, определив кинематическую вязкость по формуле

где -плотность воды при температуре .

Отсюда

Задача 4. Определить кинематическую и динамическую вязкость нефти при температуре . Вязкость, определенная по вискозиметру Энглера, составляет .

Решение. Плотность нефти при температуре 20⁰С составляет . Кинематическую вязкость найдем по формуле Убеллоде

Динамическая вязкость будет

Пуаз (П).

Задача 5. Определить изменение плотности нефти при сжатии ее от Па до Па, если коэффициент объемного сжатия нефти Па ^–1.

Решение. Коэффициент объемного сжатия определяется по формуле

или , (а)

где - объем жидкости при давлении ; -изменение объема жидкости при ее сжатии.

Разность давлений находится по формуле

Па.

Плотность нефти определяется из соотношения

где -масса нефти.

Так как масса нефти в процессе сжатия остается неизменной, то

, (б)

где

. (в)

Формула (в) с учетом (а) будет

. (г)

Подставляя (г) в (б), получим

Отсюда следует, что плотность нефти с изменением давления от 10⁵ Па до 10⁶ Па изменяется незначительно.

Глава 3

ГИДРОСТАТИКА

ПОТЕНЦИАЛ МАССОВЫХ СИЛ

Умножая уравнения Эйлера (3.12) соответственно на dx, dy, dz и почленно складывая, получим

. (3.13)

Так как p= f (x, y, z, ), то полный дифференциал этой функции будет

. (3.14)

Следовательно, правая часть уравнения (3.13) есть полный дифференциал

. (3.15)

Равенство (3.15) имеет смысл лишь в том случае, если левая его часть есть также полный дифференциал какой-то функции. Обозначим эту функцию через . Тогда полный дифференциал ее будет

. (3.16)

Примем, что

. (3.17)

Из сопоставления (3.15), (3.17) получим

X= ; Y= ; Z= .

Функцию называют потенциальной функцией, а силы для которых эта функция существует, - силами, имеющими потенциал.

Отсюда приходим к следующему выводу: жидкость может находиться в равновесии только под действием массовых сил, имеющих потенциал, так как только такие силы удовлетворяют уравнениям равновесия Эйлера.

§ 3.5. ИНТЕГРАЛ УРАВНЕНИЙ ЭЙЛЕРА ДЛЯ НЕСЖИМАЕМОЙ
ЖИДКОСТИ

Проинтегрируем уравнение (3.17) при r=const

Отсюда

, (3.18)

где c - постоянная интегрирования. Полагая, что при p=p₀ потенциальная функция u = u₀, будем иметь

Отсюда

_. (3.19)

Подставляя (3.19) в (3.18), получим

или

Последнее соотношение является интегралом уравнений Эйлера для несжимаемой капельной жидкости.

Так как величина не зависит от давления p₀ и определяется лишь системой массовых (но не поверхностных) сил, то отсюда следует, что насколько изменится давление p₀, на столько же изменится и давление p в любой точке жидкости. Отсюда можно сформулировать закон Паскаля: давление, производимое на поверхность капельной жидкости, находящейся в равновесии, передается всем ее частицам без изменения его величины.

Гидростатический парадокс

Формула для силы давления на горизонтальную стенку

показывает, что суммарное давление на плоскую фигуру определяется лишь глубиной погружения центра тяжести и площадью самой фигуры, но не зависит от формы того сосуда, в который налита жидкость. Поэтому, если взять ряд сосудов, различных по форме, но имеющих одинаковую площадь дна w_Ги равные уровни жидкости H, то во всех этих сосудах суммарное давление на дно будет одинаковым (рис. 3.19). Гидростатическое давление обусловлено в данном случае силой тяжести, но вес жидкости в сосудах разный.

Возникает вопрос: как же различный вес может создать одинаковое давление на дно? В этом кажущемся противоречии и состоит так называемый гидростатический парадокс. Раскрытие парадокса заключается в том, что сила веса жидкости действует в действительности не только на дно, но еще и на другие стенки сосуда.

Рис. 3.19

В случае расширяющегося кверху сосуда, очевидно, что вес жидкости больше силы действующей на дно. Однако в данном случае часть силы веса действует на наклонные стенки. Эта часть есть вес тела давления.

В случае сужающегося к верху сосуда достаточно вспомнить, что вес тела давления G в этом случае отрицателен и действует на сосуд вверх.

Гидравлический аккумулятор

Гидравлический аккумулятор служит для накопления - аккумулирования энергии. Он применяется в тех случаях, когда необходимо произвести кратковременную большую работу, например, при открывании и закрывании ворот шлюзов, при работе гидравлического пресса, гидроподъемника и т. п.

Принципиальная схема гидравлического аккумулятора приведена на рис.3.22. Он состоит из цилиндра A, в котором помещен поршень B, соединенный с нагруженной рамой C, к которой подвешены грузы D.

Рис. 3.22

При помощи насоса в цилиндр нагнетается жидкость до полного его заполнения, при этом грузы поднимаются и тем самым происходит накопление энергии. Чтобы поднять поршень на высоту H, необходимо закачать в цилиндр объем жидкости

где S - площадь сечения поршня.

Отсюда

Если величина грузов равна G, то давление поршня на жидкость определится отношением силы веса G на площадь сечения поршня, т.е

Выражая отсюда G, получим

Работа L, затрачиваемая на подъем груза, будет равна произведению силы G на длину пути H

По этой формуле можно рассчитать не только работу L, но и по известной работе найти необходимые для ее выполнения параметры аккумулятора.

Закон Архимеда

Закон Архимеда формулируется в виде следующего утверждения - на тело, погруженное в жидкость, действует выталкивающая сила, направленная вверх и равная весу вытесненной им жидкости. Эта сила называется поддерживающей. Она является равнодействующей сил давления, с которыми жидкость, находящаяся в покое, действует на покоящееся в нем тело.

Для доказательства закона выделим в теле элементарную вертикальную призму с основаниями dw_n1 и dw_n2(рис. 3.23). Вертикальная проекция элементарной силы, действующей на верхнее основание призмы, будет

Рис. 3.23

где p₁ - давление на основании призмы dw_n1; n₁ - нормаль к поверхности dw_n1.

Так как

где dw_z - площадь призмы в сечении, перпендикулярном оси z, то

Отсюда, учитывая, что по формуле гидростатического давления , получим

Аналогично вертикальная проекция элементарной силы, действующей на нижнее основание призмы, находится по формуле

Суммарная вертикальная элементарная сила, действующая на призму, будет

или

Интегрируя это выражение при , получим

где - объем тела, погруженного в жидкость, где h_T это высота погруженной части тела на данной вертикали.

Отсюда для выталкивающей силы F_z получим формулу

Выделяя в теле элементарные горизонтальные призмы и производя аналогичные выкладки, получим , .

Тогда

где G - вес жидкости, вытесненной телом. Таким образом, выталкивающая сила, действующая на тело, погруженное в жидкость, равна весу жидкости, вытесненной телом, что и требовалось доказать.

Из закона Архимеда следует, что на тело, погруженное в жидкость, в конечном счете действуют две силы (рис. 3.24).

1. Сила тяжести - вес тела .

2. Поддерживающая (выталкивающая) сила , где g₁- удельный вес тела; g₂ - удельный вес жидкости.

При этом могут иметь место следующие основные случаи:

1. Удельный вес тела и жидкости одинаковы . В этом случае , равнодействующая , и тело будет находиться в состоянии безразличного равновесия, т.е. будучи погружено на любую глубину, оно не будет ни всплывать, ни тонуть.

2. При g₁> g₂, . Равнодействующая направлена вниз, и тело будет тонуть.

3. При g₁< g₂ . Равнодействующая направлена вверх, и тело будет всплывать. Всплытие тела будет продолжаться до тех пор, пока выталкивающая сила не уменьшится настолько, что сделается равной силе веса, т.е. пока не будет . После этого тело будет плавать на поверхности.

§ 3.19. Условия плавучести и остойчивости тел,
частично погруженных в жидкость

Наличие условия необходимо для равновесия тела, погруженного в жидкость, но еще недостаточно. Для равновесия тела, кроме равенства , необходимо также, чтобы линии этих сил были направлены по одной прямой, т.е. совпадали (рис. 3.25 а).

Рис. 3.25

Если тело однородно, то точки приложения указанных сил всегда совпадают и направлены по одной прямой. Если тело неоднородно, то точки приложения этих сил не совпадут и силы G и F_z образуют пару сил (см. рис. 3.25 б, в). Под действием этой пары сил тело будет вращаться в жидкости до тех пор, пока точки приложения сил G и F_z не окажутся на одной вертикали, т.е. момент пары сил будет равен нулю (рис.3.26).

Наибольший практический интерес представляет исследование условий равновесия тел, частично погруженных в жидкость, т.е. при плавании тел.

Способность плавающего тела, выведенного из состояния равновесия, вновь возвращаться в это состояние называется остойчивостью.

Рассмотрим условия, при которых плавающее на поверхности жидкости тело остойчиво.

На рис. 3.27 (а, б) C - центр тяжести (точка приложения равнодействующей сил веса G);
D - точка приложения равнодействующей выталкивающих сил F_z; M - метацентр (точка пересечения равнодействующей выталкивающих сил с осью плавания 00).

Дадим некоторые определения.

Вес жидкости, вытесненной погруженным в нее телом, называется водоизмещением.

Рис. 3.27

Точка приложения равнодействующей выталкивающих сил называется центром водоизмещения (точка D).

Расстояние MC между метацентром и центром водоизмещения называется метацентрическим радиусом.

Таким образом, плавающее тело имеет три характерные точки:

1. Центр тяжести C, не меняющий своего положения при крене.

2. Центр водоизмещения D, перемещающийся при крене тела, так как очертания объема, вытесняемого в жидкости, при этом меняются.

3. Метацентр M, также изменяющий свое положение при крене.

При плавании тела могут представиться следующие 3 основных случая в зависимости от относительного расположения центра тяжести C и метацентра M.

1. Случай остойчивого равновесия. В этом случае метацентр лежит выше центра тяжести (рис.3.27, а) и при крене пара сил G и F_z стремится возвратить тело в первоначальное состояние (тело вращается против часовой стрелки).

2. Случай безразличного равновесия. В этом случае метацентр и центр тяжести совпадают и тело, выведенное из состояния равновесия, остается неподвижным.

3. Случай неостойчивого равновесия. Здесь метацентр лежит ниже центра тяжести (рис. 3.27, б) и образовавшаяся при крене пара сил вызывает вращение тела по часовой стрелке, что может привести к опрокидыванию плавающего средства.

Задачи

Задача 1. Паровой прямодействующий насос подает жидкость Ж на высоту Н (рис. 3.28). Найти рабочее давление пара при следующих исходных данных: ; ; . Жидкость – вода ( ). Найти также силу, действующую на малый и большой поршни.

Рис. 3.28

Решение. Найдем давление на малом поршне

Сила , действующая на малый поршень, будет

Эта же сила действует на большой поршень, т.е.

Отсюда

Задача 2. Определить силу прессования , развиваемую гидравлическим прессом, у которого диаметр большого поршня , а малого – , при следующих исходных данных (рис. 3.29):

; ; ; ; .

Рис. 3.29

Решение. Найдем силу , действующую на малый поршень. Для этого составим условие равновесия рычага пресса

Отсюда

Давление жидкости под малым поршнем будет

где .

Давление жидкости под большим поршнем

где .

По закону Паскаля давление в жидкости передается по всем направлениям без изменения. Отсюда или

Отсюда

Глава 4

Гидродинамика

Раздел гидравлики, в котором изучаются законы движения жидкости, называется гидродинамикой. При изучении движения жидкостей рассматриваются две основные задачи.

1. Заданы гидродинамические характеристики потока (скорость и давление); требуется определить силы, действующие на жидкость.

2. Заданы силы, действующие на жидкость; требуется определить гидродинамические характеристики потока.

Применительно к идеальной жидкости гидродинамическое давление имеет те же свойства и тот же смысл, что и гидростатическое давление. При анализе движения вязкой жидкости оказывается, что

где - действительные нормальные напряжения в рассматриваемой точке, относящиеся к трем произвольно намеченным в этой точке взаимно ортогональным площадкам. Гидродинамическим давлением в точке считают величину

При этом считается, что величина p не зависит от ориентировки взаимно ортогональных площадок.

В дальнейшем будет рассматриваться задача определения скорости и давления при известных силах, действующих на жидкость. Следует отметить, что скорость и давление для разных точек жидкости будут иметь различные величины и, кроме того, для данной точки пространства они могут изменяться во времени.

Для определения составляющих скорости по координатным осям , , и давления p в гидравлике рассматриваются следующие уравнения.

1. Уравнение несжимаемости и неразрывности движущейся жидкости (уравнение баланса расхода жидкости).

2. Дифференциальные уравнения движения (уравнения Эйлера).

3. Уравнение баланса удельной энергии потока (уравнение Бернулли).

Ниже будут приведены все эти уравнения, составляющие теоретическую базу гидродинамики, с предварительными пояснениями некоторых исходных положений из области кинематики жидкости.

§ 4.1. ОСНОВНЫЕ КИНЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ.
ДВА МЕТОДА ИССЛЕДОВАНИЯ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ

При изучении движения жидкости можно пользоваться двумя методами исследования. Первый метод, развитый Лагранжем и названный субстанциональным, заключается в том, что движение всей жидкости изучается путем исследования движения ее отдельных индивидуальных частиц.

Второй метод, развитый Эйлером и названный локальным, состоит в том, что движение всей жидкости изучается путем исследования движения в отдельных неподвижных точках, через которые протекает жидкость.

В гидродинамике применяются оба эти метода. Однако более распространен метод Эйлера, благодаря его простоте. По методу Лагранжа в начальный момент времени t₀ отмечают в жидкости определенные частицы и далее следят во времени за движением каждой отмеченной частицы и за ее кинематическими характеристиками. Положение каждой частицы жидкости в момент времени t₀ определяется тремя координатами в неподвижной системе координат, т.е. тремя уравнениями

(4.1)

где х, у, z - координаты частицы; t - время.

Для составления уравнений, характеризующих движение различных частиц потока, необходимо учитывать положение частиц в начальный момент времени, т.е. начальные координаты частиц.

Например, точка М (рис. 4.1) в момент времени t = 0 имеет координаты а, b, с. Соотношения (4.1) с учетом а, b, с примут вид

(4.2)

В соотношениях (4.2) начальные координаты а, b, с могут рассматриваться как независимые переменные (параметры). Следовательно, текущие координаты x, y, z некоторой движущейся частицы являются функциями переменных а, b, с, t, которые называются переменными Лагранжа.

При известных соотношениях (4.2) движение жидкости вполне определено. Действительно, проекции скорости на координатные оси определяются соотношениями (как первые производные от координат по времени)

;

; (4.3)

Проекции ускорений находятся как вторые производные от координат (первые производные от скорости) по времени (соотношения 4.5).

Траектория любой частицы определяется непосредственно из уравнений (4.1) путем нахождения координат x, y, z выбранной частицы жидкости для ряда моментов времени.

По методу Эйлера изучение движения жидкости состоит: а) в исследовании изменений во времени векторных и скалярных величин в некоторой фиксированной точке пространства; б) в исследовании изменений этих величин при переходе от одной точки пространства к другой.

Таким образом, в методе Эйлера предметом изучения являются поля тех или иных векторных или скалярных величин. Полем какой-либо величины, как известно, называется часть пространства, в каждой точке которого имеется определенное значение этой величины.

Математически поле, например скоростное, описывается следующими уравнениями

(4.4)

т.е. скорость

является функцией координат и времени.

Переменные x, y, z, t называются переменными Эйлера.

Таким образом, в методе Эйлера движение жидкости характеризуется построением поля скоростей, т.е. картины движения в различных точках пространства в каждый данный момент времени. При этом скорости во всех точках определяются в виде функций (4.4).

Метод Эйлера и метод Лагранжа математически связаны между собой. Например, в методе Эйлера, частично используя метод Лагранжа, можно следить за движением частицы не в течение времени t (как это следует по Лагранжу), а в продолжение элементарного отрезка времени dt, в течение которого данная частица жидкости проходит через рассматриваемую точку пространства. При этом для определения проекций скорости на координатные оси можно будет пользоваться соотношениями (4.3).

Из (4.2) следует, что координаты x, y, z являются функциями времени. Тогда будут сложными функциями времени. По правилу дифференцирования сложных функций будем иметь

;

; (4.5)

где – проекции ускорения движущейся частицы на соответствующие координатные оси.

Так как для движущейся частицы

, , ,

то

;

Частные производные

, ,

называются проекциями локального (местного) ускорения.

Суммы вида

называется проекциями конвективного ускорения.

Полные производные

, ,

называются еще субстанциональными или индивидуальными производными.

Локальное ускорение определяет изменение во времени скорости в данной точке пространства. Конвективное ускорение определяет изменение скорости по координатам, т.е. при переходе из одной точки пространства в другую.

§ 4.2. Траектории частиц и линии тока

Траекторией движущейся частицы жидкости называется путь одной и той же частицы, прослеженной во времени. Изучение траекторий частиц лежит в основе метода Лагранжа. При исследовании движения жидкости по методу Эйлера общее представление о движении жидкости можно составить при помощи построения линий тока (рис. 4.2, 4.3). Линией тока называется такая линия, в каждой точке которой в данный момент времени t векторы скорости являются касательными к этой линии.

Рис.4.2.

Рис.4.3.

При установившемся движении (см. §4.3), когда уровень жидкости в емкости не изменяется (см. рис. 4.2), траектории частиц и линии тока совпадают. В случае неустановившегося движения (см. рис. 4.3) траектории частиц и линии тока не совпадают.

Следует подчеркнуть разницу между траекторией частицы и линией тока. Траектория относится лишь к одной определенной частице, изучаемой в течение определенного отрезка времени. Линия тока относится к определенной совокупности различных частиц, рассматриваемых в одно мгновение
(в данный момент времени).

УСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ

Понятие установившегося движения вводится только при исследовании движения жидкости в переменных Эйлера.

Установившимся называется движение жидкости, при котором все элементы, характеризующие движение жидкости, в любой точке пространства не меняются во времени (см. рис. 4.2). Например, для составляющих скорости будем иметь

;

Отсюда

; ; .

Тогда

;

Так как величина и направление скорости движения в любой точке пространства при установившемся движении не меняются, то и линии тока не будут меняться во времени. Отсюда следует (как уже было отмечено в § 4.2), что при установившемся движении траектории частиц и линии тока совпадают.

Движение, при котором все элементы, характеризующие движение жидкости, в любой точке пространства меняются во времени, называется неустановившимся ( , рис. 4.3).

§ 4.4. СТРУЙЧАТАЯ МОДЕЛЬ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ.
ТРУБКА ТОКА. РАСХОД ЖИДКОСТИ

Рассмотрим линию тока 1-2 (рис. 4.4). Проведем в точке 1 плоскость, перпендикулярную к вектору скорости u₁. Возьмем в этой плоскости элементарный замкнутый контур l, охватывающий площадку dw. Через все точки этого контура проведем линии тока. Совокупность линий тока, проведенных через какой-либо контур в жидкости, образуют поверхность, называемую трубкой тока.

12 3 4 5 6 7 8 9 10 Следующая ⇒