Понятие вектора. Линейные операции над векторами

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

Понятие вектора. Линейные операции над векторами

Направленный отрезок с началом в точке А и концом в точке В называется геометрическим вектором или просто вектором. Обозначается или строчными буквами латинского алфавита со стрелкой сверху: , …

Длина отрезка АВ называется длиной или модулем вектора и обозначается: .

Если точки А и В совпадают, то вектор называется нулевым. Нулевой вектор обозначается либо , либо 0. Нулевой вектор не имеет направления и длина его равна нулю.

Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или параллельны одной прямой (лежат на параллельных прямых).

Два вектора называются равными, если они коллинеарны, имеют одинаковое направление и длину.

Произведением вектора на действительное число называется новый вектор , который обладает свойствами:

1^о ;

2° направление вектора совпадает с направлением вектора , если
(рис. 1, а) и противоположно направлению вектора , если (рис. 1, б).

Если точка А является началом вектора , то говорят что вектор отложен от точки А. Отложим от точки А вектор , равный . Затем от точки В отложим вектор , равный . Вектор , равный , называется суммой векторов и и обозначается:

Для любых трех точек А, В, С (рис..2) справедливо равенство (правило треугольника): .

Умножение вектора на число и сложение векторов называются линейными операциями над векторами.

Два вектора называются противоположными, если их длины равны, и они противоположно направлены. Из определения произведения вектора на число следует, что .

Разностью векторов называется вектор , сумма которого с вектором равна вектору . Обозначается: Разность векторов можно определить также равенством:

Проекция вектора на ось. Свойства проекций

Осью называется прямая с заданным началом отсчета и направлением (направление на рисунках указывается стрелкой).

Проекцией точки А на ось 0x называется точка А₁ пересечения оси и плоскости , перпендикулярной этой оси и проходящей через точку А (рис. 3).

Векторной проекцией вектора на ось 0x называется вектор , где А₁, В₁ – проекции точек А, В на ось 0x.

Числовой проекцией (или просто проекцией ) вектора на ось 0x называется число, равное:

, если вектор и ось 0x одинаково направлены (рис. 4, а);

– , если вектор и ось 0x направлены противоположно (рис. 4, б);

0, если = .

Обозначается проекция вектора на ось 0x символом: . Из определения следует, что

, (1)

где – угол между положительным направлением оси 0x и вектором .

Таким образом, если угол острый, то проекция вектора на ось положительна, если тупой угол, то проекция отрицательна; если , то проекция равна нулю.

Вектор называется единичным, если .

Единичный вектор , направление которого совпадает с направлением оси 0x, называется направляющим вектором этой оси или ортом оси. Если – единичный вектор, сонаправленный с вектором , то , если направлен противоположно вектору , то .

Свойства проекций

1°. Проекция на ось суммы векторов равна сумме проекций этих векторов, т.е.

(2)

2°. Проекция произведения вектора на число равна произведению этого числа на проекцию вектора, т.е.

. (3)

3. ПОНЯТИЕ -МЕРНОГО ВЕКТОРА И ВЕКТОРНОГО ПРОСТРАНСТВА

Множества всех плоских или пространственных векторов, рассмотренных выше, в которых определены операции сложения векторов и умножения вектора на число, являются простейшими примерами векторных пространств. Обобщим понятие вектора и дадим определение векторного пространства.

-мерным вектором называется упорядоченная совокупность n действительных чисел, записанных в виде , где - -ая компонента вектора (компоненты -мерного вектора удобно обозначать одной буквой, но с разными индексами (в отличие от двух и трехмерных векторов, компоненты которых обозначают разными буквами), а сам вектор – той же буквой).

Два -мерных вектора равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие компоненты.

Суммой двух векторов одинаковой размерности называется вектор, компоненты которого равны суммам соответствующих компонент слагаемых векторов.

Произведением вектора на действительное число называется вектор, компоненты которого равны произведению на соответствующие компоненты вектора .

Линейные операции над векторами удовлетворяют следующим свойствам:

1°. ;

2^о. ;

3°. существует единственный вектор такой, что справедливо равенство: ;

4°. такой, что; ;

5°. ;

6°. ;

7°. ;

8°. ,

Вектор называется противоположным вектору . Вектор называется нулевым вектором. Сумма векторов называется разностью и обозначается: .

Множество векторов с действительными компонентами, в котором определены операции сложения векторов и умножения вектора на число, удовлетворяющие свойствам 1⁰-8⁰ (рассматриваемым как аксиомы), называется векторным пространством и обозначается .

Следует отметить, что под векторами можно рассматривать и элементы (объекты) любой природы. В этом случае соответствующее множество элементов называется линейным пространством и обозначается .

Линейным пространство является, например, множество всех матриц одинакового порядка, множество всех алгебраических многочленов степени, не превышающей натурального числа .

Заметим для сравнения, что, например, множество всех многочленов степени точно равной , не является линейным пространством, так как на нем не определена операция сложения, ибо сумма двух многочленов может оказаться многочленом степени меньше .

Выражение вида называется линейной комбинацией векторов . Линейная комбинация векторов называется тривиальной, если

и нетривиальной, если . Далее будем использовать факт, что

Система векторов называется линейно зависимой, если существует нетривиальная линейная комбинация этих векторов, равная нулевому вектору.

Если равенство нулевому вектору возможно лишь для тривиальной линейной комбинации, то система векторов называется линейно независимой.

Таким образом:

система векторов линейно зависима, если такие, что

система векторов линейно независима, если справедливо

Утверждение 1. Система из n (n > 1) ненулевых векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда хотя бы один из векторов является линейной комбинацией остальных.

Линейное (векторное) пространство называется - мерным, если в нем существуют линейно независимых векторов, а любые векторов уже являются линейно зависимыми. Другими словами, размерность пространства – это максимальное число содержащихся в нем линейно независимых векторов.

Число называется размерностью пространства и обозначается . Для обозначения n-мерного пространства используется символ .

Базисом в линейном пространстве L называется любая упорядоченная система векторов, обладающая следующими свойствами:

· она линейно независима;

· любой вектор из L является линейной комбинацией векторов этой системы.

Пусть таких векторов в системе n штук. Обозначим эти векторы: . Коэффициенты линейной комбинации векторов, о которой идет речь в определении, называются координатами вектора в базисе , т.е., если , то

и тогда – координаты вектора в базисе . Обозначим через Х матрицу-столбец, состоящую из координат вектора , через e – матрицу-строку, состоящую из векторов базиса , тогда

Утверждение 2.

Координаты любого вектора определяются в базисе e однозначно.

Утверждение 3.

Координаты вектора в базисе e равны сумме координат векторов . Координаты вектора в базисе e равны координатам вектора , умноженным на .

Следствие. Координаты линейной комбинации векторов равны линейным комбинациям координат векторов.

Утверждение 4.

В n-мерном линейном пространстве любая упорядоченная линейно независимая система из n векторов является базисом.

Если – базис в , то равенство

возможно лишь тогда, когда , т.е. система

где – координаты векторов в базисе соответственно, должна иметь единственное решение. Тогда получаем условие линейной независимости трех векторов:

Если векторы образуют базис в , то по определению базиса любой вектор можно представить в виде:

или, в координатной записи:

Числа называются координатами вектора в базисе .