Кодирование чисел. Системы счисления

⇐ ПредыдущаяСтр 7 из 14Следующая ⇒

Система счисления (СС) - способ кодирования числовой информации, т.е. способ записи чисел с помощью некоторого алфавита, символы которого называют цифрами.

Различают системы счисления позиционные и непозиционные. Пример позиционной системы счисления — арабская (современная десятичная), непозиционной — римская.

Таблица 3.

Позиционная СС	Непозиционная СС
005 = 51 (пять) 050 = 510 (пятьдесят) 500 = 5*100 (пятьсот)	IX = 10-1 = 9 XI = 10+1 = 11 XX = 10+10 = 20

В позиционных системах счисления величина, обозначаемая цифрой в записи числа, зависит от её положения в числе (позиции, разряда). Количество используемых цифр называется основанием системы счисления.

Так, в десятичной системе счисления, основание которой равно 10, различают 10 арабских цифр - 0, 1, 2, ..., 9.

В вычислительной технике широко применяют двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную систему счисления.

Двоичная система счисления имеет основание 2, и, следовательно, ее алфавит состоит из двух цифр - 0 и 1; алфавит восьмеричной системы счисления составляют цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7; шестнадцатеричной - десять арабских цифр от 0 до 9 и еще шесть символов - А (10), В (11), С (12), D (13), E (14), F (15).

Для любой позиционной системы счисления справедливо следующее правило формирования числа на основании входящих в эту систему цифр:

, (6)

или, если расписать сумму в этом выражении,

где

y – число;

k – основание системы счисления;

x_i – цифры числа;

i – номер позиции (разряда) числа, начиная с 0.

Так, на основании формулы (6) десятичное число 638₍₁₀₎ представляется следующим образом:

Мы говорим в таком случае, что в этом числе 6 сотен, 3 десятка и 8 единиц.

Исторически, использование для счета десяти цифр связано с тем, что человечество училось считать на пальцах. На самом деле для представления любого числа достаточно алфавита, состоящего только из двух символов, что и реализуется, при хранении информации в памяти электронных устройств. Ячейка памяти в этом случае может находиться в одном из двух состояний, которые кодируются как 0 и 1. Информационная емкость такой ячейки равна 1 биту.

Перевод целых чисел из системы счисления с основанием k в десятичную систему счисления

Число, записанное в позиционной системе счисления с любым основанием, переводится в десятичную систему счисления по правилу (6).

Если, например, 45₍₈₎ – число, записанное в восьмеричной системе счисления, то

45_{( 8 )}=4* 8 ¹+5* 8 ⁰=4*8+5*1=32+5=37₍₁₀₎

Число 203₍₅₎ записано в пятеричной системе счисления, тогда

203_{( 5 )}=2* 5 ²+0* 5 ¹+3* 5 ⁰=2*25+0*5+3*1=50+0+3=53₍₁₀₎

Меняется только основание системы счисления, алгоритм остается неизменным.

Основание позиционной системы счисления в ней самой всегда записывается как 10; например, в двоичной системе счисления 10₍₂₎ означает число 2₍₁₀₎, а в восьмеричной 10₍₈₎ означает число 8₍₁₀₎.

Чтобы легче осуществлять перевод из системы счисления по любому основанию в десятичную, следует для начала явно пронумеровать разряды исходного числа справа налево, начиная с 0 (см. рисунок 14).

Двоичная система счисления

Двоичная (бинарная) система счисления имеет основание 2. Ее алфавит – цифры 0 и 1. Для перевода числа из двоичной системы счисления в десятичную также справедливо правило (6). Представим в десятичном виде число 1101₍₂₎, или, что то же самое, & 1101 (& - амперсант, - этим символом принято указывать то, что следующая за ним запись двоичная).

1101_{( 2 )}=1* 2 ³+1* 2 ²+0* 2 ¹+1* 2 ⁰=1*8+1*4+0*2+1*1=13₍₁₀₎

Рис. 14. Перевод числа из двоичной СС в десятичную.

Но двоичная система имеет некоторые приятные особенности, т.к. коэффициентами при степенях двойки в ней могут быть только либо нули (и тогда можно просто игнорировать разряд числа, имеющий значение “0”), либо единицы (умножение на “1” также можно опустить).

Т.е. достаточно просуммировать “два в соответствующей степени” только в тех позициях двоичного числа, в которых находятся единицы. Степень же, в которую нужно возводить число 2, равна номеру позиции.

Арифметические операции в любой позиционной системе счисления также имеют общую логику.

Таблица 4.

		“Круглые” числа в двоичной СС
& 101	= 5₍₁₀₎	& 1	= 2⁰	= 1
+ 1		& 10	= 2¹	= 2
& 110	= 6₍₁₀₎	& 100	= 2²	= 4
+ 1		& 1000	= 2³	= 8
& 111	= 7₍₁₀₎	& 10000	= 2⁴	= 16

Каждый разряд двоичного числа имеет информационную емкость 1 бит. На основании одного двоичного разряда можно закодировать только два десятичных числа - & 0=0₍₁₀₎, & 1=1₍₁₀₎, на основании двух двоичных разрядов можно закодировать уже четыре десятичных числа – & 00=0₍₁₀₎, & 01=1₍₁₀₎, & 10=2₍₁₀₎, & 11=3₍₁₀₎, тремя двоичными разрядами можно представить восемь десятичных чисел и т.д. в соответствии с формулой Хартли (2).

Таблица 5.

	2⁰	десятичное	2²	2¹	2⁰	десятичное



2¹	2⁰	десятичное

Мы видим, что добавление каждого следующего разряда вдвое увеличивает количество двоичных комбинаций. Графически это может быть представлено так:

Рис. 15. Каждый следующий разряд двоичного числа удваивает количество возможных комбинаций из нулей и единиц.

Таблицу степеней числа 2 от 2⁰ до 2¹⁰ следует знать наизусть.

Таблица 6.

N
2^N

Открытие двоичного способа представления чисел приписывают китайскому императору Фо Ги, жизнь которого относится к 4-му тысячелетию до новой эры. Известный немецкий математик Лейбниц (1646-1716) в 1697 г. разработал правила двоичной арифметики. Он подчеркивал, что " вычисление с помощью двоек, то есть 0 и 1, в вознаграждение его длиннот, является для науки основным и порождает новые открытия, которые оказываются полезными впоследствии, даже в практике чисел, а особенно в геометрии: причиной чего служит то обстоятельство, что при сведении чисел к простейшим началам, каковы 0 и 1, всюду выявляется чудесный порядок" .

Блестящие предсказания Лейбница сбылись только через 2, 5 столетия, когда именно двоичная система счисления нашла применение в качестве универсального способа кодирования информации в компьютерах.

⇐ Предыдущая 2 3 4 5 678 9 10 11 Следующая ⇒