Свойства распределения Максвелла

Как отмечено в параграфе 1.2, в состоянии равновесия при отсутствии внешних полей распределение молекул газа по простран­ству в сосуде будет однородным, т. е. в любом физически бесконеч­но малом объеме содержится одинаковое число молекул. Рассмотрим теперь тот же газ не в обычном пространстве x, y, z, а в про­странстве скоростей . Если газ состоит из N моле­кул, то в любой момент времени в пространстве скоростей будет зафиксировано N точек, отвечающих N векторам скоростей моле­кул. На рис. 11, а и 12, а представлены N точками концы проекций век­торов скоростей молекул газа на плоскость (проекция трехмерной картинки на плоскость).

Как видно из формулы Максвелла (1.10.34) и из рис. 11, а (или рис. 12, а) в разных частях пространства скоростей, соответствующих различных скоростям, будет находиться неодинаковое число молекул, т. е. плотность (см. (1.10.7)) числа частиц в пространстве скоростей будет убывать с уве­личением скорости, т. е. с увеличением расстояния от начала коор­динат, соответствующего нулевой скорости. Создается впе

Рис. 11 Рис. 12

чатление, что как будто в центре пространства скоростей действует некоторое гравитационное поле, которое приводит к экспоненциальному умень­шению числа молекул с удалением от начала координат, подобно то­му, как это имеет место в земной атмосфере, где число молекул воздуха с высотой убывает по экспоненциальному закону (см. формулу (1.13.18)).

Естественно никакого такого поля нет. Есть только изолиро­ванная, находящаяся в равновесии при температуре Т, система молекул, на которую не действуют внешние поля. Неоднородное же распределение в пространстве скоростей возникает в результате действия законов сохранения энергии и импульса при столкновениях молекул. Эти законы служат причиной того, что две молекулы, находящиеся в разных точках пространства скоростей и имеющие разные скорости, после столкновения переходят во вполне определенные точки этого пространства. Как показывает детальный анализ столкновений, достижение периферийных областей пространства скоростей требует многих столкнове­ний, а вот переход из периферийных областей ближе к центру про­странства осуществляется практически при каждом столкновении.

Это приводит, во-первых, к уменьшению числа молекул в области больших скоростей, т. е. к уменьшению плотности числа молекул в периферийных районах и, во-вторых, к увеличению плотности моле­кул с малыми скоростями (рис.11, а; 12, а). Безусловно, законы сохранения действу­ют и в обычном пространстве. Однако в отсутствии силовых полей эти законы в принципе не запрещают молекулам достигать любой точки x, y, z пространства, что и приводит к однородному распре­делению газа.

Таким образом, экспоненциальный характер зависимости максвелловской объемной плотности вероятности (1.10.34) от величины ско­рости является следствием ограничений, которые накладывают за­коны сохранения на изменения скоростей при столкновении молекул. Причем, если рассматриваемое пространство скоростей трехмерно, то все сказанное справедливо для функции (1.10.34), если же пространство скоростей одномерно, то для функции (1.10.33). Графики этих функций представ­лены на рис. 11. Поясним эти графики. Согласно выражению (1.10.3) вероятность того, что некоторая молекула имеет скорость, заключенную в преде­лах от до , равна , т. е. равна заштрихованной площади на рис. 11, б. С другой стороны, согласно формуле (1.10.2), та же вероят­ность равна отношению числа точек в вертикальной полоске (на рис. 11, а она заштрихована) к общему числу точек (молекул) N. Как видно из рис. 11, б, одномерная плотность вероятности от своего наибольше­го значения при убывает экспоненциально (см. (1.10.33)) как в сторону по­ложительных, так и отрицательных проекций скоростей .

Теперь обратимся к функции . Как следует из выражений (1.10.5) и (1.10.6), функция (рис. 11, в), умноженная на элементарный объем , лежащий возле точки с координатами пространства ско­ростей (на рис. 11, а он обозначен заштрихованным квадратиком), так же как и отношение числа точек , попавших в этот объем к общему числу точек N, дают вероятность того, что произвольно взятая молекула будет иметь величину скорости и направление движения, определяемые только местоположением объема dω. При этом из-за равновероятности направлений движения молекул в состоянии равновесия эта вероятность не может зависеть от направления на объем dω, а зависит только от расстояния υ до него. Поэтому вероятность попадания скоростной точки в каждый из трех заштрихованных на рис. 11, а квадратиков одна и та же. Эта вероятность равна заштрихованной области на рис. 11, в.

Рассмотрим, наконец, функцию распределения молекул по абсо­лютным значениям скорости , которая определяется формулой (1.10.35). Величина (на рис. 12, б она равна заштрихованной площади) представляет собой вероятность того, что скорость произвольно взятой молекулы заключена в интервале независимо от ее направления движения. С другой стороны, эта вероятность, очевидно, может быть найдена, как отношение числа скоростных точек , попавших в заштрихованную на рис. 12, а область, к общему числу N скоростных точек. График функции (рис. 12, б) имеет существенно иной вид, нежели функций и : в окрестности точки функция , хотя плотность распределения по компонентам ско­рости в точке принимает наибольшее значение. Это объясняется тем, что, как видно из соотношения (см. (1.10.10)), объем шарового слоя, на который умножается функция , мал в окрестности точки .

Закон Максвелла о распределении молекул по величине скорости

(1.11.1)

состоит из произведения двух конкурирующих множителей, зависящих от скорости: один из них с ростом увеличивается, а другой – уменьшается. При малых значениях возрастание первого множителя превосходит убывание второго, поэтому функция вначале возрастает (рис. 12, б) с ростом . При больших значениях , наоборот, убывание второго множи­теля превосходит возрастание первого и функция в результате убывает с ростом . Таким образом, функция с ростом сначала воз­растает, а затем убывает, поэтому при некотором значении она достигает наибольшей величины. Значение скорости, при которой функция максимальна, находится из уравнения . Дифферен­цирование дает

Значения и доставляют наименьшие значения функции , равные нулю. Значение скорости, обеспечивающее наибольшее значе­ние , находится из равенства и называется наиболее вероятной ско­ростью :

(1.11.2)

При этом максимальное значение функции равно:

(1.11.3)

На основании формул (А.22) приложения А и (1.10.8) вероятность того, что величи­на скорости молекулы заключена в пределах от до , равна

(1.11.4)

и изображается на рис. 13 заштрихованной площадью. Так как, по

Рис. 13

определению вероятности, , где – число молекул, которые имеют скорость, заключенную в интервале , а N – общее число молекул, то выражение (1.11.4) можно представить в виде:

Число молекул, которые имеют скорость превышающие некоторое значение ,

(1.11.5)

Нетрудно показать, что площадь под графиком функции и осью равна единице. В самом деле, используя выражение (В.5) из приложения В, получим

 

(1.11.6)

 

Таким образом, . Это известное условие нормировки функции , выполняемое для любой плотности вероятности (см. (А.21) приложения A), означает, что вероят­ность того, что молекула имеет какую-нибудь скорость, равна единице.

Так же легко показать, используя соотношения (А.25) и (В.8) из приложений А и В, что среднее значение скорости молекул

(1.11.7)

Аналогично, приняв во внимание формулы (А.29) и (В.6) из приложений А и В, можно найти выражение для среднего квадрата скорости:

(1.11.8)

Корень квадратный из среднего квадрата скорости называют средне­квадратичной скоростью молекул и обозначают . Таким образом,

(1.11.9)

Для характеристики чаще всего реализуемого в равновесном газе значения скорости молекул можно взять либо наиболее вероят­ную (1.11.2), либо среднюю (1.11.7), либо среднеквадратичную (1.11.9) скорости. Ни одна из них, как характеристика некоторого среднего, ориентировочного значения скорости молекул, возле которой группируются все возмож­ные значения, не может иметь предпочтения перед другими. К тому же все они дают близкие друг к другу значения. В самом деле, из сравнения (1.11.2), (1.11.7) и (1.11.9) нетрудно получить, что

. Однако каждая из них как самостоятельная величина широко используется в различных соотношениях физики. Так, например, согласно формуле (1.4.12), число ударов молекул газа о единичную площадку в единицу времени зависит от среднего значения скорости, тогда как давление газа (1.5.9) определяется через средний квадрат скорости.

Важной особенностью закона Максвелла является наличие ве­личины под знаком экспоненты, которая равна отношению кинетичес­кой энергии молекулы к кинетической энергии , соответствующей наиболее вероятной скорости молекулы.

Функция является двухпараметрической, т. е. она содержит два параметра: массу молекулы и температуру газа Т.

Как видно из формулы (1.11.2), при повышении температуры газа максимум функции сдвигается в сторону больших скоростей, высота же макси­мума при этом уменьшается, естественно, площадь под кривой и осью остается по-прежнему равной единице. На рис. 14 представлены два распределения по скоростям одного и того же газа при различ­ных температурах . Как видно, с повышением температуры увеличи­вается число молекул с большими скоростями и уменьшается число молекул с малыми скоростями.

Из закона Максвелла (1.11.1) и формул (1.11.2) и (1.11.3) видно, что при одной и той же температуре с увеличением массы молекул газа максимум функции смещается в сторону меньших скоростей и становится больше. Кривые с разными массами и одинаковым параметром Т приведены на рис. 15. При одной и той же температуре у тяжелого газа молекулы с малыми скоростями встречаются чаще, а молекулы с большими скоростями – реже, чем у газа, имеющего легкие моле­кулы.

Рис. 14 Рис. 15

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. Выбор теоретического закона распределения износов.
2. Глава 15. Минимальные расчетные показатели распределения зон жилой застройки по видам жилой застройки
3. Доверительные интервалы для параметров нормального распределения
4. Критерии выбора канала распределения
5. Маркетинг сбыта: ГЛАВА III. Организационные основы системы распределения
6. Матрица распределения ожидаемых результатов освоения учебной
7. Методы распределения функций.
8. Основные количественные характеристики распределения радионуклидов между твёрдой и жидкой фазами
9. Основные количественные характеристики распределения радионуклидов между твердой и жидкой фазами.
10. Основные типы пространственного распределения особей
11. Особенности распределения речной сети Зарубежной Азии. Крупнейшие реки, их режим и хозяйственное использование
12. перечислите зоны производственных территорий промышленных предприятий. Правило распределения людских и грузовых потоков на территории промышленного района.