Задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений.

⇐ ПредыдущаяСтр 4 из 5Следующая ⇒

Метод Эйлера.

Одним из простейших разностных методов решения обыкновенного дифференциального уравнения является метод Эйлера.

Пусть требуется решить задачу Коши для уравнения первого порядка:

(6.1)

на отрезке .

На данном отрезке выбираем некоторую совокупность точек с равностоящими узлами, т.е. .

Конечно-разностная аппроксимация прозводной

Так как , получаем формулу Эйлера

, , (6.2)

с помощью которой значение сеточной функции в любом узле вычисляется по ее значению в предыдущем узле . На каждом шаге погрешность имеет порядок . В конце интервала погрешность , т.е. метод Эйлера имеет первый порядок точности. На рис. 6.1 дана геометрическая интерпретация метода Эйлера.

Рис. 6.1. Метод Эйлера.

Модифицированный метод Эйлера.

Модифицированный метод Эйлера позволяет уменьшить погрешность на каждом шаге до величины вместо в обычном методе (6.2). Запишем разложение функции в ряд Тейлора в виде:

(6.3)

Аппроксимируем вторую производную с помощью отношения конечных разностей:

Подставляя это соотношение в (6.3) и пренебрегая членами порядка , получаем:

(6.4)

Полученная схема является неявной, поскольку искомое значение входит в обе части соотношения (6.4), но можно построить приближенное решение с использованием двух итераций.

Сначала по формуле Эйлера (6.2) вычисляют первое приближение

(6.5)

Затем находится уточненное окончательное значение

(6.6)

Такая схема решения называется модифицированным методом Эйлера и имеет второй порядок точности.

Метод Рунге-Кутта.

Формулы (6.5-6.6) можно представить в виде

где

Такая формулировка модифицированного метода Эйлера представляет собой метод Рунге-Кутта второго порядка. На основе метода Рунге-Кутта могут быть построены разностные схемы разного порядка точности. Наиболее употребительной является следующая схема четвертого порядка:

(6.7)

где

(6.8)

Таким образом, метод Рунге-Кутта требует на каждом шаге четырехкратного вычисления правой части уравнения. Однако это окупается повышенной точностью, что дает возможность проводить счет с относительно большим шагом.

Краевая задача для обыкновенного дифференциального уравнения 2- го порядка.

Линейная краевая задача имеет вид:

(6.9)

(6.10)

при .

Решение задачи (6.9)-(6.10) проводится в следующей последовательности:

1. Определение сетки.

Отрезок [a, b] делится на частей:

… …

… …

, ,

2. Определение сеточной функции :

3. Аппроксимация уравнения:

Для каждой узловой точки заменяем функции и производные в уравнениях 6.9-6.10 конечноразностными аналогами:

: :

…

…

Получаем ситему линейных алгебраических уравнений для определения неизвестных величин .

Численные методы. Погрешности вычислений

Численные методы. После того как дана формулировка задач и построена математическая модель, необходимо выбрать эффективный метод решения полученной математической задачи. Для решения математических задач используется три основные группы методов: графическое, аналитическое, численное. Первые 2 группы методов позволяют получить решение в редких случаях. Основным инструментом для решения мат. Задач в наст. вр. яв-ся численные методы, позволяющие свести решение задачи к выполнению конечного числа арифметических действий над числами. При этом результат получается в виде числовых значений. Обычно результат находится с некоторой погрешностью. Надо учитывать как сложность расчетных формул связанных с тем или иным методом, так и необходимую точность вычислений.

Структура погрешности вычислений

1)математическая модель

2)исходные данные

3)численный метод

4)округление при вычислении

Погрешность математической модели связана с тем, что она охватывает важнейшие для данной задачи стороны яв-ия, но не все. Исходные данные не точны, они яв-ся результатами измерений или эксперимента. Погрешность исходных данных называется неустранимой погрешностью так как не зависит от исследователя. Погрешность метода связана с тем что решение задачи сформулированной в терминах более сложный, сводится к вычислению в определенном порядке.

⇐ Предыдущая 1 2 345 Следующая ⇒