Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология
Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии


D.1. Парная регрессия и корреляция



Вопросы к зачету.

Задания к контрольной работе

по предмету

 

«Эконометрика»

 

Составил: доцент, к. ф.-м. н.

Трегубова А.Х.

 

 

Уфа, 2014г.


ОБЩИЕ УКАЗАНИЯ

Эконометрика является областью знаний, которая охватывает вопросы применения статистических методов к теоретическим моделям, описывающим реальные экономические процессы.

Эконометрические модели позволяют объяснить те или иные экономические явления или процессы, но, очевидно, они не позволяют получить всю информацию и однозначно определить истинный механизм экономического явления или процесса.

По курсу Эконометрика студент выполняет одну контрольную работу. В данных методических рекомендациях приводится 10 вариантов контрольной работы (номера вариантов с 1 по 10). Обязательным требованием к ее оформлению является следующее:

1) указать вариант контрольной работы и номер зачетной книжки;

2) при решении каждой задачи необходимо приводить полностью ее условие;

3) решение задачи должно сопровождаться необходимыми формулами, таблицами, графиками, положениями и выводами;

Построить решения задач 1, 2, 4 в табличном редакторе Excel. Сравнить результаты полученные с помощью расчетных формул, с результатами инструментальных средств Excel. Привести в отчете как на странице 11 Рис.1. Ввод исходных данных для Регрессии и Рис.2. Результат регрессионного анализа из Excel.


Вопросы к зачету (экзамену).

1. Определение эконометрики. Эконометрический метод и этапы эконометрического исследования.

2. Парная регрессия. Способы задания уравнения парной регрессии.

3. Линейная модель парной регрессии. Смысл и оценка параметров.

4. Оценка существенности уравнения в целом и отдельных его параметров ( -критерий Фишера и -критерий Стьюдента).

5. Прогноз по линейному уравнению регрессии. Средняя ошибка аппроксимации.

6. Нелинейная регрессия. Классы нелинейных регрессий.

7. Регрессии нелинейные относительно включенных в анализ объясняющих переменных.

8. Регрессии нелинейные по оцениваемым параметрам.

9. Коэффициенты эластичности для разных видов регрессионных моделей.

10. Корреляция и -критерий Фишера для нелинейной регрессии.

11. Отбор факторов при построении уравнения множественной регрессии.

12. Оценка параметров уравнения множественной регрессии.

13. Множественная корреляция.

14. Частные коэффициенты корреляции.

15. -критерий Фишера и частный -критерий Фишера для уравнения множественной регрессии.

16. -критерий Стьюдента для уравнения множественной регрессии.

17. Фиктивные переменные во множественной регрессии.

18. Предпосылки МНК: гомоскедастичность и гетероскедастичность.

19. Предпосылки МНК: автокорреляция остатков.

20. Обобщенный МНК.

21. Общие понятия о системах эконометрических уравнений.

22. Структурная и приведенная формы модели.

23. Проблема идентификации. Необходимое условие идентифицируемости.

24. Проблема идентификации. Достаточное условие идентифицируемости.

25. Методы оценки параметров структурной формы модели.

26. Основные элементы временного ряда.

27. Автокорреляция уровней временного ряда и выявление его структуры.

28. Моделирование сезонных колебаний: аддитивная модель временного ряда.

29. Моделирование сезонных колебаний: мультипликативная модель временного ряда.

30. Критерий Дарбина-Уотсона.


Варианты индивидуальных заданий

Решение

1. Для расчета параметров уравнения линейной регрессии строим расчетную таблицу D.2.

Таблица D.2

 
-16 12, 0
-4 2, 7
-23 17, 2
2, 6
1, 9
10, 8
0, 0
0, 0
5, 3
3, 1
7, 5
-10 5, 8
Итого 68, 9
Среднее значение 85, 6 155, 8 13484, 0 7492, 3 24531, 4 5, 7
12, 84 16, 05
164, 94 257, 76

;

.

Получено уравнение регрессии: .

С увеличением среднедушевого прожиточного минимума на 1 руб. среднедневная заработная плата возрастает в среднем на 0, 89 руб.

2. Тесноту линейной связи оценит коэффициент корреляции:

; .

Это означает, что 51% вариации заработной платы ( ) объясняется вариацией фактора – среднедушевого прожиточного минимума.

Качество модели определяет средняя ошибка аппроксимации:

.

Качество построенной модели оценивается как хорошее, так как не превышает 8-10%.

3. Оценку значимости уравнения регрессии в целом проведем с помощью -критерия Фишера. Фактическое значение -критерия:

.

Табличное значение критерия при пятипроцентном уровне значимости и степенях свободы и составляет . Так как , то уравнение регрессии признается статистически значимым.

Оценку статистической значимости параметров регрессии проведем с помощью -статистики Стьюдента и путем расчета доверительного интервала каждого из показателей.

Табличное значение -критерия для числа степеней свободы и составит .

Определим случайные ошибки , , :

;

;

.

Тогда

;

;

.

Фактические значения -статистики превосходят табличное значение:

; ; ,

поэтому параметры , и не случайно отличаются от нуля, а статистически значимы.

Рассчитаем доверительные интервалы для параметров регрессии и . Для этого определим предельную ошибку для каждого показателя:

;

.

Доверительные интервалы

Анализ верхней и нижней границ доверительных интервалов приводит к выводу о том, что с вероятностью параметры и , находясь в указанных границах, не принимают нулевых значений, т.е. не являются статистически незначимыми и существенно отличны от нуля.

4. Полученные оценки уравнения регрессии позволяют использовать его для прогноза. Если прогнозное значение прожиточного минимума составит: руб., тогда прогнозное значение заработной платы составит: руб.

5. Ошибка прогноза составит:

.

Предельная ошибка прогноза, которая в случаев не будет превышена, составит:

.

Доверительный интервал прогноза:

руб.;

руб.

Выполненный прогноз среднемесячной заработной платы является надежным ( ) и находится в пределах от 131, 66 руб. до 190, 62 руб.

6. В заключение решения задачи построим на одном графике исходные данные и теоретическую прямую (рис. D.1):

Рис. D.1.

Варианты индивидуальных заданий

Задача 1. По территориям региона приводятся данные за 199X г. (см. таблицу своего варианта).

Требуется:

1. Построить линейное уравнение парной регрессии от .

2. Рассчитать линейный коэффициент парной корреляции и среднюю ошибку аппроксимации.

3. Оценить статистическую значимость параметров регрессии и корреляции с помощью -критерия Фишера и -критерия Стьюдента.

4. Выполнить прогноз заработной платы при прогнозном значении среднедушевого прожиточного минимума , составляющем 107% от среднего уровня.

5. Оценить точность прогноза, рассчитав ошибку прогноза и его доверительный интервал.

6. На одном графике построить исходные данные и теоретическую прямую.

Вариант 1

Номер региона Среднедушевой прожиточный минимум в день одного трудоспособного, руб., Среднедневная заработная плата, руб.,

 

Вариант 2

Номер региона Среднедушевой прожиточный минимум в день одного трудоспособного, руб., Среднедневная заработная плата, руб.,

 

 

Вариант 3

Номер региона Среднедушевой прожиточный минимум в день одного трудоспособного, руб., Среднедневная заработная плата, руб.,

 

Вариант 4

Номер региона Среднедушевой прожиточный минимум в день одного трудоспособного, руб., Среднедневная заработная плата, руб.,

 

 

Вариант 5

Номер региона Среднедушевой прожиточный минимум в день одного трудоспособного, руб., Среднедневная заработная плата, руб.,

 

Вариант 6

Номер региона Среднедушевой прожиточный минимум в день одного трудоспособного, руб., Среднедневная заработная плата, руб.,

 

 

Вариант 7

Номер региона Среднедушевой прожиточный минимум в день одного трудоспособного, руб., Среднедневная заработная плата, руб.,

 

Вариант 8

Номер региона Среднедушевой прожиточный минимум в день одного трудоспособного, руб., Среднедневная заработная плата, руб.,

 

 

Вариант 9

Номер региона Среднедушевой прожиточный минимум в день одного трудоспособного, руб., Среднедневная заработная плата, руб.,

 

Вариант 10

Номер региона Среднедушевой прожиточный минимум в день одного трудоспособного, руб., Среднедневная заработная плата, руб.,

Решение

Для удобства проведения расчетов поместим результаты промежуточных расчетов в таблицу:

7, 0 3, 9 10, 0 27, 3 70, 0 39, 0 15, 21 100, 0 49, 0
7, 0 3, 9 14, 0 27, 3 98, 0 54, 6 15, 21 196, 0 49, 0
7, 0 3, 7 15, 0 25, 9 105, 0 55, 5 13, 69 225, 0 49, 0
7, 0 4, 0 16, 0 28, 0 112, 0 64, 0 16, 0 256, 0 49, 0
7, 0 3, 8 17, 0 26, 6 119, 0 64, 6 14, 44 289, 0 49, 0
7, 0 4, 8 19, 0 33, 6 133, 0 91, 2 23, 04 361, 0 49, 0
8, 0 5, 4 19, 0 43, 2 152, 0 102, 6 29, 16 361, 0 64, 0
8, 0 4, 4 20, 0 35, 2 160, 0 88, 0 19, 36 400, 0 64, 0
8, 0 5, 3 20, 0 42, 4 160, 0 106, 0 28, 09 400, 0 64, 0
10, 0 6, 8 20, 0 68, 0 200, 0 136, 0 46, 24 400, 0 100, 0
9, 0 6, 0 21, 0 54, 0 189, 0 126, 0 36, 0 441, 0 81, 0
11, 0 6, 4 22, 0 70, 4 242, 0 140, 8 40, 96 484, 0 121, 0
9, 0 6, 8 22, 0 61, 2 198, 0 149, 6 46, 24 484, 0 81, 0
11, 0 7, 2 25, 0 79, 2 275, 0 180, 0 51, 84 625, 0 121, 0
12, 0 8, 0 28, 0 96, 0 336, 0 224, 0 64, 0 784, 0 144, 0
12, 0 8, 2 29, 0 98, 4 348, 0 237, 8 67, 24 841, 0 144, 0
12, 0 8, 1 30, 0 97, 2 360, 0 243, 0 65, 61 900, 0 144, 0
12, 0 8, 5 31, 0 102, 0 372, 0 263, 5 72, 25 961, 0 144, 0
14, 0 9, 6 32, 0 134, 4 448, 0 307, 2 92, 16 1024, 0 196, 0
14, 0 9, 0 36, 0 126, 0 504, 0 324, 0 81, 0 1296, 0 196, 0
Сумма 123, 8 1276, 3 2997, 4 837, 74 10828, 0 1958, 0
Ср. знач. 9, 6 6, 19 22, 3 63, 815 229, 05 149, 87 41, 887 541, 4 97, 9

Найдем средние квадратические отклонения признаков:

;

;

.

1. Вычисление параметров линейного уравнения множественной регрессии.

Для нахождения параметров линейного уравнения множественной регрессии

необходимо решить следующую систему линейных уравнений относительно неизвестных параметров , , :

либо воспользоваться готовыми формулами:

; ;

.

Рассчитаем сначала парные коэффициенты корреляции:

;

;

.

Находим

;

;

.

Таким образом, получили следующее уравнение множественной регрессии:

.

Коэффициенты и стандартизованного уравнения регрессии находятся по формулам:

;

.

Т.е. уравнение будет выглядеть следующим образом:

.

Так как стандартизованные коэффициенты регрессии можно сравнивать между собой, то можно сказать, что ввод в действие новых основных фондов оказывает большее влияние на выработку продукции, чем удельный вес рабочих высокой квалификации.

Сравнивать влияние факторов на результат можно также при помощи средних коэффициентов эластичности:

.

Вычисляем:

; .

Т.е. увеличение только основных фондов (от своего среднего значения) или только удельного веса рабочих высокой квалификации на 1% увеличивает в среднем выработку продукции на 61% или 20% соответственно. Таким образом, подтверждается большее влияние на результат фактора , чем фактора .

2. Коэффициенты парной корреляции мы уже нашли:

; ; .

Они указывают на весьма сильную связь каждого фактора с результатом, а также высокую межфакторную зависимость (факторы и явно коллинеарны, т.к. ). При такой сильной межфакторной зависимости рекомендуется один из факторов исключить из рассмотрения.

Частные коэффициенты корреляции характеризуют тесноту связи между результатом и соответствующим фактором при элиминировании (устранении влияния) других факторов, включенных в уравнение регрессии.

При двух факторах частные коэффициенты корреляции рассчитываются следующим образом:

;

.

Если сравнить коэффициенты парной и частной корреляции, то можно увидеть, что из-за высокой межфакторной зависимости коэффициенты парной корреляции дают завышенные оценки тесноты связи. Именно по этой причине рекомендуется при наличии сильной коллинеарности (взаимосвязи) факторов исключать из исследования тот фактор, у которого теснота парной зависимости меньше, чем теснота межфакторной связи.

Коэффициент множественной корреляции определить через матрицу парных коэффициентов корреляции:

,

где

– определитель матрицы парных коэффициентов корреляции;

– определитель матрицы межфакторной корреляции.

;

.

Коэффициент множественной корреляции

.

Аналогичный результат получим при использовании других формул:

;

;

.

Коэффициент множественной корреляции показывает на весьма сильную связь всего набора факторов с результатом.

3. Нескорректированный коэффициент множественной детерминации оценивает долю вариации результата за счет представленных в уравнении факторов в общей вариации результата. Здесь эта доля составляет и указывает на весьма высокую степень обусловленности вариации результата вариацией факторов, иными словами – на весьма тесную связь факторов с результатом.

Скорректированный коэффициент множественной детерминации

определяет тесноту связи с учетом степеней свободы общей и остаточной дисперсий. Он дает такую оценку тесноты связи, которая не зависит от числа факторов и поэтому может сравниваться по разным моделям с разным числом факторов. Оба коэффициента указывают на весьма высокую (более ) детерминированность результата в модели факторами и .

4. Оценку надежности уравнения регрессии в целом и показателя тесноты связи дает -критерий Фишера:

.

В нашем случае фактическое значение -критерия Фишера:

.

Получили, что (при ), т.е. вероятность случайно получить такое значение -критерия не превышает допустимый уровень значимости . Следовательно, полученное значение не случайно, оно сформировалось под влиянием существенных факторов, т.е. подтверждается статистическая значимость всего уравнения и показателя тесноты связи .

5. С помощью частных -критериев Фишера оценим целесообразность включения в уравнение множественной регрессии фактора после и фактора после при помощи формул:

;

.

Найдем и .

;

.

Имеем

;

.

Получили, что . Следовательно, включение в модель фактора после того, как в модель включен фактор статистически нецелесообразно: прирост факторной дисперсии за счет дополнительного признака оказывается незначительным, несущественным; фактор включать в уравнение после фактора не следует.

Если поменять первоначальный порядок включения факторов в модель и рассмотреть вариант включения после , то результат расчета частного -критерия для будет иным. , т.е. вероятность его случайного формирования меньше принятого стандарта . Следовательно, значение частного -критерия для дополнительно включенного фактора не случайно, является статистически значимым, надежным, достоверным: прирост факторной дисперсии за счет дополнительного фактора является существенным. Фактор должен присутствовать в уравнении, в том числе в варианте, когда он дополнительно включается после фактора .

6. Общий вывод состоит в том, что множественная модель с факторами и с содержит неинформативный фактор . Если исключить фактор , то можно ограничиться уравнением парной регрессии:

, .

Решение с помощью ППП Excel

1. Сводную таблицу основных статистических характеристик для одного или нескольких массивов данных можно получить с помощью инструмента анализа данных Описательная статистика. Для этого выполните следующие шаги:

1) введите исходные данные:

  A B C D
  у Х1 Х2
7, 0 3, 8
7, 0 3, 9
7, 0 3, 7
7, 0 4, 0
7, 0 3, 8
7, 0 4, 8
8, 0 5, 4
8, 0 4, 4
8, 0 5, 3
10, 0 4, 8
9, 0 6, 0
11, 0 6, 4
9, 0 6, 8
11, 0 7, 2
12, 0 8, 0
12, 0 8, 2
12, 0 8, 1
12, 0 8, 5
14, 0 9, 6
14, 0 9, 0

 

2) в главном меню выберите последовательно пункты Данные / Анализ данных / Описательная статистика , после чего щелкните по кнопке ОК;

3) заполните диалоговое окно ввода данных и параметров вывода следующим образом:

Входной интервал – диапазон, содержащий анализируемые данные, это может быть одна или несколько строк или столбцов ($B$1: $D$21);

Группирование – по столбцам или по строкам – необходимо указать дополнительно (выбрать по столбцам);

Метки – флажок, который указывает, содержит ли первая строка названия столбцов или нет (поставить флажок);

Выходной интервал – достаточно указать левую верхнюю ячейку будущего диапазона ($F$1);

Новый рабочий лист – можно задать произвольное имя нового листа.

Если необходимо получить дополнительную информацию Итоговой статистики, Уровня надежности, k-ого наибольшего и наименьшего значений, установите соответствующие флажки в диалоговом окне (поставить флажок для итоговой статистики). Щелкните по кнопке ОК.

2. Значения линейных коэффициентов парной корреляции определяют тесноту попарно связанных переменных, использованных в данном уравнении множественной регрессии. Линейные коэффициенты частной корреляции оценивают тесноту связи значений двух переменных, исключая влияние всех переменных, представленных в уравнении множественной регрессии.

К сожалению, в ПППExcel нет специального инструмента для расчета линейных коэффициентов частной корреляции. Матрицу парных коэффициентов корреляции переменных можно рассчитать, используя инструмент анализа данных Корреляция. Для этого:

1) в главном меню последовательно выберите пункты Данные / Анализ данных / Корреляция. Щелкните по кнопке ОК;

2) заполните диалоговое окно ввода данных и параметров вывода аналогично пункту 1.2 (описательная статистика);

3) результаты вычислений – матрица коэф<


Поделиться:



Популярное:

Последнее изменение этой страницы: 2016-03-25; Просмотров: 1404; Нарушение авторского права страницы


lektsia.com 2007 - 2024 год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! (0.131 с.)
Главная | Случайная страница | Обратная связь