Принципы интегрирования рациональных функций

Важный класс функций, интегралы от которых всегда выражаются через элементарные функции, образуют так называемые рациональные функции, которые в самом общем случае можно пред­ставить в виде дроби:

где и многочлены или целые рациональные функции степеней m и n, соответственно. Если степень многочлена в числителе больше или равна сте­пени многочлена в знаменателе, т.е. m ³ n, то, выполнив деление, можно полу­чить:

где многочлен степени k, а степень многочлена заве­до­мо мень­ше степени многочлена т.е. l < n.

Таким образом, задача интегрирования «неправильной» дробно-рацио­нальной функции всегда может быть сведена к задаче интегрирования много­члена, т.е. целой рациональной функции, а также к задаче интегрирования «пра­вильной» дробно-рациональной функции.

Очевидно, что первая из них, т.е. задача интегрирования многочлена степени k, сводится к (k + 1) – кратному применению табличного интеграла 1. Для решения второй задачи необходимо предварительно разложить правиль­ную дробно-рациональную функцию на сумму более простых, так называемых, эле­ментарных дробей.

В курсе высшей алгебры доказывается, что любая правильная дробно-рациональная функция может быть единственным образом представлена в сле­дующем виде:

(*)

 

где α – любой действительный корень кратности r уравнения , (x² + 2px + q) – неразложимый на линейные множители квадратный трехчлен, имеющий кратность t и также встречающийся при разложении на множители многочлена , наконец, - не­которые, неизвестные числовые коэффициенты.

Чтобы определить значения этих коэффициентов, умножают обе части равенства (*) на . Поскольку равенство между много­членом и многочленом, который получится в числителе правой части после приведения подобных, справедливо для всех x, кроме действительных корней многочлена , то коэффициенты, стоя­щие при одинаковых степенях x в левом и правом многочленах, равны между собой. Таким образом, получают систему уравнений первой степени, в результате решения которой и находят искомые числовые ко­эффициенты. Изложенный метод носит название метода неопределенных коэф­фициентов.

ПРИМЕР: Разложить функцию на элементарные дроби.

Поскольку: , заданную дроб­но-рациональную функцию можно представить в виде суммы элемен­тар­ных дробей вида:

 

Умножая обе части последнего равенства на знаменатель исходной дро­би, после приведения подобных получим:

 

 

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x в правой и ле­вой частях последнего равенства, получим систему уравнений вида:

 

Решив ее, найдем: А = В = 1/3; С = - 1/3; D = - 1. Следова­тельно, искомое разложение имеет вид:

 

 

Как следует из рассмотрения формулы (*), после разло­жения правильной дробно-рациональной функции на сумму элементарных дро­бей задача ее интегрирования сводится к вычислению интегралов следующих четырех основных типов:

 

1). 2).

3). 4).

 

Первые два интеграла вычисляются сведением к табличным с помощью подстановки: t = x – α. В двух последних интегралах квадратный трехчлен, сто­ящий в знаменателе, действительных корней не имеет, т.к.: p² – q < 0. Поскольку интегралы четвертого типа довольно редко встречаются на практике, а их вычисление связано с определенными трудностями, мы ограничимся только вычислением интеграла третьего типа.

Выделим из трехчлена, стоящего в знаменателе подынтеграль­ной функ­ции, полный квадрат: x² + 2px + q = (x + p)² + q – p². Это выделение подска­зывает подстановку: t = x + p; x = t – p; dx = dt.Обозначив q – p² = h > 0, получим:

 

 

Первый из этих интегралов вычисляется непосред­ствен­но:

 

 

Второй – находится по форму­ле 13 таблицы интегралов:

 

 

Поэтому окончательно можно записать:

 

 

ПРИМЕР: Найти интеграл:

Используя результаты разложения подынтегральной функции на элементарные дроби, полученные в предыдущем примере этого подраздела, можно записать:

 

 

Для вычисления первых двух интегралов используем замену t = x – 1, x = t + 1, dx = dt и получим:

Для вычисления последнего, третьего интеграла воспользуемся полученной выше формулой, подставив в нее следующие числовые значения коэффициентов: А = 1, В = 3, p = 1/2 и q = 1, и получим:

 

 

Учитывая числовые коэффициенты перед этими тремя интегралами, окончательно получим:

 

 

Определенный интеграл

5.5.1. Основные понятия и определения

Пусть функция y = f (x) определена и неотрицательна на отрезке [a, b] и a < b. Разобьем этот отрезок на n произвольных частей точками:

В каждом из полученных отрезков выберем произвольную точку , а длину такого отрезка обозначим .

Составим сумму σ следующим образом:

Будем называть такую сумму интегральной суммой для функции f (x) на отрезке [a, b]. Геометрический смысл этой суммы очевиден – это сумма площадей прямоугольников с основаниями и высотами . Если через λ обозначить наибольшую из длин и учесть факт, что из условия λ → 0 вытекает условие n→ ∞ , то можно сформулировать следующее определение.

 

Определение. Если существует конечный предел J интегральных сумм σ при λ → 0, то этот предел называется определенным интегралом от функции f (x) по отрезку [a, b] и обозначается следующим образом:

 

 

При этом числа а и b называются пределами интегрирования, а функция f (x) – подынтегральной функцией.

 

Из приведенного определения следует геометрический смысл определенного интеграла от неотрицательной на отрезке [a, b] функции f (x) – это площадь криволинейной трапеции, ограниченной основаниями х = а и х = b, а также боковыми сторонами – отрезком [a, b] и кривой линией – графиком функции y = f (x).

 

⇐ Предыдущая234567891011Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. Анатомо-морфологическая база высших психических функций
2. Аппаратура для проведения исследований проприорецептивных функций
3. Вопрос №10 Понятие, виды и характеристика внешних функций государства
4. Глава 4. Нарушения нормальных функций желудочно-кишечного тракта
5. Государство: понятие и его функции, формы осуществления государственных функций
6. Государство: понятие и его функции, формы осуществления государственных функций.
7. Действие функций слабых каналов
8. Дифференциальное исчисление функций
9. И инверсных логических функций
10. Использование метода штрафных функций для решения задач математического программирования
11. Исследование гностических функций включает следующее.
12. Какие из названных функций или характеристик соответствуют перечисленным ниже