Общая структура моделирования аварийности и травматизма в техносфере

Классификация моделей

В зависимости от объекта моделирования различают:

- абстрактные (математические, графические, вербальные)

- натурные (физические)

Математические модели как способы формализации целей и задач устанавливают соотношения между параметрами модели в виде линейных, нелинейных, интегральных, дифференциальных и других уравнений.

Графические модели показывают наглядно соотношение между элементами системы или изменение значений параметров по некоторому алгоритму.

Вербальные (словесные) модели:

В зависимости от характера отображаемых свойств различают: структурные и функциональные. По способу получения функциональные модели бывают теоретические и формальные. Теоретические модели строятся на основе изучения физических закономерностей. Формальные – на основе анализа свойств моделируемого объекта, т.е. в виде черного ящика.

В зависимости от закономерностей между параметрами различают: линейные и нелинейные модели.

По способу описания: детерминированные и стохастические.

В зависимости от метода изменения параметров различают модели непрерывные и дискретные.

В зависимости от учета инерционности физических процессов в системе различают динамические и стохастические.

Вид математической модели зависит как от природы исследуемого объекта, так и от поставленных целей и задач моделирования с учетом требований и точности решений.

По форме соотношения между параметрами различают модели:

1) алгоритмические

2) аналитические

3) численные (итерационные)

При анализе широко применяется стандартная методика моделирования в виде функциональных диаграмм IDEF (модель черного ящика).

Система

Х Y

X – вектор входных параметров

Y – вектор выходных параметров

M – вектор параметров управления

C – вектор контролируемых параметров

X = F (X, M)

C = G (X, M, Y)

Z = A (X, M, Y, C)

Система (процесс)	X	Y	M	C	Z
АЭС	ядерное топливо	электрическая энергия, МВт. ч	управление реактором	U, I, мР× ч	производство электроэнергии
ПАТП	груз/пассажир	факт доставки	t, транспорт, реальное состояние	-	перевозки пассажиров/груза
Копирование файла	файл на С: /	копия файла на F: /	COPY параметры	протокол	получение информации

Декомпозиция (определение структуры исследуемой системы). Строят модель состава, модель структуры. Модель состава определяет состояние элементов системы.

M A₁

1.1

1.3

_X_Y

Y₁=X₃

На первом уровне А₁ выделяются крупные элементы, образующие подсистемы. Процесс декомпозиции повторяется и производится детализация каждого элемента.

X₃ Y₃A₂

C₃

На практике для больших систем требуется 3 – 7 уровней декомпозиций. В любой системе можно выделить 2 контура переменных:

1-й: рабочий (горизонтальные связи)

2-й: вертикальный контур управления

Даже простым системам характерно наличие обратных связей (ОС) – передача информации с выхода на вход.

Положительная ОС – накопление итогового результата

Отрицательная ОС – обеспечивает системе устойчивость к изменению внешних параметров.

Проведенное исследование дает статическую картину. А на практике для динамических систем учитываются Х(t), Y(t), M(t), C(t), а так же изменение структуры системы и связей элементов.

Важным свойством устойчивости систем является возможность адаптации, т.е. перестройки системы при изменении внешних условий.

В зависимости от объема исходной информации можно выделить несколько модельных задач:

Дано 1. Прямая задача X, M, F 2. Обратная задача Y, M, F 3. Задача оптимального X, Y, F управления 4. Задача идентификации X, M, Y

Найти Y X M_оптим F

Пример y = kx + b A× X = Y X = A^-1Y Z^* = f(x, y, m^*) Аппроксимация Интерполяция Экстраполяция (прогнозирование)

Состояние и свойства системы в каждый момент времени определяется наборами значений параметров (вектором состояний), при этом динамическая модель содержит описание множества состояний системы, описание закона, согласно которому система переходит из одного состояния в другое

y_k₊₁= F(x_k₊₁, m_k₊₁, y_k)

Такое описание, определяющее зависимость состояний, задается итерационными уравнениями. F – функция перехода. Множество всех возможных состояний системы образует пространство состояний.

Параметры – это некоторые величины, характеризующие свойства системы или внешней среды, параметры считаются постоянными.

В модели различают два вида переменных: экзогенные (входные) – характеризуют состояние внешней среды или напрямую зависят от воздействия внешних причин;

эндогенные – переменные, характеризующие систему, ее состояние и определяемые целиком внутренними причинами.

Функциональные зависимости описывают изменение переменных и параметров или взаимосвязи между компонентами системы. Различают детерминированные и стохастические зависимости.

Ограничения характеризуют допустимые пределы изменения значений переменных или ограничивающие условия изменения.

Целевая функция задает отображение целей и задач системы, а также правил оценки полученных результатов.

Основные требования, предъявляемые к модели: 1) простота; 2) надежность; 3) адекватность; 4) адаптивность.

Цель моделирования: модель нужна, чтобы:

- понять устройство конкретного объекта или процесса, выявить его структуру, взаимосвязи, основные свойства, законы развития, внутренние связи, взаимодействие с внешней средой (познавательная цель);

- научиться управлять объектом или процессом, определяя наилучшие способы управления в заданной ситуации;

- прогнозировать прямые и косвенные последствия при заданных воздействиях и состояниях системы.

Основные принципы моделирования:

Принцип информационной достаточности. При полном отсутствии информации об исследуемой системе построение ее модели невозможно. При наличии полной информации о системе построение ее модели бессмысленно. Существует некоторый критерий информационной достаточности, характеризующий уровень априорных сведений, согласно которым целесообразно и возможно построение адекватной модели.
Принцип осуществимости – физическая реализуемость. Создаваемая модель должна обеспечивать достижение поставленной цели исследования с заданной вероятностью за конечное время.
Принцип множественности моделей. Создаваемая модель отражает только важные свойства системы согласно выбранному критерию (цели), поэтому для полного изучения системы необходимо построить несколько моделей, позволяющих с разных сторон и с разной степенью детализации отражать рассматриваемую систему или процесс.
Принцип агрегирования. Любую систему можно представить состоящей из подсистем и элементов, для описания которых применяются стандартные математические модели. Это позволяет не строить общую математическую модель системы, а использовать систему частных математических моделей.
Принцип параметризации. При моделировании основное внимание уделяют параметрам, характеризующим систему ее элементов, а не внутренней структуре. Объединение групп параметров в некоторый скалярный интегральный показатель позволяет упростить модель и сократить вычислительные затраты. При упрощении модели можно потерять адекватность.

Компьютерное моделирование

Это математическое моделирование с использованием ЭВМ, состоит из семи этапов:

определение цели моделирования
построение концептуальной модели (содержательный)
формализация модели
программная реализация модели
клонирование модельных экспериментов
реализация плана эксперимента
анализ и интерпретация результатов моделирования.

Преимущества компьютерного моделирования перед натурным моделированием:

1) экономичность (сбережение ресурсов)

2) возможность моделирования редких экстремальных ситуаций

3) возможность моделирования режимов, связанных с разрушением исследуемого объекта

4) возможность управления масштабом модельного времени

5) возможность многофакторного анализа

6) эффективность прогнозирования и поиска закономерностей

7) универсальность технического и программного обеспечения.

Первые два этапа не зависят от выбранной математической модели и метода моделирования, поскольку отражают общую методику системного анализа, а последующие этапы определяются методом описания системы (аналитическая или имитационная).

Концептуальная модель, создаваемая на первом этапе моделирования является содержательной, т.к. описывает некоторую концепцию или точку зрения по проблеме. Выделяют три вида концептуальных моделей:

логико-семантическая – описание объекта в терминах и понятиях в соответствующей предметной области, которое дается словесно на основе экспериментальных данных, знаний экспертов и логического аппарата
структурно-функциональное – представляется в виде схем, диаграмм, графиков и отражает структуру системы, реализуемые функции, логическую и временную последовательность изменения состояний (SADT - BPWin)
причинно-следственная модель – представляется в виде диаграмм потоков данных и диаграмм состояний, и в целом реализует объектно-ориентированное описание предметной области. Используется для прогнозирования поведения объекта исследования.

Формальная модель является представлением концептуальной модели с помощью некоторого формального языка (математика, UML – универсальный язык моделирования, язык программирования). В гуманитарных науках построение формальной модели затруднено. В технических науках наоборот признаются только формальные модели.

Управление в системах

Внешняя Система

ИО

средаI_у

УО

ОУ

P I_э

I_ос

Модельный эксперимент

Планирование эксперимента

Планирование эксперимента заключается в составлении плана или программы проведения эксперимента, при этом ставятся целевые задачи исследований моделей, для которых определяется диапазон значений параметров моделей, методы формирования статистических выборов, а также необходимое и достаточное число повторений эксперимента (или значений модельного времени). В большинстве случаев модели характеризуются множеством параметров, которые оказывают влияние на результаты и цели моделирования. Учет степени влияния параметров по результатам экспериментов требуют использования следующих подходов к планированию экспериментов:

1) вариация одного из параметров в различных сочетаниях с другими параметрами, имеющими фиксированное значение;

2) использование суперкритерия;

3) использование методов факторного анализа.

При использовании суперкритерия применяют свертывание множества входных параметров, оказывающих одинаковое влияние в один скалярный параметр.

Основные цели планирования эксперимента:

обеспечить получение несмещенных оценок влияния различных факторов на разных уровнях с результатом любого эксперимента;
исключить возможное совместное влияние различных факторов;
устранить на время проведения эксперимента изменение исследуемого объекта;
обеспечить адекватную оценку ошибок эксперимента (точность);
обеспечить выполнение программы эксперимента.

Общий порядок планирования:

формулировка целей эксперимента. Учитывается информация о предыдущих экспериментах и условия реализации эксперимента;
составление предварительного плана эксперимента;
обсуждение плана всеми участниками эксперимента;
утверждение окончательного плана эксперимента;
проведение эксперимента;
анализ полученных экспериментальных данных;
написание отчета;

a) полученные экспериментальные данные отображаются в доступном для понимания человеком виде;

б) сопоставление полученных результатов и поставленных целей эксперимента.

Может быть принято решение о корректировке модели или проведении дополнительных экспериментов для уточнения экспериментальных данных.

Эксперимент проводится с целью получения информации о характеристиках процесса или параметров системы. Анализ полученной информации проводится для решения оптимизационных задач, а также с целью увеличения точности и достоверности результатов моделирования, проверки адекватности модели и т.д.

Решение отмеченных задач существенно зависит от плана эксперимента, а именно, от объема вычислений, порядка проведений, накапливаемых результатов и используемых статистических методов обработки машинных данных. Хотя во многих прикладных областях применяются специфические подходы к планированию и проведению эксперимента и даже разработаны теории планирования эксперимента на базе математических методов, но применение для проведения компьютерного эксперимента вызывает затруднение. Поэтому при проведении компьютерного эксперимента применяют методы имитационного моделирования. Недостатком компьютерного эксперимента является наличие корреляции выходных данных. При планировании эксперимента модель системы также рассматривают в виде черного ящика, определяемого входные и выходные переменные.

Факторы называют экзогенными переменными; реакции – эндогенными переменными. Каждый фактор может принимать одно из возможных значений в ходе эксперимента. Каждое значение фактора называется уровнем и характеризует некоторое состояние. Каждому фиксированному набору факторов соответствует точка в многомерном пространстве, называемом факторным пространством. Эксперимент может быть реализован не во всех точках факторного пространства, а только в некоторой его области, определяемой ограничениями.

Если при проведении эксперимента фактор может менять значение, то он называется активным, иначе – пассивным.

Y = f (x₁, x₂, … x_n) – функция реакции.

До проведения эксперимента функция реакции неизвестна. В ходе эксперимента получают приближение функции реакции, которое в дальнейшем аппроксимируется известной аналитической зависимостью.

Y = j (x₁, x₂, … x_n) + е (x₁, x₂, … x_n), где е (x₁, x₂, … x_n) – функция ошибки. Функция ошибки носит случайный характер.

Дисперсия наблюдаемой выходной переменной DY = De определяется дисперсией функции ошибки и характеризует качество эксперимента.

При планировании эксперимента одновременно могут меняться несколько факторов. При постановке задач планирования рассматривают два вопроса:

из всех допустимых вариантов составления плана необходимо выбрать такой, чтобы при фиксированном числе экспериментов получить наиболее достоверное значение функции реакции (стратегическое планирование эксперимента);
выбрать такой допустимый план, при котором статистические оценки функции реакции могут быть получены с заданной точностью при минимальном объеме вычислений (тактическое планирование эксперимента).

Стратегическое планирование эксперимента

При стратегическом планировании эксперимента решаются две задачи:

идентификация факторов (определение степени важности входных переменных). В результате из множества факторов выбирают значимые (первичные), которые изменяются в ходе эксперимента и незначимые (вторичные), влияние которых трудно учесть;
выбор уровней факторов должен проводиться с учетом следующих требований:

а) уровни фактора должны перекрывать весь диапазон возможных значений фактора;

б) число уровней по всем факторам не должно приводить к чрезмерному объему вычислений.

Эксперимент, в котором реализуются все возможные сочетания уровней, называется полным факторным экспериментом. Тогда число различных комбинаций уровней определяется

N = n₁× n₂

Недостаток полного факторного эксперимента – это большие временные затраты на подготовку и проведение. Например, в модели определены четыре значимых фактора, каждый из которых имеет 3 уровня.

N = 3⁴ = 81 эксперимент

Поэтому на практике проводят частичный факторный эксперимент. Для его проведения используют различные планы:

1) рандомизированный план – случайный выбор сочетаний уровней факторов при фиксированном числе прогонов

Для рандомизированного плана играет роль способ формирования выборки и объем выборки. Для получения достоверных результатов объем выборки принимается равным 20% от количества сочетаний N.

2) латинский квадрат используется для проведения частичного факторного эксперимента с одним значимым первичным фактором и несколькими вторичными факторами. Если первичный фактор имеет n уровней, то для каждого вторичного фактора также ограничивается по n уровней.

	с₁	с₂	с₃	с₄
b₁	a₁	a₂	a₃	a₄
b₂	a₂	a₃	a₄	a₁
b₃	a₃	a₄	a₁	a₂
b₄	a₄	a₁	a₂	a₃

3) эксперимент с изменением факторов по одному используется, если факторы являются независимыми. Один из факторов пробегает все уровни при фиксированных уровнях других факторов

N = n₁ + n₂ + n₃ = 12

4) дробный факторный эксперимент. Для каждого фактора определяются граничные уровни (верхний и нижний). Поэтому общее число экспериментов N = 2^k, k – количество факторов

0 – min уровень, 1 – max уровень

N	x₁	x₂	y

Тактическое планирование эксперимента

Совокупность методов определения, необходимого объема испытаний, начальных условий с целью обеспечения точности и достоверности называют тактическим планированием. поскольку точность оценок определяется дисперсией наблюдаемой выходной переменной, то основу тактического планирования составляют методы понижения дисперсии. Учитывается различие понятий точный результат и достоверный результат.

b₀– ширина определяется дисперсией (разбросом), у₀ не попадает в b₀ – оценка неточная, при b₁ – точная оценка, но не достоверная, т.к. разброс слишком большой.

1) у₀ b

2) min b, b→ 0, DY→ 0

Объем испытаний, необходимый для получения точных и достоверных оценок зависит от следующих факторов: вида распределения наблюдаемой переменной у; статистической зависимости эксперимента; наличия и длительности переходных процессов при запуске и остановке модели. Если исследователь не обладает перечисленной информацией, то остается единственный способ повышения точности и достоверности результатов – увеличение числа экспериментов при различных сочетаниях уровней факторов, по завершении которых вычисляется математическое ожидание и дисперсия наблюдаемой переменной. При этом число прогонов увеличивается для каждого сочетания факторов. Например, N = 81, эксперимент по 10 прогонов для каждого сочетания и времени t= 1 мин на каждый прогон. Это потребует порядка 13 часов непрерывной работы. Таким образом, необходимо определить минимальный и достаточный объем выборки, обеспечивающий требуемую точность результатов. Минимальный объем испытаний определяют несколькими способами:

1. Если случайные значения наблюдаемой переменной не коррелированны (не взаимосвязаны) и их распределение существенно не меняется при повторении испытаний, то среднее значение результата считается нормально распределенным. В этом случае число прогонов необходимое для того, чтобы истинное значение измеряемой величины попадало в интервал у₀ у ± b/2 с вероятностью P = 1 –α, где α – надежность.

(*), где Z – значение функции плотности нормального распределения, определяемая по справочной таблице на уровне значимости α /2; DY – дисперсия наблюдаемой величины; b – доверительный интервал.

Если требуемое значение DY неизвестно до начала эксперимента, то проводят пробную серию испытаний, по которым находят дисперсию.

DY =

Подставив найденную дисперсию в формулу (*) проводят дополнительно N – L экспериментов.

2. Если необходимая выходная переменная является векторной величиной, то оценку необходимого числа повторений проводят для каждого элемента вектора и принимают наибольшую из найденных оценок.

Примечание: основной недостаток рассматриваемого подхода – это медленная сходимость выборочных средних к истинным значениям с ростом числа экспериментов.

Поэтому на практике применяют следующие методы уменьшения ошибки:

- значительное увеличение модельного времени;

- исключение из рассмотрения моментов запуска и остановки;

- запуск модели с некоторыми начальными условиями.

Для исключения влияния переходных процессов используют следующие методы:

Метод повторения: в этом методе наблюдения проявляются при одних и тех же начальных условиях, но используются различные последовательности случайных чисел;

Метод подинтервалов: здесь весь диапазон модельного времени разделяется на отдельные интервалы, принимаемые за отдельные прогоны;

Метод циклов: в этом методе интервалы выбираются на всем диапазоне модельного времени таким образом, чтобы в их начальных точках условия были одинаковы. Это позволяет снизить корреляцию формируемых выборов;

Метод стратификационной выборки: здесь выборку, полученную на всем диапазоне модельного времени, разделяют на слои (страты). Внутри каждого слоя значения элементов выборки мало различимы, а между слоями имеется большое различие. В каждом слое вычисляют математическое ожидание и дисперсию, а потом находят среднее значение по слоям.