Непозиционные Системы Счисления

Лабораторная работа №16

Системы счисления

Теоретическая часть

Позиционные Системы Счисления

В позиционных системах счисления величина, обозначаемая цифрой в записи числа, зависит от ее позиции. Количество используемых цифр называется основанием позиционной системы счисления.

Система счисления, применяемая в современной математике, является позиционной десятичной системой. Ее основание равно 10, т.к. запись чисел производится с помощью 10 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Позиционный характер этой системы легко понять на примере любого многозначного числа. Например, в числе 333 первая 3 означает 3 сотни, вторая – 3 десятка, третья – 3 единицы (значение каждой цифры зависит от того места, которое эта цифра занимает).

Для записи чисел в позиционной системе с основанием n нужно иметь алфавит из n цифр. Обычно для этого при n< 10 используют n первых арабских цифр, а при n> 10 к десяти арабским цифрам добавляют буквы. Вот примеры алфавитов нескольких систем:

Основание	Название	Алфавит
n=2	двоичная	0 1
n=3	троичная	0 1 2
n=4	четверичная	0 1 2 3
n=5	пятеричная	0 1 2 3 4
n=6	шестеричная	0 1 2 3 4 5
n=7	семеричная	0 1 2 3 4 5 6
n=8	восьмеричная	0 1 2 3 4 5 6 7
n=10	десятичная	0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
n=16	шестнадцатеричная	0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F

Если требуется указать основание системы, к которой относится число, то оно приписывается нижним индексом к этому числу: 101101₂, 3671₈, 3B8F₁₆

Запишем первые 17 чисел в двоичной и восьмеричной системах счисления:

Основание системы счисления

Непозиционные Системы Счисления

Кроме позиционных, существуют и другие – непозиционные системы счисления, построенные на иных принципах.

В непозиционных системах счисления от положения цифры в записи числа не зависит величина, которую она обозначает. Общеизвестным примером такой системы является римская система (римские цифры). В римской системе в качестве цифр используются латинские буквы:

I	V	X	L	C	D	M

В этой системе имеется некоторый набор основных символов и каждое число представляется как комбинация этих символов; смысл каждого символа не зависит от места котором он стоит.

В римских числах цифры записываются слева направо в порядке убывания. В таком случае их значения складываются:

VI = 5 + 1 = 6

LX = 50 + 10 = 60

Если же слева записана меньшая цифра, а справа большая, то их значения вычитаются:

IV = 5 – 1 = 4

XL = 50 – 10 = 40

Рассмотрим числа:

а) LXXXVII = (50 + 30) + (5 + 2) = 87. В данном примере цифра Х, участвуя 3 раза, каждый раз означает одну и ту же величину – 10 единиц.

б) MCMXCVI = 1000 + (1000 - 100) + (100 - 10) + (5 + 1) = 1996

Римские цифры мы часто встречаем и сейчас, например, на циферблатах часов, в книгах при нумерации глав, в обозначении веков. Однако, в математической практике они не применяются. Позиционные системы удобны тем, что позволяют записывать большие числа с помощью сравнительно небольшого количества знаков. Еще более важное преимущество позиционных систем – это простота и легкость выполнения арифметических операций над числами. Попробуйте для сравнения перемножить два трехзначных числа, записав их римскими цифрами.

Перевод из десятичной системы счисления в другие

Для перевода целого десятичного числа N в систему счисления с основанием q необходимо N разделить с остатком (" нацело" ) на q, записанное в той же десятичной системе. Затем неполное частное, полученное от такого деления, нужно снова разделить с остатком на q, и т.д., пока последнее полученное неполное частное не станет равным нулю. Представлением числа N в новой системе счисления будет последовательность остатков деления, изображенных одной q-ичной цифрой и записанных в порядке, обратном порядку их получения.

Пример: Переведем число 75 из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную:

Ответ: 75₁₀ = 1 001 011₂ = 113₈ = 4B₁₆.

Перевод в десятичную систему счисления

Перевод целых чисел из системы счисления с основанием q (недесятичной системы) в десятичную систему счисления выполняется по правилу: если все слагаемые в развернутой форме недесятичного числа представить в десятичной системе и вычислить полученное выражение по правилам десятичной арифметики, то получится число в десятичной системе, равное данному. Рассмотрим примеры:

112₃ = 1 · 3² + 1 · 3¹ + 2 · 3⁰ = 9 + 3 + 2 = 14₁₀

101101₂ = 1 · 2⁵ + 0 · 2⁴ + 1 · 2³ + 1 · 2² + 0 · 2¹ + 1 · 2⁰ = 32 + 0 + 8 + 4 + 1 = 45₁₀

15FС₁₆ = 1 · 16³ + 5 · 16² + 15(F) · 16¹ + 12(С) · 16⁰ = 4096 + 1280 + 240 + 12 = 5628₁₀

Развернутая форма числа

Развернутая форма записи числа – это запись в виде разрядных слагаемых, записанных с помощью степени соответствующего разряда и основания степени.

Рассмотрим примеры:

32478 ₁₀ = 3·10000 + 2·1000 + 4·100 + 7·10 + 8 =

= 3·10⁴ + 2·10³ + 4·10² + 7·10¹ + 8·10⁰

112 ₃ = 1·3² + 1·3¹ + 2·3⁰

101101 ₂ = 1·2⁵ + 0·2⁴ + 1·2³ + 1·2² + 0·2¹ + 1·2⁰

15FC ₁₆ = 1·16³ + 5·16² + 15·16¹ + 12·16⁰

С л о ж е н и е

Таблицы сложения легко составить, используя Правило Счета.

В ы ч и т а н и е

Пример 4. Вычтем единицу из чисел 10₂, 10₈ и 10₁₆

Пример 5. Вычтем единицу из чисел 100₂, 100₈ и 100₁₆.

Пример 6. Вычтем число 59, 75 из числа 201, 25.

Ответ: 201, 25₁₀ - 59, 75₁₀ = 141, 5₁₀ = 10001101, 1₂ = 215, 4₈ = 8D, 8₁₆.

Проверка. Преобразуем полученные разности к десятичному виду:

10001101, 1₂ = 2⁷ + 2³ + 2² + 2⁰ + 2^-1 = 141, 5;

215, 4₈ = 2^.8² + 1^.8¹ + 5^.8⁰ + 4^.8^-1 = 141, 5;

8D, 8₁₆ = 8^.16¹ + D^.16⁰ + 8^.16^-1 = 141, 5.

У м н о ж е н и е

Выполняя умножение многозначных чисел в различных позиционных системах счисления, можно использовать обычный алгоритм перемножения чисел в столбик, но при этом результаты перемножения и сложения однозначных чисел необходимо заимствовать из соответствующих рассматриваемой системе таблиц умножения и сложения.

Д е л е н и е

Деление в любой позиционной системе счисления производится по тем же правилам, как и деление углом в десятичной системе. В двоичной системе деление выполняется особенно просто, ведь очередная цифра частного может быть только нулем или единицей.
Пример 9. Разделим число 30 на число 6.

Ответ: 30: 6 = 5₁₀ = 101₂ = 5₈.

Пример 10. Разделим число 5865 на число 115.

Восьмеричная: 13351₈: 163₈

Ответ: 5865: 115 = 51₁₀ = 110011₂ = 63₈.
Проверка. Преобразуем полученные частные к десятичному виду:
110011₂ = 2⁵ + 2⁴ + 2¹ + 2⁰ = 51; 63₈ = 6^.8¹ + 3^.8⁰ = 51.

Пример 11. Разделим число 35 на число 14.

Восьмеричная: 43₈: 16₈

Ответ: 35: 14 = 2, 5₁₀ = 10, 1₂ = 2, 4₈.

Проверка. Преобразуем полученные частные к десятичному виду:

10, 1₂ = 2¹ + 2 ^-1 = 2, 5;

2, 4₈ = 2^.8⁰ + 4^.

Восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления

Двоичная система, удобная для компьютеров, для человека неудобна из-за ее громоздкости и непривычной записи.

Перевод чисел из десятичной системы в двоичную и наоборот выполняет машина. Однако, чтобы профессионально использовать компьютер, следует научиться понимать слово машины. Для этого и разработаны восьмеричная и шестнадцатеричная системы.

Числа в этих системах читаются почти так же легко, как десятичные, требуют соответственно в три (восьмеричная) и в четыре (шестнадцатеричная) раза меньше разрядов, чем в двоичной системе (ведь числа 8 и 16 — соответственно, третья и четвертая степени числа 2).

Перевод восьмеричных и шестнадцатеричных чисел в двоичную систему очень прост: достаточно каждую цифру заменить эквивалентной ей двоичной триадой (тройкой цифр) или тетрадой (четверкой цифр).

Например:

Чтобы перевести число из двоичной системы в восьмеричную или шестнадцатеричную, его нужно разбить влево и вправо от запятой на триады (для восьмеричной) или тетрады (для шестнадцатеричной) и каждую такую группу заменить соответствующей восьмеричной (шестнадцатеричной) цифрой.

Например,

Как пеpевести пpавильную десятичную дpобь в любую другую позиционную систему счисления?

Для перевода правильной десятичной дpоби F в систему счисления с основанием q необходимо F умножить на q, записанное в той же десятичной системе, затем дробную часть полученного произведения снова умножить на q, и т. д., до тех пор, пока дpобная часть очередного пpоизведения не станет pавной нулю, либо не будет достигнута требуемая точность изображения числа F в q-ичной системе. Представлением дробной части числа F в новой системе счисления будет последовательность целых частей полученных произведений, записанных в порядке их получения и изображенных одной q-ичной цифрой. Если требуемая точность перевода числа F составляет k знаков после запятой, то предельная абсолютная погрешность при этом равняется q ^-(k+1) / 2.

Пример. Переведем число 0, 36 из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную:

Для чисел, имеющих как целую, так и дробную части, перевод из десятичной системы счисления в другую осуществляется отдельно для целой и дробной частей по правилам, указанным выше.

Практическая работа.

1. Перевести данное число из десятичной системы счисления в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления.

а) 164₍₁₀₎;

б) 255₍₁₀₎;

в) 712, 25₍₁₀₎;

г) 670, 25₍₁₀₎;

д) 11, 89₍₁₀₎

2. Перевести данное число в десятичную систему счисления.

а) 1001110011₍₂₎;

б) 1001000₍₂₎;

в) 1111100111, 01₍₂₎;

г) 1010001100, 101101₍₂₎;

д) 413, 41₍₈₎;

е) 118, 8C₍₁₆₎.

3. Сложить числа.

а) 1100001100₍₂₎+1100011001₍₂₎;

б) 110010001₍₂₎+1001101₍₂₎;

в) 111111111, 001₍₂₎+1111111110, 0101₍₂₎;

г) 1443, 1₍₈₎+242, 44₍₈₎;

д) 2B4, C₍₁₆₎+EA, 4₍₁₆₎.