Тема: Нахождение обратной матрицы

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 12Следующая ⇒

Цель: Формирование навыков нахождения обратной матрицы.

На выполнение практической работы отводится 2 часа.

Требования к выполнению практической работы:

1.Ответить на теоретические вопросы.

2.Оформить задания в тетради для практических работ.

Теоретический материал

Матрица, состоящая из строк и столбцов, называется квадратной матрицей порядка :

Элементы образуют главную диагональ матрицы.

У единичной матрицы порядка элементы главной диагонали равны единицы, а остальные элементы равны нулю: то есть

Для - матриц справедливы равенства .

Каждой - матрице соответствует определитель -го порядка, который состоит из тех же элементов, расположенных в том же порядке, что и в матрице:

Произведение двух квадратных матриц всегда определено; при этом определитель матрицы – произведения равен произведению определителей матриц – сомножителей: .

Квадратная матрица называется невырожденной, если ее определитель отличен от нуля , и вырожденной в противном случае .

Всякая невырожденная матрица порядка имеет обратную матрицу того же порядка , удовлетворяющую соотношениям

Обратная матрица имеет вид

, (1)

где - алгебраическое дополнение элемента в определителе матрицы , то есть элементы обратной матрицы находятся по формулам .

Свойства обратной матрицы

(здесь - матрицы, - число)

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. .

Пример

Задание: Для матрицы найти обратную матрицу и проверить, что .

Решение: Так как , то матица имеет обратную матрицу, элементы которой равны .

Вычислим алгебраические дополнения элементов для :

; ;

Теперь, используя формулу (1), находим обратную матрицу

Далее вычислим произведение

= .

Аналогично находим

. Итак, обратная матрица вычислена правильно.

Задания для самостоятельной работы

Для заданной матрицы найти указанные элементы обратной матрицы : 1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) .

Для матриц и найдите обратные матрицы, и . Проверить, верно, ли они найдены.

Вопросы для самоконтроля:

1. Какая матрица называется квадратной?

2. Какая матрица называется единичной, верхнетреугольной, нижнетреугольной, диагональной?

3. Дайте определение обратной матрицы. Всегда ли существует обратная матрица?

4. Как найти обратную матрицу?

Практическое занятие №3

Тема: Решение систем алгебраических уравнений по правилу Крамера и матричным методом

Цель: Формирование навыков решения СЛАУ по правилу Крамера и матричным методом.

На выполнение практической работы отводится 2 часа.

Требования к выполнению практической работы:

1.Ответить на теоретические вопросы.

2.Оформить задания в тетради для практических работ.

Пример

Задание: Показать, что система имеет единственное решение и найти его двумя способами: а) по правилу Крамера;

б) матричным методом.

Решение: Данная система имеет размер (три уравнения и три неизвестных). Составим матрицу из коэффициентов при неизвестных:

. Матрица квадратная . Вычислим определитель матрицы , используя формулу его разложения по элементам первой строки:

Так как определитель системы , то данная система имеет единственное решение. Это решение можно найти по правилу Крамера: ; ; , где - главный определитель системы; , , - вспомогательные определители, которые получаются из главного путем замены соответствующего столбца на столбец свободных членов, и вычисляются аналогично определителю .

;

Отсюда по правилу Крамера имеем:

; ;

Решение системы единственно, это совокупность чисел .

Проверка: Подставим найденное решение во все уравнения исходной системы линейных алгебраических уравнений.

Так как все уравнения системы обратились в равенства, то решение найдено верно.

Ответ: .

Решим данную систему матричным способом. Рассмотрим матрицы:

; ; ;

- матрица коэффициентов при неизвестных, - матрица – столбец неизвестных, - матрица – столбец свободных членов.

Данную систему можно записать в виде:

;

При умножении матриц каждая строка матрицы умножается на столбец матрицы и в результате получается соответствующий элемент матрицы . Таким образом, последняя матричная запись содержит все три уравнения данной системы линейных алгебраических уравнений. Коротко ее можно записать так:

(1)

Рассмотрим матрицу , обратную к матрице . Это такая матрица, которая при умножении на данную матрицу дает единичную матрицу : , где .

Умножая обе части матричного равенства (2) на матрицу слева, получим:

, и окончательно имеем:

(2)

Формула (2) используется для нахождения решения системы линейных алгебраических уравнений. Предварительно нужно вычислить обратную матрицу. Обратная матрица вычисляется по формуле: (3), где - алгебраическое дополнение всех элементов матрицы ,