Круг № 2: «Математические науки чужды движению, за исключением тех, которые относятся к астрономии»

⇐ ПредыдущаяСтр 9 из 13Следующая ⇒

За этими словами Стагирита стоит более фундаментальное представление, если угодно более фундаментальный метафизический круг, существенно ограничивавший античное математическое мышление. Речь идет о признании фундаментальных различий физического и математического существования, физического и математического мышления. Физические объекты могут изменяться (в частности, находиться в движении), оставаясь при этом самими собой, математические же объекты существуют в дискретном пространстве состояний, более точно, каждый из математических объектов тождественен своему единственному и уникальному состоянию, которое в принципе не может быть подвержено какому-либо изменению. (17) Ясно, что никакого представления о переменной величине любой природы (арифметической или геометрической) в античности просто не могло возникнуть. Кроме того, несмотря на наличие собственно математических предпосылок вряд ли возможно было возникновение чего-то подобного теории геометрических преобразований (движений). Греческие математики знали о возможности доказательства теорем с помощью движения и наложения (вспомним хотя бы про теоремы, доказанные Фалесом). Движения и наложения использовались даже в «Началах», однако можно вполне определенно утверждать, что Евклид старается избегать этого там, где это только возможно. И хотя с современной точки зрения решение проблемы об удвоении куба Архитом Тарентским с помощью так называемых «механических приспособлений» (а на самом деле с помощью представлений о непрерывном преобразовании геометрических объектов) является вполне приемлемым, греческие математики в большинстве своем были на стороне Платона, высмеивавшего подобные доказательства, отказывая им в принадлежности к математике. Здесь следует отметить, что данный круг, по-видимому, не имел значения для доплатоновской (может быть, допифагорейской) математики. Но затем, несмотря на его чисто метафизическую природу, он стал осознаваться математиками как один из аспектов требований строгости математических рассуждений, отступление от которых являлось крайне нежелательным. Таким образом, в отличие от вероятностного круга, круг № 2 оказался укорененным в математике, что обусловило значительные трудности в процессе его преодоления. В свете сказанного, на основании чисто умозрительных соображений можно встать на точку зрения тех историков науки, которые отрицают факт существования так называемой «античной геометрической алгебры». Построение алгебры предполагает представление о возможности преобразования (трансляции) одних величин в другие. Но круг № 2 отрицал такую возможность для математических величин. Появление же алгебры в рамках «арабской» математической традиции следует объяснять, по-видимому, принципиально иным метафизическим и социокультурным контекстом (данная проблема заслуживает специального и тщательного исследования).

Другой характерный пример. Со времени открытия Менехма античные математики понимали, что при пересечении конуса плоскостями под различными углами наклона последовательно появляются все конические сечения. Однако это не могло служить основанием для объединения данных кривых в один род. В своем трактате о конических сечениях Апполоний, стараясь давать единые доказательства ряда общих свойств (разумеется далеко не всех) конических сечений, пользуется соображениями, связанными с так называемым «методом площадей», а не с представлениями о преобразовании этих геометрических образов друг в друга.(3десь, разумеется стоит упомянуть и о третьем круге античной математики («Актуально бесконечного не существует»), о которым будет идти речь ниже. Не случайно Харди, говоря о проективной геометрии Дезарга, отмечал что она знаменует первое в истории введение актуальной бесконечности в математику. Ведь именно введение бесконечно удаленных точек и прямых позволили Дезаргу говорить о непрерывном изменении геометрических образов, возникающих при пересечении конуса плоскостью под разными углами наклона.)

Оборотной стороной данного метафизического круга был принципиально качественный характер физики Аристотеля. Поскольку «математические науки чужды движению», движение не может быть описано с использованием математики (небесные движения занимают особое, уникальное положение, поэтому для астрономии греческая наука делает исключение).

Преодоление данного круга (в европейской математической традиции) начинается в позднем средневековье с попыток сближения математического и физического существования. Я имею в виду прежде всего философско-математическую деятельность мыслителей Оксфордского и Парижского университетов. Именно в Оксфорде Р. Гроссетест и Р. Бэкон впервые в Средние века настаивают на необходимости математизации знания, при этом существенно отходя от античной (пифагорейско-платоновской) традиции, выдвигая принципиальной важности идею количественной структуризации античных натурфилософских представлений о движении. В том же направлении развиваются исследования и в Сорбонне. «Английские (Т. Брадвардин, Р. Суайнсхед и др.), а также французские (особенно Н. Орем) ученые XIV в., — отмечал А. П. Юшкевич, — предпринимают смелую попытку подвергнуть с помощью инфинитезимальных идей квантификации квалитативную в своей основе натурфилософию перипатетиков. Прежде всего - и это оказалось особенно важным для дальнейшего — по новому осмысливаются те разделы «Физики» Аристотеля, в которых рассматриваются соотношения между силой и движением, силой и сопротивлением; иными словами перестраивается перипатетическая механика; вслед за тем математическому рассмотрению подвергаются любые виды изменения непрерывных, а частью и кусочно-разрывных измеримых величин или, в терминологии перипатетиков, интенсификации — усиления и ремиссии — ослабления всякого рода «форм» или качеств — теплоты, цвета и т.д., но также доброты, греховности и т.п., переменная интенсивность которых зависит от их экстенсивности — распределения интенсивностей на конечных или бесконечных интервалах в пространстве либо времени. К категории форм относится и простейшее механическое движение, т.е. пространственное перемещение» (18). Таким образом, средневековые ученые преодолевают пропасть, лежащую между математикой и естествознанием, преодолевают круг, во власти которого находилось античное мышление. Математика в их представлении не описывает лишь мир вечных и неизменных чисел и геометрических форм, а также и небесных движений, она способна внести свой вклад в понимание закономерностей «форм» изменяющихся. Иными словами, в новом социокультурном контексте математика низвергается с пьедестала «вечности», уступая место теологии, толкующей о действительно вечном и абсолютном. От этого, с одной стороны, выигрывает естествознание, разумеется не сразу, но предпосылки математического естествознания складываются уже тогда, достаточно упомянуть, что в Оксфорде и Париже «формируется идея о переменности — течении (fluxus) величин, о мгновенных скорости и ускорении, для которых вводятся соответствующие, даже латинские, термины и в совершенно отвлеченном, не связанном с физикой плане, доказывается основной закон и другие свойства равномерно ускоренного движения» (19). И, с другой стороны, что для нас особенно важно, допуск в математику представлений об изменении, движении способствует преодолению кругов невидимых, но властных, препятствовавших самой возможности появления математики, имеющей дело с изменяющимися, перетекающими друг в друга переменными величинами. Преодоление метафизических представлений, принципиально разводящих математическое и естественнонаучное (механическое и физическое) мышление, приводит в конце концов к становлению эмпиристской философии математики, ставшей краеугольным камнем нового метафизического круга, долгое время препятствовавшего, в частности, появлению и признанию неевклидовых геометрий. В то же время радикальный отказ от эмпиристской философии математики привел к образованию очередного круга, в рамках которого современная математика находится и поныне.

Здесь следует указать на принципиальные различия в преодолении кругов, доставшихся в наследство от античности (круги № 1 и № 2) и «эмпиристского» метафизического круга. В первых двух случаях именно изменения социокультурного и метафизического контекста (процесс, происходивший независимо от развития математики) освобождали математическое мышление от невидимых, но властных ограничений. Эмпиристские же запреты преодолеваются изнутри самой математики, вследствие, в частности, построения интерпретаций непривычных неевклидовых образов на евклидовых объектах, а также понимания того, что новые математические образы оказываются чрезвычайно полезными при решении математических проблем, возникших независимо от новых понятий и концепций. То же самое происходило (и происходит сейчас) когда антиэмпиристский круг местами рвался под натиском математического мышления, изобретательно, но незаконно пользовавшегося физическими соображениями. Правда, как правило, строгие приверженцы математической нравственности восстанавливали статус кво (вспомним, например деятельность ученика Вейерштрасса Шварца, давшего строгое обоснование незаконнорожденному «принципу Дирихле», а также обобщенные функции Дирака и Хевисайда, получившие вскоре после своего появления законный математический статус). Сам факт поиска таких оправданий свидетельствует о прагматизме математиков нового и новейшего времени, принципиально чуждом математикам античности (достаточно сравнить осторожные высказывания Архимеда по поводу квадрирования криволинейных фигур и прагматизм ученых, отраженный в словах Даламбера по поводу нестрогих инфинитезимальных методов: «Идите вперед, уверенность придет потом! »). И даже в период полного преобладания антиэмпиристской философии математики, использование официально запретных способов рассуждения в математике не прекращается. Более того, в последние годы Э. Виттен с помощью интегралов Фейнмана совершенно удивительным образом находит новые инварианты для трехмерных многообразий и т.д. Безусловно, в будущем интегралы Фейнмана будут формализованы, но сейчас их использование требует огромной физической интуиции и опыта. Ю. И. Манин пишет по этому поводу: «В предыстории интегрального исчисления важное место занимает замечательный труд Кеплера «Стереометрия винных бочек». Интегралы, выражающие объемы тел вращения, полезных в народном хозяйстве, были вычислены в этой работе до появления общего определения интеграла. Математическая теория великолепных интегралов Фейнмана, которые физики пишут в огромных количествах, все еще не далеко ушла от стереометрии винных бочек. С точки зрения математики, каждое такое вычисление есть заодно определение того, что «вычисляется», либо построением текста в формальном языке, грамматика которого заранее не описана. В процессе таких вычислений физик спокойно делит или умножает на бесконечности (точнее, на нечто, что если бы оно было определено, оказалось бы бесконечным); суммирует бесконечные ряды бесконечностей, предполагая при этом, что 2—3 члена ряда дают хорошее приближение ко всему ряду, и вообще живет в царстве свободы, нарушая все «моральные нормы» (20). Нo можно ли в таком случае утверждать, что статус социокультурных и метафизических кругов, начиная со второй половины XIX века, радикально изменился? Можно ли сказать, что они потеряли былую жесткость и непререкаемость в глазах математического сообщества? Для того, чтобы прояснить эту ситуацию обратимся к третьему из указанных в начале статьи кругов.

⇐ Предыдущая 4 5 6 7 8910 11 12 13 Следующая ⇒