Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология
Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии


Прогнозирование. Доверительный интервал прогноза.



Получение оценок коэффициентов регрессии и проверка их достоверности не являются самоцелью, это лишь необходимый промежуточный этап. Основное – это использовать модель для анализа и прогноза значений изучаемого экономического явления. Прогноз осуществляется подстановкой значения фактора х в полученную формулу регрессии.

Используем полученное в примере 1.1 (прил.4) уравнение регрессии для прогноза объема товарооборота. Если намечается открыть магазин с численностью работников х=140 чел., то обоснованный объем товарооборота устанавливается по уравнению ŷ (х)= –0, 974 + 0, 01924× 140=1, 72 млрд. рублей.

Доверительный интервал для прогноза значения у(х)=a0+a1х определяется по формуле

, (2.2)

где tp – критическая граница распределения Стьюдента с n – 2 степенями свободы, соответствующая уровню значимости р. Для получения доверительного интервала воспользуемся выражением (2.2).

Выберем уровень значимости 5%. Количество степеней свободы у нас 8 – 2 = 6, тогда по таблице распределения Стьюдента (приложение 1) находим

t0.05(6)=2, 447.s= =0, 089,

следовательно, с вероятностью 95% истинные значения объемов товарооборота будут лежать в пределах

1, 72 – 2, 447× 0, 048< y(x)< 1, 72+2, 447× 0, 048, или 1, 60< y(x)< 1, 84.

 

2.8. Практический блок

Пример. Построить уравнение регрессии между заданными переменными, проверить её адекватность, сделать прогноз методом экстраполяции.

1 . Построить диаграмму рассеяния в EXCELи сделать заключение о наличии корреляции.

Таблица 2.6Диаграмма 2.1

Y x
29, 5 2, 1
34, 2 2, 9
30, 6 3, 3
35, 2 3, 8
40, 7 4, 2
44, 5 3, 9
47, 2 5, 0
55, 2 4, 9
51, 8 6, 3
56, 7 5, 8

Из диаграммы 2.1 видно, что между переменнымиx и y имеется сильная линейная связь.

2. Рассчитать коэффициент корреляции. Проверить значимость коэффициента корреляции, используя при этом t-критерий Стьюдента. Сделать вывод о связи между х и у.

Таблица2.7

xy
29, 5 2, 1 61, 95 4, 41 870, 25 27, 91 0, 054 1, 59
34, 2 2, 9 99, 18 8, 41 1169, 64 33, 46 0, 022 0, 74
30, 6 3, 3 100, 98 10, 89 936, 36 36, 23 0, 184 -5, 63
35, 2 3, 8 133, 76 14, 44 1239, 04 39, 69 0, 128 -4, 49
40, 7 4, 2 170, 94 17, 64 1656, 49 42, 47 0, 043 -1, 77
44, 5 3, 9 173, 55 15, 21 1980, 25 40, 39 0, 092 4, 11
47, 2 5, 0 2227, 84 48, 01 0, 017 -0, 81
55, 2 4, 9 270, 48 24, 01 3047, 04 47, 32 0, 143 7, 88
51, 8 6, 3 326, 34 39, 69 2683, 24 57, 02 0, 101 -5, 22
56, 7 5, 8 328, 86 33, 64 3214, 89 53, 55 0, 056 3, 15
ИТОГО: 42, 2 1902, 04 193, 34 19025, 04 0, 840  
Среднее 42, 6 4, 22 190, 204 19, 334 1902, 504      

 

2.1.Теснота связи между переменными:

;

Вывод: сильная связь.

2.2.Проверим по критерию Стьюдента статистическую значимость:

-по критерию Стьюдента: tвыб< =tкр

-гипотеза Но: r=0, tкр=2, 31,

tвыб=rвыб*

Так какtвыб=5, 84< tкр=2, 31, то с вероятностью 0, 9 начальная гипотеза отвергается, что указывает на сильную линейную связь.

3. Записать систему нормальных уравнений для коэффициентов линейной регрессии. Используя метод наименьших квадратов, рассчитайте эти коэффициенты.

Подставляя в найденное уравнение регрессии значения (графа (3) табл.2.7), рассчитаем значения (графа (7) табл.2.7).

 

4. Для полученного уравнения регрессии между Х и У рассчитать среднюю ошибку аппроксимации. Сделать заключение об адекватности полученной модели.

Заполним 8-ю и 9-ю графу табл.2.7.

< Екр=12%

Модель признается удовлетворительной.

5. Проверить значимость коэффициента a1уравнения регрессии, используя критерий Стьюдента.

Решение: Таблица 2.8

29, 5 2, 1 27, 91 214, 623 2, 5281 170, 564
34, 2 2, 9 33, 46 82, 81 0, 5476 69, 8896
30, 6 3, 3 36, 23 40, 069 31, 6969 143, 0416
35, 2 3, 8 39, 69 8, 237 20, 1601 54, 1696
40, 7 4, 2 42, 47 0, 008 3, 1329 3, 46
44, 5 3, 9 40, 39 4, 709 16, 8921 3, 7636
47, 2 48, 01 29, 703 0, 6561 21, 5296
55, 2 4, 9 47, 32 22, 658 62, 0944 159, 7696
51, 8 6, 3 57, 02 209, 092 27, 2484 85, 3776
56, 7 5, 8 53, 55 120, 78 9, 9225 199, 9396
ИТОГО: 425, 6 42, 2 426, 1 732, 687 174, 8791 911, 504
Среднее 42, 56 4, 22        

Статистическая проверка:

 


Выводы: С доверительной вероятностью 0.9 коэффициент a1 является статистически значимым, таким образом, гипотеза отвергается.

 

6. Проверить адекватность уравнения регрессии в целом, применив F-критерий Фишера-Снедекора.

Статистическая проверка:

: модель не адекватна

Так какFвыб> Fкр, то отвергается гипотеза (принимается альтернативная)с доверительной вероятностью 0.95. Данная модель адекватна и может использоваться для прогнозирования при принятии управленческих решений.

7. Рассчитать эмпирический коэффициент детерминации.

Имеем:

(таб. 2.8).

- доля вариации.

Таким образом, 80% вариации объясняемой переменной объясняется включенным в модель фактором, а 20% факторами, не включенными в модель.

8. Рассчитать корреляционное отношение. Сравнить полученное значение с линейным коэффициентом корреляции.

Имеем:

Тесноту связи между переменными для произвольной связи показывает эмпирическое корреляционное отношение, при линейной связи , и коэффициент корреляции равен коэффициенту детерминации.

9. Выполнить точечный прогноз для .

Решение:

10-12. Рассчитать доверительные интервалы при вероятности =90% для уравнения регрессии и для результирующей переменной . Изобразить в одной координатной системе:

- исходные данные,

- точечный прогноз,

- линию регрессии,

- 90% доверительные интервалы.

Сформулировать общие выводы относительно полученной регрессионной модели.

Имеем:

-математическое ожидание среднего.

Чтобы выполнить интервальный прогноз рассмотрим две области.

а) доверительные границы уравнения регрессии дляy из области значений переменнойx рассчитаем по формуле:

б) для прогнозных значений доверительный интервал для рассчитаем по формуле:

Имеем: n=10, t=2, 31(таб. Приложение 1),

19, 334-4, 222)=1, 53.

: 27, 9; 42, 6; 57, 0; 66, 7

Таблица 2.9

                   
1 2, 1 -2, 12 1, 74 3, 03 4, 49 2, 31 4, 68 27, 9 18, 81 9, 10 46, 72
4, 22 0, 00 0, 32 0, 1 0, 00 2, 31 4, 68 42, 6 3, 46 39, 10 46, 02
6, 3 2, 08 1, 71 2, 93 4, 33 2, 31 4, 68 57, 0 18, 49 38, 53 75, 51
7, 7 3, 48 9, 02 12, 11 2, 31 4, 68 66, 7 32, 43 34, 29 99, 15

Т.к. 90% точек наблюдения находится в 90% - доверительном интервале, данная модель с ее доверительными границами может использоваться для прогнозирования с доверительной вероятностью 0, 9.

Контрольные вопросы

1. Линейные регрессионные модели с гетероскедастичными и автокоррелированными остатками.

2. Виды автокорреляции и их краткая характеристика.

3. Автокорреляция в остатках и порядок её обнаружения.

4. Виды автокорреляции в остатках.

5. Порядок использования критерия Дарбина-Уотсона.

6. Автокорреляция в исходных данных и порядок определения её наличия.

7. Методы устранения влияния автокорреляции на результаты прогнозирования.

8. Обобщенный метод наименьших квадратов (ОМНК).

9. Что понимается под гомоскедастичностью?

10. Как проверяется гипотеза о гомоскедастичности ряда остатков?

11. Оценка качества регрессии. Проверка адекватности и достоверности модели.

12. Значимость коэффициентов регрессии (критерий Стъюдента).

13. Дисперсионный анализ. Проверка достоверности модели связи (по F-критерию Фишера).

14. Коэффициенты и индексы корреляции. Мультиколлениарность.

15. Оценка значимости корреляции. Детерминация.

16. Средняя ошибка аппроксимации.

17. Принятие решений на основе уравнений регрессии.

18. В каких задачах эконометрики используется распределение Фишера?

19. Таблицы каких распределений используются при оценке качества линейной регрессии?

20. Каковы особенности практического применения регрессионных моделей?

21. Как осуществляется прогнозирование экономических показателей с использованием моделей линейной регрессии?

22. Как можно оценить «естественный» уровень безработицы с использованием модели линейной регрессии?

23. В каких случаях необходимо уточнение линейной регрессионной модели и как оно осуществляется?

24. Когда необходимо выведение из рассмотрения незначимых объясняющих переменных и добавление новых переменных?

 

Задания и задачи

1. Имеются данные о показателях деятельности компаний США в 2006г.

№ п/п Чистая прибыль, млрд$, у Использованный капитал, млрд $, х1 Оборот капитала, млрд$, х2 Капитализация компании, млрд$, х4 Числен­ность сотрудников, тыс.чел., х3
0, 9 18, 9 31, 3 40, 9 43, 0
1, 7 13, 7 13, 4 40, 5 64, 7
0, 7 18, 5 4, 5 38, 9 24, 0
1, 7 4, 8 10, 0 38, 5 50, 2
2, 6 21, 8 20, 0 37, 3 106, 0
1, 3 5, 8 15, 0 26, 5 96, 6
4, 1 99, 0 137, 1 37, 0 347, 0
1, 6 20, 1 17, 9 36, 8 85, 6
6, 9 60, 6 165, 4 36, 3 745, 0
0, 4 1, 4 2, 0 35, 3 4, 1
1, 3 8, 0 6, 8 35, 3 26, 8
1, 9 18, 9 27, 1 35, 0 42, 7
1, 9 13, 2 13, 4 26, 2 61, 8
1, 4 12, 6 9, 8 33, 1 212, 0
0, 4 12, 2 19, 5 32, 7 105, 0
0, 8 3, 2 6, 8 32, 1 33, 5
1, 8 13, 0 27, 0 30, 5 142, 0
0, 9 6, 9 12, 4 29, 8 96, 0
1, 1 15, 0 17, 7 25, 4 140, 0
1, 9 11, 9 12, 7 29, 3 59, 3
-0, 9 1, 6 21, 4 29, 2 131, 0
1, 3 8, 6 13, 5 29, 2 70, 7
2, 0 11, 5 13, 4 29, 1 65, 4
0, 6 1, 9 4, 2 27, 9 23, 1
0, 7 5.8 15, 5 27, 2 80, 8

Задание:

Рассчитать параметры уравнения линейноймножественной регрессии с данным перечнем факторов.

Рассчитать парные коэффициенты корреляции и отобрать информативные факторы для модели. Построить модель с информативными факторами и оценить ее параметры.

Рассчитать прогнозное значение результата.

Рассчитать доверительный интервал прогноза и ошибки и при
уровне значимости 5 или 10% (γ = 0, 05; γ = 0, 10).

2. Имеются данные о показателях деятельности компаний США в 2009г.

№ п/п Чистая прибыль, млрд $, у Использованный капитал, млрд $.х1 Оборот капи­тала, млрд$, х2 Численность, тыс. чел., х3
6, 6 83, 6 6, 9 222, 0
3, 0 6, 5 18.0 32, 0
6, 5 50, 4 107, 9 82, 0
3, 3 15, 4 16, 7 45, 2
0, 1 29, 6 79, 6 299, 3
3, 6 13, 3 16, 2 41, 6
1, 5 5, 9 5, 9 17, 8
5, 5 27, 1 53, 1 151, 0
2, 4 11, 2 18, 8 82, 3
3, 0 16, 4 35, 3 103, 0
4, 2 32, 5 71, 9 225, 4
2, 7 25, 4 93, 6 675, 0
1, 6 6, 4 10, 0 43, 8
2, 4 12, 5 31, 5 102, 3
3, 3 14, 3 36, 7 105, 0
1, 8 6, 5 13, 8 49, 1
2, 4 22, 7 64, 8 50, 4
1, 6 15, 8 30, 4 480, 0
1, 4 9, 3 12, 1 71, 0
0, 9 18, 9 31, 3 43, 0

Задание:

Рассчитать параметры уравнения линейной множественной регрессии с данным перечнем факторов.

Рассчитать парные коэффициенты корреляции и отобрать информативные факторы для модели. Построить модель с информативными факторами и оценить ее параметры.

Рассчитать прогнозное значение результата.

Рассчитать доверительный интервал прогноза и ошибки при
уровне значимости 5 или 10% (γ = 0, 05; γ = 0, 10).


Поделиться:



Популярное:

Последнее изменение этой страницы: 2016-05-30; Просмотров: 1650; Нарушение авторского права страницы


lektsia.com 2007 - 2024 год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! (0.059 с.)
Главная | Случайная страница | Обратная связь