Тема 3. Нелинейные модели регрессии и их линеаризация

⇐ ПредыдущаяСтр 19 из 21Следующая ⇒

3.1. Общие понятия____________________________________________________________163

3.2. Мультипликативные модели и их линеаризация 165

3.3. Гиперболическая регрессия. Полиномиальная и кусочно-

полиномиальная регрессия 166

3.4. Экспоненциальная и степенная однофакторные регрессии 166

3.5. Формирование нелинейных ОДНОФАКТОРНЫхрегрессионных

моделей на компьютерес помощью ППП Excel 167

3.6. ПРАКТИЧЕСКИЙ БЛОК 168

3.7. САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА СТУДЕНТОВ 173

Общие понятия

Часто соотношения между экономическими явлениями не являются линейными зависимостями, и приходится описывать их нелинейными функциями. Например, такие зависимости имеются между объемами производства и основными его характеристиками (так называемые, производственные функции), или различные функции спроса (от цены или от дохода).

При оценке параметров нелинейных моделей применяются следующие подходы:

1. Линеаризация модели: исходные переменные определенным образом преобразуются, и нелинейная модель сводится к линейной, после чего для оценки ее параметров используется известный метод наименьших квадратов.

2. При невозможности выполнить линеаризующее преобразование применяются методы нелинейной аппроксимации на базе исходных переменных.

Например, используем первый подход для преобразования уравнения

переходя к новым переменным , получаем линейное уравнение:

Ниже рассмотрим наиболее часто встречаемые в экономических исследованиях нелинейные модели:

Степенная (мультипликативная)

Гипербола

Экспонента ,

Логарифмическая модель

Мультипликативные модели и их линеаризация.

Уравнение (2.1) называют аддитивным, тогда как уравнение вида

у=a₀х₁^a¹х₂^a²´ …´ х_m^a^m (3.1)

называется мультипликативным.

Коэффициенты а_jявляются коэффициентами эластичности.

Так, например, исследуя спрос на масло, получено уравнение:

где у – величина спроса на масло, х₁ – цена, х₂ – доход. Увеличение цены на 1% при неизменном доходе вызовет снижение спроса на масло на 2, 63%. Рост дохода на 1% при неизменных ценах вызовет увеличение спроса на масло на 1, 11%.

Логарифмируя (3.1), приходим опять к линейному уравнению регрессии:

Делая замену переменных

модель запишется следующим образом в новых переменных

Степенные (мультипликативные) модели широко распространены в экономике ввиду того, что ее параметры являются частными коэффициентами эластичности зависимой переменной по соответствующим факторам.

Пусть, например, требуется оценить параметры производственной функции Кобба-Дугласа V=AK^aL^b. Логарифмируя обе части, получаем

lnV=lnA+alnK+blnL. (3.2)

Полученная формула линейна относительно логарифмов объемов производства V, капитала K, труда L, и она может быть оценена как множественная линейная регрессия.

Параметры α и β являются коэффициентами эластичности объемов производства по затратам, соответственно, капитала и труда. Сумму этих коэффициентов называют отдачей от масштаба. Постоянная отдача (α + β =1)показывает, что увеличение объемов производства происходит теми же темпами, что и увеличение затрат ресурсов. При α + β < 1 увеличение объемов производства происходит меньшими темпами, чем увеличение затрат ресурсов. При α + β > 1 увеличение объемов производства происходит большими темпами, чем увеличение затрат ресурсов.

В частном случае, когда a+b=1, делается преобразование

V/L =A(K/L)^aÞ ln (V/L) =lnA+aln(K/L). (3.3)

Далее оценивается парная линейная регрессия логарифма производительности труда V/L от логарифма капиталовооруженности К/L. Если зависимость оценивается по данным временных рядов, то часть тренда зависимой переменной может объясняться действующими во времени факторами, например, производственная функция Кобба-Дугласа нейтральный технический прогресс учитывает с помощью множителя е^g^t:

V=AK^aL^bе^g^tÞ lnV=lnA+alnK+blnL+ gt (3.4)

где параметр – темп роста объема производства, связанный с техническим прогрессом, t– время, и опять приходим к модели линейной регрессии.

⇐ Предыдущая 12 13 14 15 16 17 181920 21 Следующая ⇒