МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ.

⇐ ПредыдущаяСтр 11 из 23Следующая ⇒

Молекулы идеального газа движутся хаотически (тепловое движение), число взаимных столкновений между молекулами газа пренебрежимо мало по сравнению с числом ударов о стенки сосуда, а соударения со стенками являются абсолютно, упругими. Выделим на стенке сосуда элементарную площадку DS и вычислим давление, оказываемое на эту площадку.

Рис.82. Упругое столкновение молекулы со стенкой.

При каждом соударении молекула, движущаяся перпендикулярно площадке, передает ей импульс

m₀v - (- m₀v) = 2m₀v, (11.1.)

где m₀ - масса молекулы, v - ее скорость. За время Dt площадки DS достигнут только те молекулы, которые заключены в объеме цилиндра с основанием DS и высотой vDt. Число этих молекул равно nDSvDt. Реально молекулы движутся к площадке DS под разными углами и имеют различные скорости. Для упрощения расчетов хаотическое движение молекул заменяется движением вдоль трех взаимно перпендикулярных направлений, так что в любой момент времени вдоль каждого направления движется 1/3 часть всех молекул, причем половина этих молекул ( 1/6 ) движется вдоль заданного направления в одну сторону, половина - в противоположную. Тогда число ударов молекул, движущихся в заданном направлении, о площадку DS будет равно (nDSvDt)/6. При столкновении эти молекулы передадут импульс

DP =(2m₀vnDSvDt)/6 = (nm₀v²DSDt)/3. (11.2.)

Тогда давление газа, оказываемое им на стенку сосуда

p = DP/(DSDt) = (nm₀v²)/3. (11.3.)

Если газ в объеме V содержит N молекул, движущихся с

v₁, v₂, .., v_n, то целесообразно рассматривать среднюю квадратичную скорость < v_кв.> = Ö 1/(N.Sv_i²), характеризующую всю совокупность молекул газа. Тогда

p = (nm₀< v_кв.> ²)/3. (11.4.)

СКОРОСТИ МОЛЕКУЛ ГАЗА.

Вследствие беспрестанных столкновений скорость каждой молекулы все время меняется и в течение некоторого времени скорость молекулы принимает множество различных значений. С другой стороны, в какой-либо определенный момент в громадном числе молекул, составляющих рассматриваемый объем газа, имеются молекулы с различными скоростями. Для характеристики состояния газа надо говорить о некоторой средней скорости . Средняя квадратичная скорость движения молекул газа:

< v_квадр.> = √ 3PV/m. (11.5.)

Зная, что

PV = (m/μ )RT (11.6.)

(R -универсальная газовая постоянная; R = 8, 31 Дж/моль.К ), получим новые выражения для определения

< v_квадр.> = √ 3RT/μ ). (11.7.)

Наиболее вероятную скорость можно рассчитать по формуле, данной Максвеллом:

< v_вер.> = √ 2RT/μ ). (11.8.)

По вычислениям Максвелла средняя арифметическая скорость движения молекул равна:

< v_ариф.> = √ (8/π )(RT/μ ). (11.9.)

11.3. ЭНЕРГИЯ ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ МОЛЕКУЛ ГАЗА,

Кинетическая энергия, которой обладают n молекул газа при некоторой температуре Т вследствие своего поступательного движения равна:

W_кин.^пост.= (1/2) m₀v₁² + (1/2) m₀v₂² + = (1/2) m₀(v₁² + v₂² + ). (11.10.)

Или

W_кин.^.= (m₀n/2n)(v₁² + v₂² + ) = (m₀n/2)(v₁² + v₂² + )/n. (11.11.)

Так как (v₁² + v₂² + )/n = < v> ², то

W_кин.^пост.= (1/2) m₀< v> ². (11.12.)

Из основной формулы кинетической теории следует, что

PV = (1/3) m₀< v> ². (11.13.)

Отсюда получим:

W_кин.^пост.= (3/2) PV. (11.14.)

Заменим PV = (m/m)RT и запишем

W_кин.^пост.= (3/2)(m/m)RT. (11.15.)

Средняя кинетическая энергия поступательного движения одной газовой молекулы:

< W_кин.^пост.> = (W_кин.^пост.)/N_A = (3/2)RT/N_A = [(3/2)R/N_A]T. (11.16.)

Так как ( R/N_A) = k, то

< W_кин.^пост.> = (3/2)kT. (11.17.)

Давление газа.

p = 1/3(nmv²) , (11.18.)

где m — масса молекулы, v — средняя скорость, а n — число молекул в единице объема. Перепишем эту формулу в виде:

p = (2/3)(nmv²/2) = (2/3)ε. (11.19.)

Где ε — средняя кинетическая энергия одной молекулы.

Поскольку n = N/V, получим

pV = (Nm₀< v_кв.> ²)/3 (11.20.)

или

pV = [(2Nm₀< v_кв.> ²)/2]/3 = (2E)/3, (11.21.)

где Е - суммарная кинетическая энергия поступательного движения всех молекул газа. Так как масса газа m = Nm₀, то

pV = (m< v_кв.> ²)/3. (11.22.)

Для одного моля m = m (m - молярная масса), поэтому

pV_m = (m< v_кв.> ²)/3, (11.23.)

где V_m - молярный объем. Но, по уравнению Менделеева, pV_m =RT.

Таким образом,

RT = (m< v_кв.> ²)/3, (11.24.)

откуда

< v_кв.> = Ö (3RT)/m. (11.25.)

Поскольку m = m₀N_A, где m₀ - масса одной молекулы, а N_A - постоянная Авогадро, то

< v_кв_.> = Ö (3RT)/(m₀N_A) = Ö (3kT)/m₀, (11.26.)

где k = R/N_A - постоянная Больцмана.

Средняя кинетическая энергия движения одной молекулы идеального газа пропорциональна термодинамической температуре и зависит только от нее.

< e₀> = E/N = (m₀< v_кв.> ²)/2 = (3kT)/2. (11.27.)

Обозначим давление газа при температурах Т₁ и Т₂ буквами р₁ и р₂ а средние кинетические энергии молекул при этих температурах ε ₁ и ε ₂ . В таком случае

P₁ = (2/3)ε ₁,

P₂ = (2/3)ε ₂ (11.28.)

P₁/P₂ = ε ₁/ε ₂. (11.29.)

Сравнивая это соотношение с

P₁/P₂ = T₁/T₂ (11.30.)

найдем:

T₁/T₂ = ε ₁/ε ₂(11.31.)

Итак, абсолютная температура газа пропорциональна средней кинетической энергии молекул газа. Так как средняя кинетическая энергия молекул пропорциональна квадрату средней скорости молекул, то наше сопоставление приводит к выводу, что абсолютная температура газа пропорциональна квадрату средней скорости молекул газа и что скорость молекул растет пропорционально корню квадратному из абсолютной температуры. С редние скорости молекул весьма значительны. При комнатной температуре они обычно достигают сотен метров в секунду. В газе средняя скорость движения молекул примерно в полтора раза больше, чем скорость звука в этом же газе. Кажется, что молекулы не могут двигаться с такими большими скоростями: ведь диффузия даже в газах, а тем более в жидкостях, идет сравнительно очень медленно, во всяком случае гораздо медленнее, чем распространяется звук. Дело, однако, в том, что, двигаясь, молекулы очень часто сталкиваются друг с другом и при этом меняют направление своего движения. Вследствие этого они двигаются то в одну, то в другую сторону, в основном толкутся на одном месте. В результате, несмотря на большую скорость движения в промежутках между столкновениями, несмотря на то, что молекулы нигде не задерживаются, они продвигаются в каком-либо определенном направлении довольно медленно.

⇐ Предыдущая 6 7 8 9 101112 13 14 15 Следующая ⇒