Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология
Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии


Вероятность, случайное событие, случайная величина



 

Теория вероятностей изучает закономерности случайных событий. Вероятностным экспериментом (испытанием, наблюдением) называется эксперимент, результат которого нельзя предсказать заранее. В данном эксперименте любой его результат (исход) является событием.

Событие может быть достоверным (всегда происходит в результате испытания); невозможным (заведомо не происходит при испытании); случайным (может произойти или не произойти в условиях данного эксперимента).

Событие, которое нельзя разбить на более простые события, называется элементарным. Событие, представленное в виде совокупности нескольких элементарных событий, называется сложным (фирма не понесла убытки – прибыль может быть положительной либо равной нулю).

Два события, которые не могут происходить одновременно (увеличение налогов – рост располагаемого дохода), называются несовместными.

Иными словами, два события несовместны, если появление одного из них исключает появление другого. В противном случае они являются совместными (увеличение объема продаж – увеличение прибыли). События называются противоположными, если одно из них происходит тогда и только тогда, когда не происходит другое (товар реализован – товар не реализован).

Вероятность события – это численная мера, которая вводится для сравнения событий по степени возможности их появления.

Классическое определение вероятности. Вероятностью Р(А) события А называется отношение числа m равновозможных элементарных событий (исходов), благоприятствующих появлению события А, к общему числу n всех возможных элементарных исходов данного эксперимента:

. (1.1)

Из вышеизложенного вытекают следующие основные свойства вероятности:

1. 0 £ Р(А) £ 1.

2. Вероятность достоверного события А равна 1: Р(А) = 1.

3. Вероятность невозможного события А равна 0: Р(А) = 0.

4. Если события А и В несовместны, то Р(А + В) = Р(А) + Р(В).

5. Если А и противоположные события, то Р( ) = 1 - Р(А).

Если вероятность осуществления одного события не изменяет вероятности появления другого, то такие события называются независимыми.

При статистическом определении вероятности события А под n понимается количество наблюдений результатов эксперимента, в которых событие А встретилось ровно m раз. В этом случае отношение m/n называется относительной частотой (частостью) Wn(A) появления события А в n произведенных испытаниях.

При определении вероятности по методу экспертных оценок под n понимается количество экспертов (специалистов в данной области), опрашиваемых на предмет возможности осуществления события А. При этом m из них утверждают, что событие А произойдет.

Понятия случайного события недостаточно для описания результатов наблюдений величин, имеющих числовое выражение. Например, при анализе прибыли предприятия в первую очередь интересуются ее размерами. Поэтому понятие случайного события дополняется понятием случайной величины.

Под случайной величиной (СВ) понимается величина, которая в результате наблюдения (испытания) принимает одно из возможного множества своих значений, заранее неизвестное и зависящее от случайных обстоятельств. Для каждого элементарного события СВ имеет единственное значение.

Различают дискретные и непрерывные СВ. Для дискретной СВ множество ее возможных значений конечно или счетно, т. е. СВ принимает отдельные изолированные значения с определенными вероятностями. Для непрерывной СВ множество ее возможных значений бесконечно и несчетно, например, все числа данного интервала.

Примеры случайных величин: Х - ежедневное число покупателей в супермаркете (дискретная СВ); Y - число детей, родившихся в течение суток в определенном административном центре (дискретная СВ); Z - дальность полета артиллерийского снаряда (непрерывная СВ).

Многие СВ, рассматриваемые в экономике, имеют настолько большое число возможных значений, что их удобнее представлять в виде непрерывных СВ. Например, курсы валют, доход населения и т. п.

Для описания СВ необходимо установить соотношение между всеми возможными значениями СВ и их вероятностями. Такое соотношение будет называться законом распределения СВ. Для дискретной СВ его можно задать таблично, аналитически (в виде формулы) либо графически. Например, таблично для СВ Х

 

Х х1 х2 хn
pi p1 p2 pn

 

Обычно x1 < x2 < … < xn. Обязательно (полная система событий).

Пример 1.1. На станции технического обслуживания анализируются затраты времени на ремонт автомобилей. На основании данных, полученных по 100 автомобилям, выяснилось, что для 25 из них требуется 1 ч для проведения профилактических работ. Мелкий ремонт требуется для 40 автомобилей, что занимает 2 ч. Для 20 автомобилей требуется ремонт с заменой отдельных узлов, что занимает в среднем 5 ч. 10 автомобилей могут быть отремонтированы за 10 ч. Для 5 автомобилей необходимое время ремонта составляет 20 ч. Построить закон распределения СВ Х-времени обслуживания случайно выбранного автомобиля.

Решение данной задачи можно представить в виде таблицы:

 

X
pi 0, 25 0, 40 0, 20 0, 10 0, 05

 

Если по оси абсцисс откладывать значения случайной величины, а по оси ординат - соответствующие вероятности, то получаемая соединением точек ломанная линия называется полигоном распределения вероятностей. Аналитически СВ задается либо функцией распределения, либо плотностью вероятностей.

Функцией распределения СВ Х называют функцию F(x), определяющую для каждого х вероятность того, что СВ Х примет значение, меньшее х:

F(x) = P(X < x). (1.2)

Из определения вытекают следующие свойства функции распределения:

1. 0 £ F(х) £ 1 – неотрицательная функция.

2. F(x) – неубывающая функция, т. е. при х2 > x1 Þ F(x2) ³ F(x1).

3. , .

4. Вероятность попадания СВ Х в интервал [а, b) (включая а) равна приращению F(x) на этом интервале, т. е. Р(а £ х £ b) = F(b) - F(a).

5. P(X ³ x) = 1 – F(x).

График функции распределения дает наглядное представление о вероятности изменения значений СВ.

Для примера 1.1 функция распределения F(x) и ее график имеют вид:

 
 

 

 


Рис. 1.1.

Для непрерывной СВ нельзя определить вероятность того, что она примет некоторое конкретное значение (точечную вероятность). Так как в любом интервале содержится бесконечное число значений, то вероятность выпадения одного из них асимптотически равна нулю. В результате непрерывную СВ нельзя задать таблично. Однако для описания непрерывной СВ может быть использована функция распределения и плотность вероятности (плотность распределения вероятностей).

Плотностью вероятности непрерывной СВ Х называют функцию f(x), являющуюся производной ее функции распределения

f(x) = F(x) = dF(x)/dx (1.3).

Плотность вероятности f(x) определяет закон распределения для непрерывной СВ.

Свойства плотности вероятности:

1. f(x) ³ 0.

2. Вероятность попадания непрерывной СВ в интервал [a, b] равна определенному интегралу – т. е. площади заштрихованной фигуры (см. рис. 1.2). Вероятность попадания значений СВ в «хвосты» распре­деления, т. е. в интервалы (-¥, а) и (b; +¥ ), равна 1 – Р(а £ х £ b).

3. Функция распределения (рис. 1.2) может быть выражена через плотность вероятности по формуле:

.

4. – условие нормировки. Площадь под графиком кривой плотности вероятности f(x) равна единице (рис. 1.3).

 
 


Рис. 1.2. Рис. 1.3.


Поделиться:



Популярное:

  1. F) величина сбережения по отношению ко всему доходу
  2. В уравнении жесткого приведенного механического звена величина
  3. Величина давления воздуха в шинах
  4. Величина затухания расчетной амплитуды колебаний температуры наружного воздуха, в ограждающей конструкции
  5. Даже если освобождение описывается как событие, оно не является событием.
  6. Мембранно-ионная теория происхождения потенциала покоя, ионные каналы и градиенты. Величина и способы регистрации потенциала покоя и его особенности у детей.
  7. Непрерывная случайная величина.
  8. Случайная прогулка по Уолл-стрит?
  9. СРЕДНЯЯ ВЕЛИЧИНА КАК КАТЕГОРИЯ СТАТИСТИКИ
  10. Тогда ученики сказали ему: «Мы кланяемся тебе, господин наш, и благодарим тебя за то, что ты ещё рассказал нам обо всех величинах: они скрыты от всех людей, а нам ты открыл их».
  11. Ускорение ОЦТ тела – физическая величина показывающая, насколько быстро изменяется его скорость (V) с течением времени.


Последнее изменение этой страницы: 2016-06-05; Просмотров: 874; Нарушение авторского права страницы


lektsia.com 2007 - 2024 год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! (0.018 с.)
Главная | Случайная страница | Обратная связь