Индексы позволяют соизмерить социально-экономические явления

⇐ ПредыдущаяСтр 13 из 14Следующая ⇒

а) в пространстве;

б) во времени;

в) в пространстве и во времени.

2 Индивидуальные индексы по методологии исчисления адекватны темпам роста:

а) да;

б) нет.

3 Сводные индексы позволяют получить обобщающую оценку изменения:

а) по товарной группе;

б) одного товара за несколько периодов.

4 Средний арифметический индекс разновидностью агрегатной формы индексов:

а) является;

б) не является.

5 В отдельных случаях средний гармонический индекс рассчитываться по средней гармонической невзвешенной:

а) может;

б) не может.

6 Средний гармонический индекс быть меньше минимального из осредняемых индивидуальных индексов:

а) да;

б) нет.

7 Индексы обладают свойством мультипликативности:

а) цепные с переменными весами;

б) цепные с постоянными весами;

в)базисные с переменными весами.

8 Цепные индексы с переменными весами индексами Пааше:

а) являются;

б) не являются.

9 Индексы переменного состава рассчитываются:

а) по товарной группе;

б) по одному товару.

10 Индекс переменного состава превышать индекс фиксированного состава:

а) может;

б) не может.

11 По имеющимся в таблице данным о цене на товар определите недостающие значения показателей:

Месяц	Цена, руб.	Индивидуальные индексы цен
цепные	базисные
Январь Февраль Март	? ?	? 102, 0 ?	100, 0 ? 104, 5

12 Имеются следующие данные о реализации мясных продуктов на городском рынке:

Продукты	Сентябрь	Октябрь
Цена за 1 кг. руб.	Продано, т	Цена за 1 кг, руб.	Продано, т
Говядина Баранина Свинина		6, 3 1, 8 4, 5		4.1 1, 2 3, 3

Рассчитайте сводные индексы цен, физического объема реализации и товарооборота.

13 Определите, как изменился физический объем реализации потребительских товаров предприятиями розничной торговли города в текущем периоде по сравнению с предшествующим, если товарооборот возрос на 12, 3 %, а цены повысились на 3, 7 %.

14 Имеются следующие данные о реализации молочных продуктов предприятиями розничной торговли:

Продукт	Товарооборот, млн руб.	Изменение цен в декабре по сравнению с ноябрем, %
Ноябрь	Декабрь
Молоко Сметана Творог	9, 7 4, 5 12, 9	6, 3 4, 0 11, 5	+2, 1 +3, 5 +4, 2

Рассчитайте сводные индексы цен, товарооборота и физического объема реализации.

15 Имеются следующие данные о реализации картофеля на рынках города:

Рынок	Июль	Август
Цена за кг, руб.	Продано, ц	Цена за кг, руб.	Продано, ц
	6, 0 6, 5 5, 5	24, 5 18, 7 32, 0	4, 5 5, 5 5, 0	21, 9 37, 8 33, 4

Рассчитайте: а) индекс цен переменного состава; б) индекс цен фикси-рованного состава; в) индекс структурных сдвигов.

Корреляционный анализ

Корреляционный анализ необходим для выбора (с учетом специфики и природы анализируемых переменных) подходящего измерителя статистической связи (коэффициент корреляции, корреляционное отношение, ранговый коэффициент корреляции и т. д.). Корреляционный анализ позволяет найти методы проверки того, что полученное числовое значение анализируемого измерителя связи действительно свидетельствует о наличии статистической связи. Наконец, он помогает определить структуру связей между исследуемыми k признаками х₁, х₂, …, х_k, сопоставив каждой паре признаков ответ («связь есть» или «связи нет»).

Корреляционный анализ количественных признаков. Одним из основных показателей взаимозависимости двух случайных величин является парный коэффициент корреляции, служащий мерой линейной статистической зависимости между двумя величинами. Этот показатель соответствует своему прямому назначению, когда статистическая связь между соответствующими признаками в генеральной совокупности линейна. То же самое относится к частным и множественным коэффициентам корреляции.

Парный коэффициент корреляции, характеризующий тесноту связи между случайными величинами х и у, определяется по формуле

где М_х и М_у – математические ожидания величин х и у, а _х и – их

среднеквадратичные изменения.

Парный коэффициент корреляции изменяется в пределах от – 1 до +1, т. е. – 1 ≤ р ≤ + 1. При этом между величинами х и у связь функциональная (прямая – при р = + 1 и обратная – при р = – 1). Если же р = 0, то между величинами х и у линейная связь отсутствует и они называются некоррелированными.

Коэффициент корреляции, определяемый в таблице 25, относится к генеральной совокупности и как всякий параметр генеральной совокупности нам неизвестен. Его можно лишь оценить по результатам выборочных наблюдений.

Таблица 25 – Содержательная интерпретация коэффициента корреляции

Значение р (х, у)	Связь	Интерпретация связи
р = 0	Отсутствует	Отсутствует линейная связь между величинами х и у
0 < р < 1	Прямая	С увеличением х величина у в среднем увеличивается и наоборот
–1 < р < 0	Обратная	С увеличением х величина у в среднем уменьшается и наоборот
р = + 1 р = – 1	Функциональная	Каждому значению х соответствует одно строго определенное значение величины у и наоборот

Выборочный парный коэффициент корреляции, найденный по выборке объемом n, где (х_i, у_i) – результат i-го наблюдения (i = 1, 2, … n), определяется по формуле

в которой

Формула симметрична, т. е. r_ху= r_ух = r,

где – средняя арифметическая двух величин, т. е.

Пример. На основании выборочных данных (таблица 26) о деятельности n = 6 коммерческих фирм оценить тесноту связи между прибылью (млн руб.) (у) и затратами на 1 руб. произведенной продукции (х).

Таблица 26 – Исходные и расчетные данные для определения r

Номер наблюдения i х_i у_i х_iу_i х_i² у_i²

0, 22 1, 07 1, 00 0, 61 0, 78 0, 79 21, 12 83, 46 77, 00 54, 29 63, 18 64, 78 0, 049 1, 145 1, 000 0, 372 0, 608 0, 624

Сумма 4, 47 363, 83 3, 798

С р е д н е е з н а ч е н и е 83, 833 0, 745 60, 638 7072, 5 0, 633

Используя формулу: r = прежде всего определим s_х и s_у:

тогда

r =

Следовательно, между прибылью (у) и затратами на 1 руб. произведенной продукции (х) существует достаточно тесная обратная зависимость, т. е. фирмы с большей прибылью имеют, как правило, меньшие затраты на 1 руб. произведенной продукции.

Рассмотрим теперь на примере трехмерной генеральной совокупности (х₁, х₂, х₃) понятия и правила вычисления частных и множественных коэффициентов корреляции. Пусть каждый экономический объект, элемент генеральной совокупности характеризуется тремя показателями х₁, х₂ и х_3.Требуется по данным выборки объемом n из генеральной совокупности исследовать взаимосвязь между этими показателями.

В этом случае выборка объемом n будет представлять собой матрицу наблюдений Х:

.

В ней каждая i-тая строка (I = 1, 2, …, n) характеризует i-й экономический объект, а столбец, например первый, содержит значение 1-го показателя для всех n объектов. По данным первого столбца матрицы Х можно определить среднее значение и выборочную дисперсию s₁²1-го показателя:

Аналогичным образом определяются выборочные характеристики

и , .

Рассчитаем выборочные парные коэффициенты корреляции r₁₂, r₁₃, r₂₃.

Частный коэффициент корреляции р_12/3 характеризует степень линейной зависимости между двумя величинами, например х₁ и х₂ при исключенном влиянии остальных величин, включенных в модель (в нашем случае – это х₃).

Выборочный частный коэффициент корреляции, как выборочный анализ р_12/3, определяется по формуле

r_12/13= r(х_1,х₂ / х₃) =

где r₁₂, r₁₃, r₂₃ – выборочные парные коэффициенты корреляции.

В трехмерной модели имеются еще два частных коэффициента корреляции r_12/3 и r_23/1, которые рассчитываются аналогично. Мы имеем два коэффициента корреляции: парный r₁₂ и частный r_12/3, которые характеризуют степень линейной зависимости между величинами х₁и х₂. Однако, если парный коэффициент r₁₂ оценивает степень зависимости на фоне влияния х₃, то частный коэффициент корреляции r_12/3 – при исключенном влиянии х₃.

Таким образом, частный коэффициент корреляции более точно харак-теризует степень линейной зависимости.

Частный коэффициент корреляции обладает всеми свойствами парного, т. е. изменяется в пределах от –1 до +1. Если частный коэф-фициент корреляции равен ±1, то связь между двумя величинами функциональная, а равенство его нулю свидетельствует о линейной независимости этих величин.

Множественный коэффициент корреляции, например р_12/3, харак-теризует степень линейной зависимости между величиной х₁ и остальными переменными (х₂, х₃), входящими в модель. Он изменяется в пределах от 0 до 1. Равенство его единице свидетельствует о функциональной зависи-мости между, например, х₁ и остальными переменными (х₂, х₃), входящими в модель, а равенство его 0 свидетельствует об отсутствии линейной зависи-мости между х₁ и переменными (х₂, х₃).

Выборочный множественный коэффициент корреляции, выборочный аналог генерального коэффициента р_1/23, можно выразить через парные коэффициенты:

В трехмерной модели имеются еще два множественных коэффициента корреляции r_2/13 и r_3/12, которые рассчитываются аналогично.

Квадрат коэффициента корреляции называют коэффициентомдетерминации. При этом множественный коэффициент детерминации, например , характеризует долю дисперсии х₁, объясняемую влиянием показателей х₂и х₃. Например, если r²_1/23 = 0, 85, то это свидетельствует, что 85 % дисперсии х₁ объясняется влиянием показателей х₂ и х₃, а 15 % дисперсии х₁ объясняется влиянием факторов, которые не вошли в модель.

Таким образом, коэффициент детерминации r характеризует долю дисперсии одной величины, например у, объясняемой влиянием фактора х.

Пример. Деятельность коммерческих фирм (n = 6) характеризуется тремя показателями: х₁ – прибыль (млн руб.), х₂ – затраты на 1 руб. произведенной продукции (коп./руб.) и х₃ – стоимость основных фондов (млн руб.). По данным таблицы 27 требуется определить частный r_12/3и множественный r_1/23 коэффициенты корреляции.

Таблица 27 – Исходные и расчетные данные

Номер фирмы i Х_i₁, млн руб. Х_i₂, коп. руб. Х_i₃, млн руб. х Х_i₁х_i₂ Х_i₁х_i₃ Х_i₂х_i₃

0, 22 1, 07 1, 00 0, 61 0, 78 0, 79 4, 3 5, 9 5, 9 3, 9 4, 9 4, 3 18, 49 34, 81 34, 81 15, 21 24, 01 18, 49 21, 12 83, 46 77, 00 54, 29 63, 18 64, 78 0, 946 6, 313 5, 900 2, 379 3, 822 3, 397 412, 8 460, 2 454, 3 347, 1 396, 9 352, 6

С у м м а 4, 47 29, 2 145, 82 363, 83 22, 757 2423, 9

С р е д н е е з н а ч е н и е 0, 745 83, 833 4, 867 24, 303 60, 638 3, 793 403, 983

Воспользовавшись результатами решения, будем иметь: s₁ = 0, 279; s₂ = = 6, 673 и r₁₂= – 0, 976.

Найдем s₃=

определим: r₁₃=

r₂₃=

Частный коэффициент корреляции

Сравнивая значения парного r₁₂= – 0, 976 и множественного r_12/3= – 0, 948 коэффициентов корреляции, можно утверждать, что х₃ слабо влияет на степень зависимости между величинами х₁ и х₂.

Определим теперь множественный коэффициент корреляции:

.

Корреляционный анализ порядковых переменных: ранговая корреляция. Порядковая переменная позволяет упорядочивать статистически исследованные объекты по степени появления в них анализируемого свойства. К порядковым переменным обращаются в ситуациях, когда количественно измерить данную степень проявления свойства невозможно или когда измерения рассматриваются как вспомогательное средство для последующего ранжирования рассматриваемых объектов.

Под ранговой корреляцией понимается статистическая связь между порядковыми переменными. Речь идет об измерении статистической связи между двумя или несколькими ранжировками одного и того же конечного множества объектов О₁, О₂, …О_n_.

Ранжировкой называют расположение объектов в порядке убывания степени проявления в них k-го изучаемого свойства. В этом случае называют рангом i-го объекта по k-му признаку. Ранг характеризует порядковое место, которое занимает объект О_i в ряду n объектов.

В случаях неразличимости рангов используют «объединенные» (или «связные») ранги. Всем «связным» рангам присваивается один и тот же ранг, равный средней арифметической от рангов, входящих в данную группу. Например, если в ранжировке объекты, находящиеся на 3–6-м местах, неразличимы по данному признаку, то каждому из них присваивается ранг, равный т. е. мы получим последовательность: 4, 5; 4, 5; 4, 5; 4, 5.

Пример. Два эксперта проранжировали 10 предложенных проектов реорганизации с точки зрения их эффективности. Ранжировка 1-го эксперта: (1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10). Ранжировка 2-го эксперта: (2; 3; 1; 4; 6; 5; 9; 7; 8; 10). Вычисления дают результат:

,

что свидетельствует о положительной ранговой связи между переменными.

Метод наименьших квадратов. Согласно ему минимизируется квадрат отклонения наблюдаемых значений результативного показателя

у_i (I = 1, 2, …, n) от модельных значений _I = f(х_i), где х_i – значение вектора аргументов в i-м наблюдении:

.

Получаемая регрессия называется среднеквадратической.

Метод наименьших модулей. Согласно ему минимизируется сумма абсолютных отклонений наблюдаемых значений результативного показателя от модульных значений _I = f(х_i). И получаем среднеабсолютную медианную регрессию

Регриссионным анализом называется метод статистического анализа зависимости случайной величины у от переменных х_j (j = 1, 2, … k), рассматриваемых в регрессионном анализе как неслучайные величины, независимо от истинного закона распределения х_j.

Двумерное линейное уравнение регрессии. Пусть на основании анализа исследуемого явления предполагается, что в «среднем» у есть линейная функция от х, т. е. имеет уравнение регрессии

М(у/х) = ,

где М(у/х) – условное математическое ожидание случайной величины у при

заданном х;

и – неизвестные параметры генеральной совокупности, которые над

лежит оценить по результатам выборочных наблюдений.

Предположим, что для оценки параметров и из двухмерной генеральной совокупности (х, у) взята выборка объемом n, где (х_i_,у_i) результат i-го наблюдения (I = 1, 2, …, n). В этом случае модель регрессионного анализа имеет вид:

где – независимые нормально распределенные случайные величины с нулевым

математическим ожиданием и дисперсией , т. е. М_ε_i = 0; D_{ε i}=

для всех I = 1, 2, …, n.

Согласно методу наименьших квадратов в качестве оценок неизвестных параметров и следует брать такие значения выборочных характеристик b₀и b₁, которые минимизируют сумму квадратов отклонений значений результативного признака у_i от условного математического ожидания _I, т. е. 9, 16.

Пример. По данным годовых отчетов десяти (n = 10) машиностроительных предприятий провести регрессионный анализ зависимости производительности труда у (тыс. руб. на чел.) от объема производства х (млн руб.). Предполагается, что уравнение регрессии линейно и имеет вид . Исходные данные для анализа представлены в таблице 28.

Решение. Учитывая, что , получим:

.

Таблица 28 – Исходные данные для расчета

Номер предприятия i y_i x_i x_i² _i

2, 1 2, 8 3, 2 4, 5 4, 8 4, 9 5, 5 6, 5 12, 1 15, 1 20, 25 12, 25 6, 25 6, 25 6, 25 6, 25 2, 25 0, 25 56, 25 156, 25 2, 77 3, 52 4, 27 4, 27 4, 27 4, 27 5, 02 5, 77 11, 75 15, 50 –0, 67 –0, 72 –1, 07 0, 23 0, 53 0, 63 0, 48 0, 73 0, 35 –0, 4 –31, 9 –25, 7 –33, 4 5, 1 11, 0 12, 9 8, 7 11, 2 2, 9 –2, 6

Сумма 61, 5 272, 5 – – –

С р е д н е е з н а ч е н и е 6, 15 7, 5 83, 5 – – – –

Таким образом, оценка уравнения регрессии будет иметь вид:

.

После подстановки окончательно получим:

Из уравнения регрессии следует, что при увеличении объема производства на единицу его измерения производительность труда в среднем увеличивается на 0, 753 тыс. руб.

Для интерполяции модели можно также воспользоваться коэффициентом эластичности, значение которого = 0, 918 показывает, что при увеличении объема производства х на 1 % производительность труда у в среднем увеличится на 0, 918 %.

Перейдем к статистическому анализу полученного уравнения регрессии и рассчитаем исправленную выборочную дисперсию , абсолютные и относительные ошибки аппроксимации. Выборочная дисперсия

.

Теперь среднюю относительную ошибку аппроксимации определим по формуле:

где – абсолютное значение относительной ошибки аппроксимации. Среднее значение относительной ошибки 14, 54 % говорит о том, что наша модель достаточно хорошо согласуется с исходными данными.

Самую низкую эффективность по производительности труда, как следует из таблицы 27, имеет третье предприятие. У этого предприятия производительности труда у₃= 3, 2 тыс.руб. на человека, что на 33, 4 % ниже того, что имело бы «среднее» предприятие с объемом производства х₃= 5, 0 млн руб.

Лучшим по критерию производительности труда является шестое предприятие, у которого этот показатель на 12, 9 % выше среднего значения по совокупности рассматриваемых предприятий при х₅ = 5.

Т е с т ы и з а д а ч и

1 парный коэффициент корреляции изменяется в пределах:

а) ;

б) ;

в) < < + ;

г) < .

2 множественный коэффициент корреляции изменяется в пределах:

а)

б)

в) < +

г) 0< р_у/х_z< .

3 Коэффициент детерминации между х и у характеризует:

а) долю дисперсии у, обусловленную влиянием не входящих в модель

факторов;

б) долю дисперсии у, обусловленную влиянием х;

в) долю дисперсии х, обусловленную влиянием не входящих в модель

факторов;

г) направление зависимости между х и у.

4 Парный коэффициент корреляции между факторами равен 1. Это означает:

а) наличие нелинейной функциональной связи;

б) отсутствие связи;

в) наличие функциональной связи;

г) отрицательную линейную связь.

5 На основании 20 наблюдений выяснено, что выборочная доля дисперсии случайной величины у, вызванной вариацией х, составит 64 %. Выборочный парный коэффициент корреляции:

а) 0, 64;

б) 0, 36;

в) 0, 8;

г) 0, 8 или – 0, 8.

6 Уравнение регрессии имеет вид = 5, 1–1, 7х. при увеличении х на одну единицу своего измерения:

а) увеличится на 1, 7;

б) не изменится;

в) уменьшится на 1, 7;

г) увеличится на 3, 4.

7 Согласно методу наименьших квадратов в качестве оценок параметров и следует использовать такие значения b₀ и b_1,которые минимизируют сумму квадратов отклонений:

а) фактических значений зависимой переменной от ее среднего значения;

б) фактических значений объясняемой переменной от ее среднего значения;

в) расчетных значений зависимой переменной от ее среднего значения;

г) фактических значений зависимой переменной от ее расчетных значений.

8 в среднем процент изменения результативного показателя у при увеличении аргумента х на 1% указывает:

а) бета-коэффициент;

б) коэффициент эластичности;

в) коэффициент детерминации;

г) коэффициент регрессии.

9 С целью исследования зависимости усушки формового хлеба (у) от продолжительности хранения (х) было проведено n = 5 наблюдений.

Продолжительность хранения (х) (у)
Усушку, % к массе горячего хлеба	1, 6	2, 4	2, 8	3, 2	3, 3

В предложении о линейной зависимости у от х требуется:

а) вычислить оценки b₀и b₁параметров уравнения регрессии у = b₀=

= b₁х;

б) построить на графике поле корреляции и уравнение регрессии.

⇐ Предыдущая 5 6 7 8 9 10 11 121314 Следующая ⇒