Оценивание значимости уравнения регрессии

Абсолютное значение выборочного коэффициента корреляции вычислим по формуле, следующей из (12а): . Значение R² берем из таблицы 3 результатов функции ЛИНЕЙН: R²=0, 750, |r|=0, 866. Следовательно, связь между Y и X достаточно тесная.

Значения остаточной и регрессионной суммы получим из таблицы 3: Q_e=8, 39, Q_R=25, 21. Так как Q_R> > Q_e, то, скорее всего, уравнение регрессии значимо. Полную сумму квадратов вычислим по формуле (11): Q=33, 60. Смысл этих сумм был разъяснен в §1.5.

Проверим гипотезу о незначимости уравнения регрессии по критерию Фишера. Из таблицы 3: F=24, 03. Квантиль F-распределения вычислим с помо­щью функции FРАСПОБР: f(0, 05; 1; 8)=5, 32. Таким образом, нера­венство (14) выполнено, и уравнение значимо.

Проверим гипотезу H о равенстве нулю коэффициента регрессии. Из таблицы 3: 1, 02, =0, 207. По формуле (15в) определяем: Т=4, 90. Квантиль распределения Стьюдента вычислим с помощью функции СТЬЮДРАСПОБР: t(0, 05; 8)=2, 31. Получили, что неравенство (16) выполнено. Следовательно, гипотезу H следует отклонить, и коэффициент регрессиизначим.

3. Задание* на самостоятельную работу

Исследуется зависимость доли расходов на продовольственные товары в общих расходах (Y) от средней дневной заработной платы одного работающего (X) в семи территориях Уральского региона по данным, представленным в таблице 4. Провести анализ зависимости Y(X) по аналогии с §2.

 

Таблица 4. Зависимость доли расходов от средней заработной платы

Территория	Y	Х
Удмуртская республика	68, 8	45, 1
Свердловская область	61, 2	59, 0
Башкортостан	59, 9	57, 2
Челябинская область	56, 7	61, 8
Пермская область	55, 0	58, 8
Курганская область	54, 3	47, 2
Оренбургская область	49, 3	55, 2

 

Практическая работа №2. Интервальное оценивание
параметров уравнения регресии

Теоретическая часть

Доверительный интервал коэффициента регрессии

Так как статистика (15б) имеет распределение Стьюдента с n-2 степенями свободы, то с вероятностью γ =1-a справедливо соотношение:

(17)

где t(a; n-2) – квантиль распределения Стьюдента уровня 1-a.

Из неравенства (17) получаем интервальную оценку коэффициента регрессии m доверительной вероятности (надежности) γ:

(18)

Доверительный интервал дисперсии возмущений

Так как статистика S² (см. формулу (8а)) имеет распределение хи-квадрат с n-2 степенями свободы, то с вероятностью γ =1-a справедливо соотношение:

,

где c²(z; n-2) –квантиль уровня значимости 1-z распределения хи-квадрат.

Из последнего неравенства с учетом формулы (8а) получаем доверительный интервал дисперсии возмущений s² надежности γ:

. (19)

Интервальное оценивание функции регрессии

Под функцией регрессии (см. §1.1) понимается f(x)≡ M_xY – условное математическое ожидание отклика Y при заданном значении x фактора. Из несмещенности оценок и и соотношения (2) следует:

.

Можно доказать (см., например, [5]), что для выборочного среднего квадратичного отклонения справедлива формула:

, (20)

а центрированная и нормированная статистика

распределена по Стьюденту с числом степеней свободы n-2. Отсюда следует, что с вероятностью γ =1-a выполняется соотношение:

,

и доверительный интервал M_xY надежности γ определяется неравенством:

(21)

Из соотношений (20), (21), в частности, следует, что величина доверительного интервала функции регрессии зависит от значения объясняющей переменной х: чем больше отклонение х от среднего значения , тем шире доверительный интервал, и, соответственно, меньше точность оценивания.

Интервальное оценивание индивидуальных значений отклика

Соотношение (21) дает интервальную оценку среднего значения отклика при условии заданного x в рамках классической нормальной линейной регрессионной модели. Доверительный интервал индивидуального значения отклика y* (см., например, [5]) задается соотношением:

, (22)

где

. (23)

Решение типовой задачи в среде Excel

Постановка задачи

Продолжаем исследовать зависимость добычи угля на 1 рабочего (Y) от толщины угольного пласта (Х) (см. таблицу 1). Требуется:

1. Найти с надежностью γ =0, 95 интервальные оценки коэффициента регрессии m и дисперсии s² возмущений.

2. Построить 95-процентные доверительные интервалы линии регрессии и индивидуальных значений отклика.

3. Повторить п.п.1-2 для доверительной вероятности 0, 9.

2.2. Выполнение задания в среде Excel

Доверительный интервал коэффициента регрессии определяем по фор­муле (18). В практической работе №1 уже нашли: 1, 02, =0, 207 (см. таблицу 3); t(0, 05; 8)=2, 31 (с помощью функции СТЬЮДРАСПОБР). Подставив эти значения в формулу (18), получаем 95-про­центный доверительный интервал для коэффи­циента m: 0, 538≤ m≤ 1, 495.

Для расчета интервальной оценки дисперсии возмущений в формулу (19) подставляем значение Q_e=8, 39 из таблицы 3. Квантили распределения хи-квад­рат находим, применяя функцию ХИ2ОБР: c²(0, 025; 8)=17, 53, c²(0, 975; 8)=2, 18. Получаем 95-процентный доверительный интервал дисперсии возмущений: 0, 479≤ s²≤ 3, 85.

Расчеты доверительных границ функции регрессии и индивидуаль­ных значений отклика приведены в таблице 5. Рассматривался немного более ши­рокий диапазон x, чем диапазон наблюдений. Значения вычислялись по фор­муле (2), – по формуле (20), s_{y *} – по формуле (23). Значе­ния , , , s были взяты из таблицы 3. Через N (V) обозначена ниж­няя (верхняя) доверительная граница функции регрессии, че­рез N инд (V инд) –нижняя (верхняя) довери­тельная граница индивидуальных значений отклика. В соот­ветствии с соотно­шениями (21), (22) использовались формулы:

Графики доверительных границ, построенные по таблице 5, показаны на рис. 4.

 

Таблица 5. Расчеты доверительного интервала функции регрессии

x
	3, 34	4, 36	5, 38	6, 39	7, 41	8, 43	9, 44	10, 46	11, 48
	0, 78	0, 59	0, 43	0, 33	0, 35	0, 46	0, 63	0, 81	1, 01
N	1, 56	2, 99	4, 37	5, 62	6, 61	7, 36	7, 99	8, 58	9, 15
V	5, 13	5, 73	6, 38	7, 16	8, 21	9, 50	10, 89	12, 34	13, 80
sy*	1, 28	1, 18	1, 11	1, 08	1, 08	1, 12	1, 20	1, 31	1, 44
N ind	0, 38	1, 63	2, 81	3, 91	4, 92	5, 83	6, 67	7, 44	8, 16
V ind	6, 31	7, 09	7, 94	8, 88	9, 90	11, 02	12, 21	13, 48	14, 79

Для быстрого выполнения расчетов необходимо грамотно использовать абсолютные адреса ячеек Excel. Так, например, чтобы провести вычисления для двух значений доверительной вероятности (γ =0, 95 и γ =0, 9) достаточно:

• записать значение γ =0, 95 в ячейку листа Excel;
• выполнить расчеты, ссылаясь на эту ячейку с абсолютным адресом;
• изменить значение в ячейке с 0, 95 на 0, 9, чтобы получить результаты для γ =0, 9 (в результате автоматического пересчета по формулам).

3. Задание на самостоятельную работу.

Продолжаем исследование зависимости доли расходов на продовольственные товары в общих расходах (Y) от средней дневной заработной платы одного работающего (X) в семи территориях Уральского региона (таблица 4). Необходимо провести расчеты доверительных интервалов параметров линейной регрессии по аналогии с §2.

Предыдущая1234567891011Следующая

Поделиться:

Популярное:

1. II. Дифференциальные уравнения
2. Гипотезы о значимости. Интервальное оценивание.
3. Д5. Применение уравнения Лагранжа
4. ДВАДЦАТЬ ВТОРАЯ ЛЕКЦИЯ. Представление о развитии и регрессии. Этиология
5. Дисперсионный анализ лин. регрессии.
6. Дифференциальные уравнения 1-ого порядка и уравнения, допускающие понижение порядка. Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка
7. Дифференциальные уравнения вращения твердого тела вокруг неподвижной оси.
8. Дифференциальные уравнения высших порядков.
9. Дифференциальные уравнения высших порядков. Задача Коши.
10. Дифференциальные уравнения и их решение
11. Дифференциальные уравнения равновесия жидкости. Основное уравнение гидростатики.
12. Дифференциальные уравнения электромеханической системы.