Закон сохранения механической энергии

Запишем дифференциальное уравнение движения материальной точки в виде d(mV) / dt = F. Векторно умножим слева обе части уравнения на радиус-вектор r, определяющий положение точки относительно неподвижного центра O, являющегося началом инерциальной системы координат, которую считаем неподвижной:

(1)

где правая часть r F = m_O(F) является моментом силы относительно центра O. Дифференцируя по времени произведение R mV, находим левую часть (1):

где V mV = 0, так как векторы V и mV параллельны. Подставляя правую и левую части в (1), получаем математическую запись теоремы об изменении момента количества движения материальной точки в дифференциальной форме:

(2)

По аналогии с моментом силы относительно центра векторное произведение в правой части (2) называют вектором моментом или просто моментом количества движения точки относительно центра O и обозначают k_O, то есть

(3)

Из (3) следует, что вектор момент количества движения является векторной мерой движения точки вокруг центра O, так как он определяет линию действия количества движения точки. Действительно (рис. 32): во-первых, он перпендикулярен плоскости, где лежат центр и вектор количества движения точки, а его конец показывает верх этой плоскости; во-вторых, зная величину момента количества движения, всегда можно определить кратчайшее расстояние от центра до линии действия силы h = k_O/ mV.

Таким образом, по математической записи (2) мы можем сформулировать теорему об изменении момента количества движения в дифференциальной форме: производная по времени от момента количества движения материальной точки относительно неподвижного центра равна моменту всех сил, приложенных к точке, относительно того же центра.

Естественно, что момент количества движения относительно центра обладает всеми свойствами момента силы относительно центра. В частности, он зависит от выбора центра, то есть является связанным вектором. Его проекция на ось, проходящую через центр, равна моменту вектора количества движения точки относительно той же оси. При вычислении момента количества движения можно применять теорему Вариньона.

Используя связь между векторами моментами количества движения и силы и их проекциями на оси координат, спроектируем (2) на оси инерциальной системы координат Oxyz и получим запись теоремы при движении точки вокруг координатных осей:

(4)

где

моменты количества движения точки относительно координатных осей. Очевидно, что для вычисления моментов количеств движения относительно координатных осей можно использовать все свойства и приемы вычисления моментов сил, приложенных к точке, относительно осей координат - m_x(F), m_y(F), m_z(F).

Можно вывести эту теорему и в интегральной форме. Однако при этом нужно интегрировать правые части (2) и (4), это возможно, когда радиус-вектор r и координаты точки x, y, zизвестны как функции времени (их знание нужно для вычисления моментов сил), но тогда вообще отпадает надобность применения теоремы в интегральной форме.

Теорема имеет закон сохранения при движении вокруг центра, когда m_O(F) = 0, а из (2) следует, что k_O= r mV = const.

Закон сохранения может иметь место и при движении вокруг одной координатной оси, например оси Oz, когда m_z(F) = 0, а из (4) следует, что k_z= (r mV)_z = const.

Чаще всего закон сохранения момента количества движения имеет место при движении точки под действием центральной силы, линия действия которой всегда проходит через один и тот же центр и момент которой относительно этого центра равен нулю. К таким силам, например, относятся силы всемирного тяготения между планетами Солнечной системы и Солнцем.

На основе закона сохранения момента количества движения материальной точки доказывается широко применяемая в небесной механике теорема площадей, частным случаем которой является второй закон Кеплера. Теорема используется не только при исследовании движения планет Солнечной системы, но и при исследовании движения космических аппаратов, в том числе и искусственных спутников Земли.