Пространственная система сил

Если система сил находится в равновесии, то в равновесии находится и эквивалентная ей система, состоящая из главного вектора и главного момента пары. Чтобы такая система сил была эквивалентна нулю, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие: ( где О – произвольная точка)

Эти условия являются векторными условиями равновесия для любой системы сил. В аналитической форме это эквивалентно условиям: R_x=R_y=R_z=0; M_x=M_y=M_z=0,

то есть в самом общем случае имеем шесть скалярных уравнений равновесия (уравнений статики).

Система параллельных сил (рис. 15)

Пусть F_i параллельно оси Oz, тогда

M_z тождественно равно нулю и

Таким образом, имеем три уравнения равновесия

Рис.15

Плоская система сил (рис. 16)

После отбрасывания тождеств:

имеем три уравнения равновесия:

Рис.16

Для плоской системы параллельных сил (Рис. 17) имеем лишь два уравнения равновесия:

Рис.17

Различные формы условий равновесия плоской системы сил :

1. Ранее приведенная система

2. Эквивалентная ей система уравнений равновесия для любых трех точек, не лежащих на одной прямой.

3. Также эквивалентная первой система

для любых точек А и В, если ось X не перпендикулярна отрезку АВ.

Для плоской системы параллельных сил имеем аналогичную систему уравнений равновесия для любых точек А и В.

Статически определимые и неопределимые системы

Для любой системы сил для разрешимости задач необходимо, чтобы число неизвестных сил не превышало максимального числа возможных уравнений равновесия. Такие задачи называют статически определимыми. В противном случае задача будет статически неопределимой в рамках модели абсолютно твердого тела. Статически неопределимые задачи решаются методами механики твёрдого деформируемого тела.

КИНЕМАТИКА

Основные понятия

Кинематикой называется раздел механики, в которой изучаются геометрические свойства движения тел без учета их инертности (массы) и действующих на них сил.

Под движением мы понимаем в механике изменение с течением времени положения данного тела в пространстве по отношению к другим телам.

Кинематика точки. Скорость и ускорение точки

В декартовых координатах

Положение точки М₀определяем радиус-вектором (рис. 18). Если точка движется относительно системы отсчета Oxyz, то ее координаты будут функциями времени:

Рис. 18

Скорость и ускорение точки М в некоторый момент времени:

Обозначим через S длину дуги траектории, отсчитываемой с соответствующим знаком от первоначального положения точки на траектории:

Тогда, очевидно,

Годограф.К началу неподвижной системы координат О приложим вектор ОР, равный по величине и направлению скорости движущейся точки. При движении точки М по ее траектории точка Р описывает некоторую кривую, называемую годографом скорости точки М. Очевидно, скорость точки годографа Р равна по определению ускорению точки М.

Скорость и ускорение точки

В естественной системе координат

Определим орт , он направлен по касательной к траектории. Вектор ортогонален к орту .

Составим отношение:

где k − кривизна траектории, R − радиус кривизны траектории.

Третий орт определим как

Определим скорость и ускорение точки в естественной системе координат:

; то есть

Таким образом, скорость точки всегда направлена по касательной к траектории.

то есть

Из последних соотношений получим формулу:

Скорость и ускорение точки в полярных координатах

Положение точки на плоскости известно, если заданы радиус-вектор и полярный угол φ как функции времени (рис. 19):

Введем единичный вектор , направленный по радиус-вектору от полюса О к точке М. Тогда

Для скорости получаем:

Рис. 19

Для производной по времени от единичного вектора имеем:

После этого для скорости точки в полярных координатах получаем:

Таким образом, радиальная и трансверсальная составляющие вектора скорости имеют вид:

Для ускорения легко получить:

Скорость и ускорение точек в цилиндрических

Координатах

Положение точки М в пространстве определяют заданием трех ее цилиндрических координат как функций времени (рис. 20):

Разложение векторов скорости и ускорения на составляющие, параллельные осям цилиндрической системы координат

Or, Op, Oz выразится в следующей форме:

Рис. 20

где – единичные векторы, направленные по осям цилиндрической системы координат. Оси Or и Opрасположены в одной плоскости с осями Ox и Oy.

Представим радиус-вектор точки М как сумму двух векторов, т.е.

Скорость точки получим дифференцированием радиус-вектора по времени:

Первое слагаемое в этом выражении вычислялось при выводе скорости точки в полярных координатах. Во втором слагаемом постоянный по модулю и направлению единичный вектор можно вынести за знак производной. В итоге для скорости получается следующее разложение на составляющие осям цилиндрической системы координат:

то есть, имеем, так как составляющие скорости, параллельные осям цилиндрической системы координат, взаимно перпендикулярны, то для модуля скорости имеем:

Ускорение точки получим дифференцированием по времени вектора скорости:

Первое слагаемое в этом выражении вычислялось при выводе ускорения в полярных координатах. Во втором слагаемом орт оси z выносим за знак производной. Получим выражение для ускорения точки в составляющих, параллельных осям цилиндрической системы координат:

Сложное движение точки

Рассмотрим движение точки М по траектории в пространстве (рис. 21). Будем рассматривать параметры ее движения из неподвижной системы Oxyz и подвижной системы O'x'y'z'.

Начало отсчета О' может двигаться посту-пательно и система O'x'y'z' может совершать вращение относительно оси, проходящей через точку О' с угловой скоростью и угловым ускорением . Радиус-векторы точки в системах отсчета Oxyz, O'x'y'z', а также радиус-вектор начала отсчета О' в си теме Oxyz связаны соотношением:

Рис. 21

Продифференцировав это соотношение по времени, получим:

– абсолютная скорость точки (относительно системы S),

– скорость начала координат S' относительно S,

не является скоростью точки М относительно системы S', так как орты этой системы являются функциями времени.

Последнее слагаемое означает, что производная берется при неизменных ортах системы O’x’y’z’: .

Теперь для скоростей имеем:

где v^h–переносная, v – абсолютная, v’ – относительная скорость точки, то есть, получена связь этих скоростей.

Переносная скорость состоит из двух слагаемых: первое присутствует в том случае, если подвижная система отсчета движется поступательно, второе появляется в том случае, если подвижная система отсчета совершает вращение.

Для получения связи ускорений продифференцируем по времени соотношение для скоростей:

где – абсолютное ускорение, – ускорение начала координат S’ относительно S.

Используем соотношение , ранее полученное для и справедливое для любого вектора, разлагаемого по ортам S’, которая вращается относительно неподвижной системы отсчета:

или

здесь переносное ускорение состоит из трех компонент.

Первая присутствует, если подвижная система отсчета движется поступательно и при этом неравномерно, вторая появляется при неравномерном вращении подвижной системы отсчета и третья, называемая центростремительным ускорением, присутствует всегда, если подвижная система отсчета просто вращается.

Кориолисово ускорение присутствует у точки при двух условиях: если подвижная система отсчета вращается и точка движется относительно подвижной системы отсчета и вектор не параллелен вектору .

Предыдущая12 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Следующая