|
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
|
|
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Вычисление суммы знакочередующегося ряда
Пусть знакочередующийся ряд Разность
Пример 1.14. Вычислить сумму ряда с точностью
Р е ш е н и е. Ряд Так как а
Допускаемая при этом ошибка меньше, чем первый отброшенный член ряда (т.е. меньше, чем 0, 009). ¨
Функциональные ряды
Функциональный ряд. Область сходимости функционального ряда
Ряд
членами которого являются функции от x, определенные на множестве D, называется функциональным рядом. Функция fn(x) называется общим членом ряда. Например,
где При определенном значении аргумента x = x0 Î D получим числовой ряд Если числовой ряд Множество всех точек сходимости функционального ряда (2.1) называется областью сходимости ряда (2.1). Например, рассмотрим функциональный ряд
Взяв x = 0, получим расходящийся числовой ряд 1 + 1 + … + 1 + …, а при x = 1 получим ряд Таким образом, при одних значениях аргумента функциональный ряд может сходиться, при других – расходится.
Суммы
…………………………….
называются частичными суммами функционального ряда.
Если существует Функция S(x) называется суммой функционального ряда (2.1). Для нахождения области сходимости функционального ряда можно использовать эталонные ряды и достаточные признаки сходимости числовых рядов.
Пример 2.1. Найти область сходимости функционального ряда: а) в)
Р е ш е н и е. а) Данный ряд представляет собой обобщенный гармонический ряд, который сходится при x > 1 и расходится при x £ 1. Следовательно, областью сходимости ряда является интервал (1; +¥ ).
б) Члены данного ряда образуют геометрическую прогрессию со знаменателем
Область сходимости ряда – интервал в) Для нахождения области сходимости данного ряда можно воспользоваться признаком Даламбера (теорема 1.8), который применим лишь к рядам с положительными членами. Так как ряд
и к нему применим признак Даламбера:
тогда Знакоположительный ряд (*) будет сходиться, если
Тогда и исходный ряд При Если d = 1, то ответа о сходимости ряда признак Даламбера не дает, и при x = -4 и x = 0 ряд нужно исследовать особо.
При
который сходится (см. пример 1.12, а).
При
Таким образом, областью сходимости ряда промежуток [-4; 0).
г) Ряд является знакоположительным, т.к. Для определения области сходимости воспользуемся признаком Даламбера:
следовательно, ряд сходится на
Степенные ряды
Степенным рядом называется функциональный ряд вида
т.е. ряд, членами которого являются степенные функции. Более общий вид степенного ряда:
Замечание. Так как
являются степенными, а ряды
функциональные, но не являются степенными.
Теорема 2.1 (Абеля). Если степенной ряд (2.2)
сходится в некоторой точке то он сходится (причем абсолютно) при всех значениях x, удовлетворяющих условию
Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как
сходится. Тогда
Ряд (2.2) является в общем случае знакопеременным, поэтому, чтобы исследовать его сходимость, возьмем ряд из абсолютных величин его членов
который перепишем в виде
Возьмем для сравнения ряд
являющийся при
По признаку сравнения ряд (2.7) сходится, тогда и ряд (2.6) сходится при Следовательно, при указанных значениях аргумента ряд (2.2) сходится абсолютно. #
Следствие. Если степенной ряд
расходится в точке x1, то он расходится и при всех x, для которых Действительно, если бы ряд сходился в точке Из теоремы Абеля следует: Существует такое неотрицательное число R, что при всех Множество значений переменной x, удовлетворяющих соотношению Число
Рис. 2 Возможны случаи: 10. Если R = 0, то ряд (2.4) сходится только в точке x = 0. 20. Если R = ¥, то ряд (2.4) сходится на всей числовой оси. 30. Если 0 < R < ¥, то интервалом сходимости является конечный интервал с центром в точке x = 0, т.е. (-R; R). Замечание. Сходимость степенного ряда (2.2) на концах интервала сходимости, т.е. в точках
Областью сходимости степенного ряда (2.2) называют промежуток
Теорема Абеля была доказана для ряда, записанного по степеням x. Степенной ряд общего вида (2.3):
может быть приведен к виду ряда (2.2), если принять Геометрически это соответствует перенесению начала координат на числовой оси из точки x = 0 в точку
Интервал сходимости ряда (2.3) симметричен относительно точки Ряд сходится
Рис.3
Популярное:
|
Последнее изменение этой страницы: 2016-09-01; Просмотров: 3378; Нарушение авторского права страницы
сходится и его сумма равна S, тогда 
.
- остаток ряда, в свою очередь, является суммой знакочередующегося ряда и, следовательно, удовлетворяет условию 
. Таким образом, заменяя сумму ряда его частичной суммой, получаем ошибку, абсолютная величина которой меньше абсолютной величины первого отброшенного члена ряда.
.
- сходится абсолютно (проверить самостоятельно).
, 
, то для нахождения суммы S ряда с точностью 
.
, (2.1)
- функциональный ряд, где общий член ряда 
; 
- функциональный ряд, 
.
.
, который сходится (ряд геометрической прогрессии со знаменателем 
).
, где 
, то говорят, что ряд (2.1) сходится на множестве D к функции S(x).
; б) 
; 
; г) 
.
. Ряд будет сходиться при
.
Þ 
Þ 
.
.
(*)
, 
, 
.
Þ 
Þ 
, т.е.
.
ряд 
, т.е., начиная с достаточно больших значений 
, выполняется неравенство 
, или 
. Таким образом, члены ряда возрастают с увеличением номера члена n. Поэтому 
, следовательно, ряд расходится).
из ряда 
, 
из ряда 
- гармонический ряд, который расходится.
для любого 
.
, 
, 
, 
. ¨ 
, (2.2)
(2.3)
, то ряды
и 
и 
, 
.
(2.4)
. Следовательно, можно найти такое положительное число M, чтобы для любого номера n выполнялось условие
. (2.5)
, (2.6)
(2.7)
, (2.8)
). Используя неравенство (2.5), будем иметь
.
.
, для которой 
, то по теореме Абеля он сходился бы при всех x, для которых 
, следовательно, и в точке x1, что противоречит условию.
ряд (2.2) расходится, а при 
- сходится абсолютно. 
(2.2) называется радиусом сходимости степенного ряда. 
ряд сходится 
и 
исследуется отдельно непосредственной подстановкой значений в степенной ряд.
, или 
, или 
.
.
.