Проверка воспроизводимости эксперимента

⇐ ПредыдущаяСтр 6 из 6

Осуществляется с помощью G критерия с целью проверки гипотезы о равноточности измерений.

Для этого:

1. Для каждой из М дублированных строк матрицы планирования по результатам n параллельных опытов определяется:

- среднее значение показателя качества y

- построчная дисперсия

2. Выбирается наибольшая из построчных дисперсий .

3. Вычисляется сумма квадратов построчных дисперсий

4. Определяется расчетное значение G – критерия

5. Определяется табличное значение G_табл для выбранного уровня значимости α , числа дублированных строк матрицы М и числа степеней свободы ν =n-1

6. Сравниваются G_рас и G_табл:

если G_рас< G_табл, то измерения равноточны (эксперимент воспроизводим) и величину можно считать оценкой генеральной дисперсии воспроизводности ;

при G_рас≥ G_табл эксперимент невоспроизводим.

Причина: 1) сильное влияние неучтенных факторов;

2) низкая точность измерения.

ВЫЧИСЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ МОДЕЛИ

После реализации плана ПФЭ типа 2^k и проверки воспроизводимости эксперимента коэффициенты b₀, b₁, b₂,..., b_i, ..., b_k модели вычисляются по формулам:

В выражении (24) величина x_iq равна -1 или +1 в соответствии с матрицей планирования для q-го опыта по i-му фактору, а y_q в (23) и (24) – экспериментально полученное значение y в q-ом опыте. При повторении q-го опыта n раз вместо y_q берется .

С физической точки зрения значение коэффициента b₀ характеризует среднее значение показателя y по всем опытам, а коэффициента b_i – эффект воздействия фактора x_i на y.

ПРИМЕРЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ КОЭФФИЦИЕНТОВ ПФЭ 2²

№ опыта	х₁	х₂	у
	-1	-1
	+1	-1
	-1	+1
	+1	+1

Тогда модель имеет вид:

Для вычисления коэффициента b_i необходимо перемножить значения -1 или +1 столбца x_i на значения y_q для всех q опытов, просуммировать их и разделить на общее число опытов в плане ПФЭ 2^k.

Для вычисления b₁ используется столбец с x₁, b₂- x₂ и т.д.

ПРОВЕРКА ЗНАЧИМОСТИ КОЭФФИЦИЕНТОВ МОДЕЛИ

Проверяется отличие коэффициента ММ от нуля с учетом «шума» эксперимента.

Оценка значимости коэффициентов осуществляется по t-критерию Стьюдента.

1. Вычисляется расчетное значение t_i для каждого из коэффициентов

где N=2^k;

– дисперсия воспроизводимости из М дублированных строк матрицы планирования.

В некоторых случаях дублирование опытов осуществляется только для одной из q-строк матрицы планирования или в центре плана эксперимента (x₁=0, x₂=0,..., x_k=0). В этом случае находится как построчная дисперсия:

где y_q_j – результат j-го опыта из n параллельных опытов;

– среднее значение по n параллельным опытам;

n – число параллельных опытов для q-ой строки матрицы планирования или в центре плана эксперимента.

2. Находится табличное значение

при М дублированных строках матрицы;

при одной дублированной строке матрицы.

3. Сравниваются t_рас и t_таб

Если t_рас > t_таб, то с вероятностью P =1-α коэффициент, для которого вычислено t_рас, считается статистически значимым и он используется при составлении модели.

Если t_рас ≤ t_таб, то соответствующие коэффициенты признаются незначимыми и не используются при составлении ММ (приравниваются к нулю).

Например: Если в ММ y=15-2x₁+3, 5x₂-0, 1x₃+1, 2x₄+0, 05x₅ коэффициенты b₃=-0, 1 и b₅=0, 05 оказались незначимыми, то ММ запишется в виде: y=15-2x₁+3, 5x₂+1, 2x₄.

Причины незначимости коэффициентов:

1) фактор х_i не влияет на y;

2) интервал варьирования i-переменной ( ) слишком мал;

3) велика ошибка эксперимента из-за наличия неуправляемых и неконтролируемых переменных.

После проверки значимости коэффициентов составляется ММ в виде уравнения регрессии, содержащего составляющие только со значимыми коэффициентами.

ПРОВЕРКА АДЕКВАТНОСТИ МОДЕЛИ

Осуществляется по F-критерию Фишера.

1. Определяется остаточная дисперсия , характеризующая рассеяние экспериментальных данных относительно результатов, полученных по найденной ММ

где y_qмод – величина показателя качества для q-го опыта. Рассчитывается при подстановке в полученную модель вычисленных значений и значений для данного опыта;

y_q – экспериментально полученное значение у в q-ом опыте;

m – общее число значимых коэффициентов модели, включая и коэффициент b₀.

2. Рассчитывается расчетное значение F_рас

где - дисперсия воспроизводимости эксперимента.

3. Находится:

при М дублированных строках матрицы;

при одной дублированной строке матрицы.

4. Сравниваются F_рас и F_таб:

если F_рас< F_таб, то с вероятностью P=1-α ММ считается адекватной;

при F_рас≥ F_таб – неадекватной.

При неадекватной модели необходимо:

1) дополнить описание ММ составляющими, характеризующими взаимодействие факторов;

2) переходить к квадратному уравнению;

3) переходить к более сложному уравнению.

АНАЛИЗ И СИНТЕЗ ТП ПО ПОЛУЧЕННОЙ МОДЕЛИ

Заключается в использовании физического смысла коэффициента b_i и его знака.

1. Абсолютная величина коэффициента b_i характеризует степень влияния i-го фактора на показатель качества y. Чем больше абсолютная величина b_i, тем большее влияние оказывает i-й фактор на y.

2. Знак коэффициента характеризует направление изменения y при изменении i-го фактора. Если знак " +", то изменение значений x_i и y происходит в одном направлении, если знак " -", то изменение значений x_i и y происходит в противоположном направлении.

ПОЛУЧЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ С УЧЕТОМ

ВЗАИМОДЕЙСТВИЙ ФАКТОРОВ

При проведении ПФЭ 2^k возможно получение ММ с учетом взаимодействий двух факторов, причем эта возможность реализуется без увеличения числа опытов.

Эта модель имеет вид:

Для вычисления коэффициентов b_ij необходимо иметь матрицу планирования, в которой учтены парные взаимодействия. Эта матрица представлена в табл.13.

Таблица 13

Матрица планирования ПФЭ 2³ с парными взаимодействиями

№ опыта	x₁	x₂	x₃	x₁x₂	x₁x₃	x₂x₃	y
	-1	-1	-1	+1	+1	+1	y₁
	+1	-1	-1	-1	-1	+1	y₂
	-1	+1	-1	-1	+1	-1	y₃
	+1	+1	-1	+1	-1	-1	y₄
	-1	-1	+1	+1	-1	-1	y₅
	+1	-1	+1	-1	+1	-1	y₆
	-1	+1	+1	-1	-1	+1	y₇
	+1	+1	+1	+1	+1	+1	y₈

Коэффициенты b_ij вычисляются по формуле

Отличие формулы (27) от (24) заключается в том, что здесь вместо значений x_iq берутся взаимодействия x_iq x_jq. Например из табл.13 имеем:

Матрица планирования, приведенная в табл.13, обладает свойствами ортогональности, симметричности, нормировки и рототабельности.

Статистический анализ модели (26) ничем не отличается от статистического анализа модели (22), кроме того, что здесь надо учитывать коэффициенты b_ij и значения x_iq x_jq.

При проведении ПФЭ 2^k возможно получение моделей с учетом 3-х, 4-х и т.д. взаимодействий. Учет по аналогии с вышесказанным.

Пример. Построить математическую модель вида:

В табл.14 приведена матрица планирования ПФЭ 2⁴ с парными взаимодействиями 4 факторов и экспериментальные значения показателя качества у. Опыты 17-20 выполнены в центре плана эксперимента для вычисления .

Таблица 14

№ опыта	x₁	x₂	x₃	x₄	x₁x₂	x₁x₃	x₁x₄	x_2x3	x₂x₄	x₃x₄	y
	-1	-1	-1	-1	+1	+1	+1	+1	+1	+1	0, 87
	+1	-1	-1	-1	-1	-1	-1	+1	+1	+1	0, 84
	-1	+1	-1	-1	-1	+1	+1	-1	-1	+1	0, 98
	+1	+1	-1	-1	+1	-1	-1	-1	-1	+1	0, 9
	-1	-1	+1	-1	+1	-1	+1	-1	+1	-1
	+1	-1	+1	-1	-1	+1	-1	-1	+1	-1	0, 97
	-1	+1	+1	-1	-1	-1	+1	+1	-1	-1	1, 09
	+1	+1	+1	-1	+1	+1	-1	+1	-1	-1	1, 07
	-1	-1	-1	+1	+1	+1	+1	+1	-1	-1	0, 87
	+1	-1	-1	+1	-1	-1	-1	+1	-1	-1	0, 83
	-1	+1	-1	+1	-1	+1	+1	-1	+1	-1	0, 93
	+1	+1	-1	+1	+1	-1	-1	-1	+1	-1	0, 78
	-1	-1	+1	+1	+1	-1	+1	-1	-1	+1	0, 87
	+1	-1	+1	+1	-1	+1	-1	-1	-1	+1	0, 75
	-1	+1	+1	+1	-1	-1	+1	+1	+1	+1	1, 07
	+1	+1	+1	+1	+1	+1	-1	+1	+1	+1
											0, 95
											0, 92
											0, 9
											0, 91

⇐ Предыдущая 1 2 3 4 56