Температурное поле. Уравнение теплопроводности.

Стр 1 из 2Следующая ⇒

Будем рассматривать только однородные и изотропные тела, т.е. такие тела, которые обладают одинаковыми физическими свойствами по всем направлениям. При передачи теплоты в твердом теле, температура тела будет изменяться по всему объему тела и во времени. Совокупность значений температуры в данный момент времени для всех точек изучаемого пространства называется температурным полем:

t = f(x, y, z, τ ), (9.1)

где: t –температура тела;
x, y, z -координаты точки;
τ - время.
Такое температурное поле называется нестационарным ∂ t/∂ i ¹ 0, т.е. соответствует неустановившемуся тепловому режиму теплопроводности
Если температура тела функция только координат и не изменяется с течением времени, то температурное поле называется стационарным:

t = f(x, y, z), ∂ t/∂ i = 0 (9.2)

Уравнение двухмерного температурного поля:
для нестационарного режима:

t = f(x, y, τ ); ∂ t/∂ z = 0 (9.3)

для стационарного режима:

t = f(x, y), ∂ t/∂ z = 0; ∂ t/∂ i = 0 (9.4)

Уравнение одномерного температурного поля:
для нестационарного режима:

t = f(x, τ ); ∂ t/∂ y = ∂ t/∂ z = 0; ∂ t/∂ i ¹ 0 (9.5)

для стационарного режима:

t = f(x); ∂ t/∂ y = ∂ t/∂ z = 0; ∂ t/∂ i = 0 (9.6)

Изотермической поверхностью называется поверхность тела с одинаковыми температурой.
Рассмотрим две изотермические поверхности (Рис.9.1) с температурами t и t + ∆ t.Градиентом температуры называют предел отношения изменения температуры∆ tк расстоянию между изотермами по нормали ∆ n, когда стремится к нулю:

gradt = | gradt | = lim[∆ t/∆ n]_{∆ n→ 0} = ∂ t/∂ n (9.7)

Температурный градиент-это вектор, направленной по нормали к изотермической поверхности в сторону возрастания температуры и численно равный производной температуры t по нормалиn:

grad t = ∂ t/∂ n n_o, (9.7^*)

где: n_o – единичный вектор.

Количество теплоты, проходящее через изотермическую поверхность F в единицу времени называется тепловым потоком – Q, [Вт=Дж/с].
Тепловой поток, проходящий через единицу площади называют плотностью теплового потока – q = Q / F, [Вт/м²]
Для твердого тела уравнение теплопроводности подчиняется закону Фурье:
||Тепловой поток, передаваемая теплопроводностью, ||пропорциональна градиенту температуры и площади сечения, ||перпендикулярного направлению теплового потока.

Q = -λ ∙ F∙ ∂ t/∂ n, (9.8)

или

q = -λ ∙ ∂ t/∂ n ∙ n_o = -λ ∙ grad t, (9.9)

где: q – вектор плотности теплового потока;
λ – κ оэффициент теплопроводности, [Вт/(м∙ К)].
Численное значение вектора плотности теплового потока равна:

q = -λ ∙ ∂ t/∂ n = -λ ∙ | gradt |, (9.10)

где: |gradt|- модуль вектора градиента температуры.
Коэффициент теплопроводности является физическим параметром вещества, характеризующим способность тела проводит теплоту, Она зависит от рода вещества, давления и температуры. Также на её величину влияет влажность вещества. Для большинства веществ коэффициент теплопроводности определяются опытным путем и для технических расчетов берут из справочной литературы.
Дифференциальное уравнение теплопроводности для трехмерного нестационарного температурного поля имеет следующий вид:

, (9.11)

где: а = λ /(ρ ·ρ ) –коэффициент температуропроводности [м²/с], характеризует скорость изменения температуры.
Для стационарной задачи, дифференциальное уравнение имеет вид:

. (9.12)

Стационарная теплопроводность через плоскую стенку.

1).Однородная плоская стенка (Рис.9.2.).

Температуры поверхностей стенки –t_ст1 и t_ст2.
Плотность теплового потока:

q = -λ ∙ ∂ t/∂ n = - λ ∙ ∂ t/∂ x = - λ ∙ (t_cт2 - t_cт1)/(x_cт2 - x_cт1)∙
или
q = λ ∙ (t_cт2 - t_cт1)/(x_cт2 - x_cт1)∙ Dt/Dx (9.13)

- температурный напор;
- толщина стенки.
Тогда

q = λ /δ ∙ (t_ст1 – t_ст2) = λ /δ ∙ Δ t, (9.14)

Если R =δ /λ -термическое сопротивление теплопроводности стенки [(м²∙ К)/Вт], то плотность теплового потока:

q = (t_ст1 – t_ст2)/R. (9.15)

Общее количество теплоты, которое передается через поверхность F за время τ определяется:

Q = q∙ F∙ τ = (t_ст1 – t_ст2)/R·F∙ τ . (9.16)

Температура тела в точке с координатой х находится по формуле:

t_x = t_ст1 – (t_ст1 – t_ст2)∙ x/ δ . (9.17)

2).Многослойная плоская стенка.
Рассмотрим 3-х слойную стенку (Рис.9.3). Температура наружных поверхностей стенокt_ст1 и t_ст2, коэффициенты теплопроводности слоевλ ₁, λ ₂, λ ₃, толщина слоевδ ₁, δ ₂, δ ₃.

Плотности тепловых потокок через каждый слой стенки:

q = λ ₁/δ ₁∙ (t_ст1 – t_сл1), (9.18)
q = λ ₂/δ ₂∙ (t_сл1 – t_сл2), (9.19)
q = λ ₃/δ ₃∙ (t_сл2 – t_ст2), (9.20)

Решая эти уравнения, относительно разности температур и складывая, получаем:

q = (t₁ – t₄)/(δ ₁/λ ₁ + δ ₂/λ ₂+ δ ₃/λ ₃) = (t_ст1 – t_ст4)/R_o, (9.21)

где: R_o = (δ ₁/λ ₁ + δ ₂/λ ₂+ δ ₃/λ ₃) – общее термическое сопротивление теплопроводности многослойной стенки.
Температура слоев определяется по следующим формулам:

t_сл1 = t_ст1 – q∙ (δ ₁/λ ₁). (9.22)
t_сл2 = t_сл1 – q·δ ₂/λ ₂). (9.23)

12 Следующая ⇒