Выбор наилучшей математической модели для осуществления прогноза и доверительные интервалы прогноза

Для выбора наилучшей математической модели развития изучаемого явления применяется средняя квадратическая ошибка:

где − фактическое значение ряда;

− выравненное значение ряда;

− длина ряда;

− число параметров уравнения.

По минимальной величине средней квадратической ошибки определяют наилучшую модель развития динамического ряда и осуществляют прогноз.

В дополнении к точечному прогнозу определяют доверительные интервалы прогноза. Доверительный интервал определяется по формуле

где − длина временного ряда;

− период упреждения;

− точечный прогноз на момент ;

− значение -статистики Стьюдента;

− средняя квадратическая ошибка прогноза.

Предположим, что тренд характеризуется прямой:

В связи с тем, что параметры уравнения определяются по выборочной совокупности, то они содержат погрешность. Погрешность параметра приводит к вертикальному сдвигу прямой, а параметра − к изменению угла наклона прямой относительно оси абсцисс. Учитывая эти погрешности дисперсию можно представить в виде:

где − дисперсия отклонений фактических наблюдений от расчётных;

− время упреждения, для которого делается экстраполяция;

;

− порядковый номер уровней ряда, ;

− порядковый номер уровня, стоящего в середине ряда, .

Доверительный интервал можно представить в виде:

Обозначим корень в представленной формуле через . Значение зависит только от и , то есть от длины ряда и периода упреждения. Поэтому можно составить таблицы значений или . Тогда интервальная оценка будет иметь вид:

Аналогичное выражение, можно получить для полинома второго порядка:

или

Дисперсия отклонений фактических наблюдений от расчётных определяется выражением:

где − фактические значения уровней ряда,

− расчётные значения уровней ряда,

− длина временного ряда,

− число оцениваемых параметров выравнивающей кривой.

Таким образом, ширина доверительного интервала зависит от уровня значимости, периода упреждения, среднего квадратического отклонения от тренда и степени полинома. Чем выше степень полинома, тем шире доверительный интервал при одном и том же значении .

Доверительные интервалы прогнозов, полученных с использованием уравнения экспоненты, определяют аналогичным образом. Отличие состоит в том, что как при вычислении параметров кривой, так и при вычислении средней квадратической ошибки используют не сами значения уровней временного ряда, а их логарифмы. По такой же схеме могут быть определены доверительные интервалы для ряда кривых, имеющих асимптоты, в случае, если значение асимптоты известно (например, для модифицированной экспоненты).

В таблице 21 приведены значения в зависимости от длины временного ряда и периода упреждения для прямой и параболы. Очевидно, что при увеличении длины рядов ( ) значения уменьшаются, с ростом периода упреждения значения увеличиваются. При этом влияние периода упреждения неодинаково для различных значений : чем больше длина ряда, тем меньшее влияние оказывает период упреждения .

Таблица 21 − Значения для оценки доверительных интервалов прогноза на основе линейного тренда и параболического тренда при доверительной вероятности 0, 9 (7).

Длина ряда ( )	Линейный и экспоненциальный тренды	Длина ряда ( )	Параболический тренд
период упреждения ( )	период упреждения ( )

	2, 6380	2, 8748	3, 1399	3, 948	5, 755	8, 152
	2, 4631	2, 6391	2, 8361	3, 459	4, 754	6, 461
	2, 3422	2, 4786	2, 6310	3, 144	4, 124	5, 408
	2, 2524	2, 3614	2, 4827	2, 926	3, 695	4, 698
	2, 1827	2, 2718	2, 3706	2, 763	3, 384	4, 189
	2, 1274	2, 2017	2, 2836	2, 636	3, 148	3, 808
	2, 0837	2, 1463	2, 2155	2, 536	2, 965	3, 516
	2, 0462	2, 1000	2, 1590	2, 455	2, 830	3, 286
	2, 0153	2, 0621	2, 1131	2, 386	2, 701	3, 100
	1, 9883	2, 0292	2, 0735	2, 330	2, 604	2, 950
	1, 9654	2, 0015	2, 0406	2, 280	2, 521	2, 823
	1, 9455	1, 9776	2, 0124	2, 238	2, 451	2, 717
	1, 9280	1, 9568	1, 9877	2, 201	2, 391	2, 627
	1, 9117	1, 9375	1, 9654	2, 169	2, 339	2, 549
	1, 8975	1, 9210	1, 9461	2, 139	2, 293	2, 481
	1, 8854	1, 9066	1, 9294	2, 113	2, 252	2, 422
	1, 8738	1, 8932	1, 9140	2, 090	2, 217	2, 371
	1, 8631	1, 8808	1, 8998	2, 069	2, 185	2, 325
	1, 8538	1, 8701	1, 8876	2, 049	2, 156	2, 284

Например: На основе построенных математических моделей развитияпо данным о числе разводов в Хабаровском крае (таблица 18) определить наилучшую модель развития динамического ряда и осуществить прогноз.

Решение

Таблица 22 − Расчётная таблица

Год	Модели	Квадрат отклонений
	линей-ный тренд	парабо-ла второго порядка	экспо-нента	линейный тренд	парабола второго порядка	экспонента
	9 619, 9	9 777, 1	7 856, 5	7 639 143, 0	8 533 023, 0	1 000 892, 0
	9 545, 5	9 918, 7	7 872, 2	2 183 006, 0	3 424 914, 0	38 350, 8
	9 471, 1	10 017, 0	7 887, 9	39 561, 2	120 401, 7	3 175 814, 0
	9 396, 7	10 072, 2	7 903, 7	2 680 751, 0	925 164, 4	9 798 763, 0
	9 322, 3	10 084, 1	7 919, 5	72 738, 1	242 181, 9	2 797 197, 0
	9 247, 9	10 052, 9	7 935, 4	3 440 654, 0	7 075 137, 0	294 159, 4
	9 173, 5	9 978, 5	7 951, 2	6 192 632, 0	10 847 307, 0	1 603 372, 0
	9 099, 1	9 860, 9	7 967, 2	3 069 854, 0	6 319 972, 0	384 590, 7
	9 024, 7	9 700, 2	7 983, 1	609 492, 0	2 120 532, 0	68 070, 9
	8 950, 3	9 496, 3	7 999, 1	692 723, 0	1 899 636, 0	14 144, 3
	8 875, 9	9 249, 2	8 015, 1	310 138, 0	865 196, 3	92 369, 6
	8 801, 5	8 958, 9	8 031, 1	1 328 256, 0	1 715 745, 0	146 011, 5
Итого	-	-	-	28 258 950, 4	44 089 211, 0	19 413 735, 0

Рассчитаем среднюю квадратическую ошибку:

Линейный тренд − .

Парабола второго порядка − .

Экспонента − .

Наименьшая квадратическая ошибка получилась у экспоненциальной формы тренда:

Прогноз на 2011, 2012 и 2013 годы ( , , ):

;

(таблица 22)

Рассчитаем доверительные интервалы по формуле

Таблица 23 − Результаты прогноза числа разводов в Хабаровском крае

Год			Доверительный интервал прогноза
нижняя граница	верхняя граница
	7 840, 7	2, 1274	4876, 7
	7 824, 9	2, 2017	4756, 9
	7 809, 3	2, 2836	4627, 3

Прогнозные данные свидетельствуют о том, что наметилась позитивная тенденция снижения числа разводов (таблица 23). Ежегодное число разводов будет сокращаться в среднем на 16 разводов (около 1%).

⇐ Предыдущая 2 3 4 5 678 9 10 11 Следующая ⇒