Формирование исходных данных

Формулировка задачи

Осуществить выбор автомобиля для покупки по совокупности технических, экономических и эстетических показателей с учётом ограничений, отражающих индивидуальные предпочтения и финансовые возможности покупателя, выступающего в качестве лица, принимающего решение (ЛПР).

Этапы выполнение задания

Вариант линейной организации критериев

Совокупность названий частных критериев – это, по сути дела, обычное множество вербальных значений, поэтому весовые коэффициентов критериев можно установить с помощью уже рассмотренной ранее (см. п. 3) процедуры определения весов, основанной на использовании таблицы парных сравнений, заполняемой баллами предпочтений.

При большом количестве частных критериев можно использовать и более простую, но не менее эффективную процедуру, основанную на парном сравнении всех вариантов с единственным – базовым критерием. Базовым критерием может быть любой из частных критериев, например, первый по номеру. Но все же, целесообразнее использовать в качестве базового наиболее «важный» критерий. Далее без сокращения общности будем предполагать, что базовый критерий учитывается под первым номером.

Сравнивать варианты целесообразно, по-прежнему, в рамках девятибалльной шкалы Саати. В результате сравнения формируется вектор результатов , где – результат сравнения -го и первого частных критериев. Семантически представляет собой интуитивно оцениваемое отношение степени важности (значимости, полезности) -го частного критерия к степени важности базового критерия т.е это интуитивная оценка величины , где , – явно не оцениваемые степени важности для ЛПР -го и первого частных критериев.

Формула весовых коэффициентов при этом имеет вид:

, .

Для рассматриваемого примера возможный вариант расчёта весовых коэффициентов представлен в таблице 12.

Рассматривая таблицу 12, можно заметить следующее:

1) частный критерий «Расход топлива на 100 км» оказался наиболее важным для ЛПР; этот показатель качества получил наибольший весовой коэффициент; его значимость для ЛПР значительно (в 9 раз) превышает значимость частного критерия «Год выпуска», выбранного в качестве базы для сравнения частных критериев.

2) наименее значимыми для ЛПР оказались частные критерии «Объём двигателя» и «Тип привода» («Привод»).

8.2 Иерархическая организация критериев.
Оригинальный метод Саати

Если количество учитываемых частных критериев велико, то целесообразно организовать критерии в иерархию, на верхних уровнях которой размещаются группы критериев, а на последнем уровне – собственно критерии. Такая организация позволяет более тщательно оценить весовые коэффициенты критериев.

Основные идеи оригинального метода Саати таковы.

1. Строится иерархия частных критериев: 1) на нулевом уровне размещается название всей иерархической системы, например, «Критерии для выбора автомобиля»; 2) на последующих уровнях – с первого по ( -1)-й уровни размещаются группы критериев; 3) на -м уровне размещаются собственно критерии; 4) на маргинальном – -м уровне размещаются сопоставляемые варианты; в нашем примере сопоставляемыми вариантами являются конкретные автомобили, из которых ЛПР выбирает наиболее подходящий вариант. При этом все критерии не имеют значений – это просто лингвистические метки, имеющие некоторую семантику качественного признака без деления этого признака на какие-либо уровни.

2. На каждом уровне иерархии происходит сравнение элементов этого уровня друг с другом. Причём сравнение выполняется несколько раз: столько, сколько элементов содержится на предыдущем уровне. Каждое сравнение осуществляется «с позиции» одного из элементов предыдущего уровня, который выступает в роли критерия, по которому попарно сравниваются элементы текущего уровня.

3. Все группы критериев, собственно критерии и варианты сравниваются друг с другом по шкале 1..9 по схеме «каждый с каждым», результаты сравнения представляются в виде матрицы парных сравнений. По каждой матрице парных сравнений формируется вектор весовых коэффициентов. Для большей научности метода Саати рекомендует вычислять весовые коэффициенты как собственный вектор матрицы парных сравнений, соответствующий наибольшему собственному числу этой матрицы. Особой проблемы вычисления этого собственного вектора нет, но и особой нужды в его вычислении тоже нет: если нормализовать элементы столбцов матрицы парных сравнений их суммами, а затем усреднить результаты, получаемые в каждой строке, то результат будет весьма близок к собственному вектору Саати.

4. Итак, по каждой матрице парных сравнений получен отдельный вектор весовых коэффициентов – по количеству учитываемых критериев. Их можно разместить в виде столбцов последовательно друг за другом и получить целую матрицу весовых коэффициентов. Как же по этой совокупности матриц, составленных из векторов весовых коэффициентов можно получить единственный вектор весовых коэффициентов, ранжирующих сопоставляемые варианты? Для этого нужно вычислить произведение матриц, синтезированных из векторов весовых коэффициентов, полученных на каждом уровне иерархии:

= ´ ´ ¼ ´ ´ =

= ´ ´ ¼ ´ ´ = (1)

где = – матрица -го уровня, – составленная из столбцов весовых коэффициентов, вычисленных для элементов этого уровня с позиции каждого из элементов предыдущего уровня; – количество уровней иерархии, на которых размещаются группы критериев (эти уровни имеют номера 0.. ); – количество учитываемых частных критериев – число элементов критериального уровня иерархии с номером ; (заметим, что количество учитываемых частных критериев имеет и более простое обозначение , поэтому ); – количество сопоставляемых вариантов – число элементом вариантного уровня иерархии с номером . Поскольку в (1) обозначает количество элементов -го уровня иерархии, то имеет место равенство: .

Рассматривая формулу для вычисления вектора , следует чётко осознавать следующее. Матрица -го уровня ( ) имеет столько строк, сколько элементов содержится на этом -м уровне и столько столбцов, сколько элементов содержится на предыдущем -м уровне; вследствие этого произведение любой пары матриц формулы (1) вычисляемо, и результатом вычисления является новая матрица число строк которой равно числу строк левой из пары перемножаемых матриц, а число столбцов – числу столбцов правой из пары перемножаемых матриц. Результатом перемножения всех матриц (1) является вектор (одностолбцовая матрица), содержащий весовые коэффициентов сопоставляемых вариантов.

8.3 Модифицированный метод Саати
для иерархии критериев, имеющих значения

В целом, метод Саати применим и в случае критериев со значениями, отличие будет состоять только в способе формирования матрицы - го – вариантного – уровня иерархии = . В рассматриваемом нами случае критериев со значениями элементы матрицы не оцениваются с помощью матрицы парных сравнений, а просто вычисляются по формуле:

, , , (2)

где – нормализованное значение -го критерия для -го варианта. Естественно, формулы (2) может использоваться только в случае, если все частные критерии имеют числовые значения, т.е. предварительно необходимо осуществить взвешивание значений всех вербальных критериев.

В остальном предлагаемый модифицированный метод полностью совпадает с классическим методом Саати: 1) так же строится иерархия, состоящая из групп критериев в вершинах и частными критериями в концевых вершинах (в листьях) дерева иерархии; 2) так методом парных сравнений оцениваются весовые коэффициенты групп и собственно критериев; 3) так же по формуле (1) вычисляются весовые коэффициенты вариантов; 4) так же полученные весовые коэффициенты вариантов используются для ранжирования этих вариантов, т.е. в качестве значений интегрального критерия, т.е. вектор значений интегрального критерия совпадает с вектором весовых коэффициентов: .

Как уже отмечалось, отличие состоит только в способе вычисления весовых коэффициентов на маргинальном – вариантном уровне иерархии.

Рассматриваемый вариант метода Саати, по сути дела, эквивалентен методу интегрального критерия с линейной формой интегрального критерия. Эта эквивалентность отражается следующей теоремой.

Теорема. Метод Саати для случая частных критериев со значениями эквивалентен (в плане ранжирования вариантов) методу интегрального критерия uс линейной формой интегрального критерия, vкоэффициенты которой вычисляются по схеме Саати – посредством парных сравнений критериев и их групп в рамках специально синтезируемой иерархии, wи нормализацией критериев суммами их вариантных значений, xпредварительно при необходимости смещённых в область положительности yи сориентированных в направлении повышения интегрального качества. zПри этом константа смещения частных критериев в область положительности значений {и способ переориентации критериев, понижающих качество вариантов, влияние на результат ранжирования вариантов не оказывают.

9 Выбор варианта по методу Саати для иерархии критериев, имеющих значения

Лучший вариант выбирается из таблицы вариантов множества Парето следующим образом:

1) лучший вариант по вектору весовых коэффициентов , найденному в результате синтеза иерархии критериев: выбирается вариант с наибольшим значением весового коэффициента;

2) если находится единственный лучший вариант, то решение задачи получено;

3) если выясняется, что несколько вариантов являются эквивалентными по весовым коэффициентам, то лучший вариант выбирается по жребию.

Для рассматриваемого примера помимо стандартного набора таблиц (1 – 11) приведены следующие сведения, отражающие специфику метода Саати:

1) рисунок 1 с иерархией критериев; сформирован только один уровень групп критериев «Технические», «Эргономические и прочие» и «Экономические»;

2) таблица 12 с вектором результатов парных сравнений групп критериев и вектором весовых коэффициентов этих групп;

3) таблица 13 с вектором результатов парных сравнений критериев с позиций выделенных групп критериев;

4) таблица 14 с векторами значений весовых коэффициентов критериев, сформированными по векторам результатов парных сравнений;

5) таблица 15 с вектором итоговых весовых коэффициентов критериев, полученным путём умножения матрицы таблицы 14 на вектор коэффициентов таблицы 12;

6) таблица 16, содержащая таблицу множества Парето с однонаправленными и нормализованными значениями частных критериев, весовые коэффициенты вариантов и их ранги.

Таблица 1. Таблица исходных вариантов

Номер варианта

Наименование автомобиля

Год выпуска

Объем двиг.

Разгон до 100 км

Привод

Кузов

Число дверей

Цена

Цвет

Страна

Топливо на 100 км

Признак удаления

Mazda 3

1.6

передний

седан

голубой

Япония

2, 3, 8, 9

Volkswagen Touareg

3.6

7.5

смешанный

универсал

красный

Германия

Toyota Camry

2.4

передний

седан

серебристый

Япония

Ford Focus

1.6

10.2

передний

седан

558 000

красный

Россия

2, 3, 10

Audi A6

2.8

передний

седан

белый

Германия

Nissan Teana

2.5

передний

седан

черный

Япония

BMW X 5

3.0

6.5

полный

хэтчбек

синий

Германия

Mercedes-benz ML 350

3.5

полный

фастбек

серый

США

8, 9, 11

RANGE ROVER VOGUE

4.0

полный

фастбек

темно-синий

Великобритания

8, 9, 11

RENO LOGAN

1.6

передний

седан

фисташковый

Россия

2, 9, 10

Ограничения

> =2000

> =2.0

< =10

> =4

< =750000

{красный, черный, белый, серебристый, синий}

НЕ {Россия, Китай}

< =14

Таблица 2. Таблица допустимых вариантов

Номер варианта

Наименование автомобиля

Год выпуска

Объем двиг.

Разгон до 100 км/час

Привод

Кузов

Число дверей

Цена

Цвет

Страна

Топливо на 100 км

Признак удаления

Volkswagen Touareg

3.6

7.5

полный

универсал

красный

Германия

Toyota Camry

2.4

передний

седан

серебристый

Япония

Audi A6

2.8

задний

седан

белый

Германия

Nissan Teana

2.5

передний

седан

черный

Япония

BMW X 5

3.0

6.5

полный

хэтчбек

синий

Германия

Таблица 5. Сравнение значений критерия «Привод» Таблица 6. Веса значений критерия «Привод»

Таблица 7. Сравнение значений критерия «Кузов» Таблица 8. Веса значений критерия «Кузов»

Таблица 9. Веса значений критерия «Страна»

Таблица 10. Таблица множества Парето с оцифрованными значениями вербальных критериев

Номер варианта	Наименование автомобиля	Год выпуска	Объем двиг.	Разгон до 100 км/час	Привод	Кузов	Число дверей	Цена	Цвет	Страна	Топливо на 100 км

	Volkswagen Touareg		3, 6	7, 5	0, 539	0, 6232			0, 0473	0, 6
	Toyota Camry		2, 4		0, 16	0, 1373			0, 4257	0, 4
	Audi A6		2, 8		0, 2972	0, 1373			0, 2365	0, 6
	BMW X 5			6, 5	0, 539	0, 2395			0, 0065	0, 6
Среднее значение	2004, 25	2, 95		0, 3847	0, 2843	4, 5		0, 1789	0, 55

Таблица 11. Таблица множества Парето со словесными значениями вербальных критериев

Номер варианта

Наименование автомобиля

Год выпуска

Объем двиг.

Разгон до 100 км/час

Привод

Кузов

Число дверей

Цена

Цвет

Страна

Топливо на 100 км

Признак удаления

Volkswagen Touareg

3, 6

7, 5

полный

универсал

красный

Германия

Toyota Camry

2, 4

передний

седан

серебристый

Япония

Audi A6

2, 8

задний

седан

белый

Германия

BMW X 5

3, 0

6, 5

полный

хэтчбек

синий

Германия

Частные критерии

Формулировка задачи

Этапы выполнение задания

Формирование исходных данных

Таблица исходных вариантов. Используя сайты Интернет и рекламные проспекты сформировать в табличном процессоре Excel таблицу данных об автомобилях различных марок.

Таблица должна включать один столбец со списком из 10 – 12 вариантов – марок-моделей автомобилей и около 10 столбцов их разнородных показателей, например, следующих: «Год выпуска», «Мощность двигателя», «Разгон до 100», «Тип привода», «Тип кузова», «Число дверей», «Цена», «Цвет», «Страна выпуска», «Потребление топлива на 100 км». Эти показатели часто называются частными критериями выбора. В таблице эти критерии должны быть пронумерованы.

Следует сразу же предусмотреть два дополнительных столбца – с названиями «Номер варианта» в левой части таблицы и «Признак удаления» в правой части.

Ограничения. Под столбцом каждого показателя необходимо расположить ограничения, отражающие предпочтения и возможности покупателя.

Ограничение может иметь одну из следующих форм:

a) ограничение сверху, в виде: ; это ограничение означает: «не более 200000»;

b) ограничение снизу, в виде: ; это ограничение означает: «не менее 24»;

c) интервальное ограничение, в виде: ; это ограничение означает: «От 24 до 60 включительно»; если одна или обе границы в допустимый интервал не входят, то соответствующая скобка заменяется на круглую, например, означает «Больше 24, но не более 60»;

d) перечисление допустимых вариантов, в виде: [Красный, Белый, Чёрный];

e) перечисление недопустимых вариантов, в виде: НЕ [Украина, Китай];

f) отсутствие ограничений – в виде: *.

Если на какой-либо частный критерий не накладывается ограничений, то для сокращения информационного пространства задачи его следует исключить из рассмотрения.

Пример таблицы исходных вариантов представлен в таблице 1. Естественно, в процессе выполнения задания должна быть составлена другая аналогичная таблица. Рассматривая пример, учтите, что ячейки последнего столбца заполняются на втором этапе решения, на текущем – первом этапе – ячейки этого столбца остаются пустыми.

2 Формирование множества
допустимых вариантов

Таблица допустимых вариантов формируется путём удаления из Таблицы исходных вариантов тех строк, у которых хотя бы один показатель (частный критерий) не удовлетворяет установленным ограничениям.

На втором этапе решения поставленной задачи необходимо выполнить следующие действия:

1) в таблице исходных вариантов просматриваем строки каждого варианта и сравниваем значение каждого частного критерия со значением соответствующего ограничения;

2) если значение какого-то частного критерия не удовлетворяет ограничению, то в ячейке «Признак удаления» текущей строки размещаем номер этого частного критерия; если встретятся еще частные критерии, не удовлетворяющие соответствующим ограничениям, то их номера так же помещаются в ячейку столбца «Признак удаления»; все эти номера представляют собой указание на необходимость исключения текущего варианта из дальнейшего рассмотрения;

3) копируем таблицу исходных вариантов (выделяем таблицу мышкой и нажимаем Ctrl+C) и размещаем копию за строкой заголовка «2. Таблица допустимых вариантов», нажимая Ctrl+V;

4) удаляем из таблицы все строки, содержащие не пустые ячейки в столбце «Признак удаления».

1. Если Таблица допустимых вариантов окажется пустой, то необходимо вернуться на этап формирования Таблицы исходных вариантов.

2. Если Таблица допустимых вариантов окажется состоящей из одной строки, то решение задачи получено.

3. Если Таблица допустимых вариантов окажется состоящей из нескольких строк, то осуществляется переход к следующему этапу решения.

Таблица допустимых вариантов для нашего примера представлена в таблице 2. Она не пуста, не состоит из одного элемента, следовательно, необходимо выполнять следующий этап решения.

12 3 4 Следующая ⇒