Последовательные операции - использование матриц

Результаты, о которых говорилось выше, были получены полностью графическим путём, но к тем же самым выводам можно прийти с помощью умножения между собой матриц отдельных операций - как было показано ранее.

Например, результат последовательных операций C₂ (y) *C₂ (x) может быть получен

из произведения соответствующих матриц

 

и матрица, получившаяся в результате, как мы видим, соответствует операции C₂ (z).

Отметим, что обе матрицы для C₂ (y) и C₂ (x) симметричны относительно главной диагонали и поэтому эти две операции будут коммутировать, т.е. C₂ (y) *C₂ (x) = C₂ (x) *C₂ (y).

Последовательное вращение относительно одной и той же оси, например C₂ (y) *C₂ (y), приводит к идентичности Е. В матричной форме это выводится из соотношения:

 

 

Таблица умножения для операций в точечной группе D₂

В общем виде, эффект от проведения последовательных операций симметрии может быть выражен в форме таблиц умножения. В таблице характеров для точечной группы D₂ (Приложение II) находятся четыре элемента симметрии, каждый из которых допускает только одну операцию:

 

D2

E

C2 (z)

C2 (y)

C2 (x)

 

Таблица умножения для точечной группы D₂ приведена ниже:

D2	E	C2(z)	C2(y)	C2(x)
E	E	C2(z)	C2(y)	C2(x)
C2(z)	C2(z)	E	C2(x)	C2(y)
C2(y)	C2(y)	C2(x)	E	C2(z)
C2(x)	C2(x)	C2(y)	C2(z)	E

В этой таблице операция, которая проводится первой, стоит в верхней строке, а вторая операция приведена в крайнем левом вертикальном столбце. В основной части таблицы показаны одиночные операции симметрии, которые эквивалентны выполнению двух последовательных операций.

Эта таблица подчёркивает важность идентичности Е. а также показывает, что для этой точечной группы все операции коммутативны, т.е. C₂ (x) *C₂ (y).= C₂ (y) *C₂ (x) = C₂ (z).

 

Последовательные операции для точечной группы С_2v

На Рис. 2.6 показаны элементы симметрии точечной группы по отношению к точке

Рис. 2.6

общего положения P (X, Y, Z), и таблица умножения для группы С_2v может как графически, так и с помощью матриц.

Как мы видим из рисунка, отражение в плоскости yz с последующим отражением в плоскости xz приводит к последовательности P ® U ® S, а в одну стадию перемещение P ® S может быть достигнуто с помощью поворота С2 вокруг оси z.

Матрицы для этих операций были получены ранее:

и в матричной форме результат последовательных операций таких как σ (xz)*σ (yz) поэтому:

т.е. σ (xz)*σ (yz) = C₂ (z).

Полная таблица умножения для группы С_2v приведена ниже

С2v	E	C2(z)	sv(xz)	s¢ v(yz)
E	E	C2(z)	sv(xz)	s¢ v(yz)
C2(z)	C2(z)	E	s¢ v(yz)	sv(xz)
sv(xz)	sv(xz)	s¢ v(yz)	E	C2(z)
s¢ v(yz)	s¢ v(yz)	sv(xz)	C2(z)	E

:

 

Понятие о представлениях

В приведенных выше таблицах умножения для D₂ и C_2v групп отдельные операции симметрии встречались в виде символов, таких как E, C₂ (z) и т.д., однако, таблицы умножения останутся правильными, если вместо использования этих символов мы заменим их на матрицы, которые мы использовали ранее для представления различных операций симметрии.

Тот факт, что мы можем использовать группу матриц для того, чтобы представить операции симметрии лежит в основе общего понятия о представлении как о наборе матриц, которые могут быть расположены в соответствии с операциями симметрии в группе и которые подчиняется тем же условиям, что и элементы таблицы умножения.

В то же время, матрицы, которые определяют судьбу точки P (X, Y, Z) в ранее приведенном примере не уникальны в этой своей способности и не являются простейшим набором матриц, который ведёт себя подобным образом.

Рис. 2.7, на котором показаны элементы симметрии точечной группы C_2v можно

Рис. 2.7

использовать для изучения влияния различных операций симметрии на единичный вектор х₁. Идентичность Е и операция σ (xz) оставят этот вектор без изменений, а σ (yz) и C₂ (z) опменяют его направление на противоположное, что может быть выражено как:

Е (х₁) ® (х₁), C₂ (z) (х₁) ® - (х₁)

σ (xz) (х₁) ® (х₁), σ (yz) (х₁) ® - (х₁).

Далее, мы можем представить коэффициенты с правой стороны каждого из этих выражений в виде 1 х 1 матрицы (+1), (-1), (+1) и (-1), которая представляют соответствующие операции симметрии подобно тому, как матрица 3 х 3 описывает перемещения точки P (X, Y, Z).

Эти числа также подчиняются правилам, представленным в таблице умножения C_2v, как мы можем увмидеть если операции симметрии в группе C_2v будут заменены на соответствующие коэффициенты., т.е.

Е= +1

C2 (z)= -1

, σ v (xz)= +1

σ v' (yz)= -1

 

С2v	E	C2(z)	sv(xz)	s¢ v(yz)
E		-1		-1
C2(z)	-1		-1
sv(xz)		-1		-1
s¢ v(yz)	-1		-1

Эти матрицы1 х 1 также составляют представление, что может быть представлено как

Рис. 2.8

E	C2(z)	sv(xz)	s¢ v(yz)
	-1		-1

(обычно знак + игнорируют).

Подобным образом, если мы рассмотрим влияние различных операций симметрии на векторы y₁ и z₁, мы добавим ещё два представления. Для y₁ мы получаем (Рис. 2.8):

Е (y₁) ® (y₁), C₂ (z) (y₁) ® - (y₁)

σ (xz) (y₁)® - (y₁), σ _v' (yz) (y₁) ® (y₁)

В результате получается такое представление:

E	C2(z)	sv(xz)	s¢ v(yz)
	-1	-1

а для z₁ мы получаем (Рис. 2.9) следующее.

Рис. 2.9

 

E	C2(z)	sv(xz)	s¢ v(yz)

 

Оба этих представления также подчиняются правилу таблиц умножения.

2.5 Неприводимые представления более подробное знакомство с таблицами характеров.

Три представления, которые приводились выше возникли в результате использования векторов х_1, y₁ и z₁ для иллюстрации эффекта, который оказывают различные операции симметрии в точечной группе C_2v. Это три представления – наиболее простые представления, которые существуют для этой точечной группы, известны как неприводимые представления.

Векторы, которые привели нас к этому неприводимому представлению, являются примерам базиса и в дальнейшем мы будем говорить, что х_1, y₁ и z₁являются базисом неприводимого представления:

-1

-1;

-1

-1

1;

и

 

Четвёртое и последнее неприводимое представление в C_2v является результатом записи одномерной матрицы:

E	C2(z)	sv(xz)	s¢ v(yz)
		-1	-1

 

Представления в таблице характеров C_2v

В Части І таблицы характеров были представлены как выражающие итог различных операций симметрии в точечной группе, и теперь пришло время анализировать добавочную информацию, которая содержится в этих таблицах. Также нам известно, что термин «характер» относится к сумме диагональных элементов матрицы. Полная таблица характеров для точечной группы C_2v приведена ниже:

С2v	E	C2(z)	sv(xz)	s¢ v(yz)	h=4
А1					z	x2, y2, z2
А2			-1	-1	Rz	xy
В1		-1		-1	x, Ry	xz
В2		-1	-1		y, Rx	yz

 

Вдоль внешней верхней строки могут быть найдены четыре операции симметрии в данной точечной группе: идентичность, ось С₂ и две плоскости. Эти символы также подтверждают расположение координатных осей. Основная часть таблицы содержит характеры неприводимых представлений, которые обсуждались ранее. И поскольку эти представления являются одномерными матрицами, характеры идентичны собственно матрицам.

Буквы, записанные сверху вниз в крайнем левом столбце, используются для того, чтобы различать представления между собой с помощью особого обозначения. Полностью симметричное неприводимое представление помечается как А₁ и относится к строке +1 находящейся под каждой операцией симметрии. Под ним находятся три других неприводимых представления. Обозначенных как А₂, В₁ и В₂.

На правом краю таблицы мы можем обнаружить несколько математических функций, таких как «x» или «xy» или родственные им символы «R_x» или «R_y». Обычно есть два столбца с такими символами: в крайнем правом перечислены возведённые в квадрат или перемноженные между собой, например «x²», «y²» и «xy» а внутренний столбец содержит «x», «y» и «z» вместе с символами, обозначающими вращение относительно отдельных осей - «R_x».

Эти функции или символы помещены в ту же самую колонку, что и неприводимое представление, к которому они относятся и могут быть использованы как основа для того, чтобы проиллюстрировать соответствующие представления.

На рисунке 2.7 представлен результат применении различных операций симметрии этой точечной групп к вектору х₁, конечным результатом которых является неприводимое представление:

E	C2(z)	sv(xz)	s¢ v(yz)
	-1		-1

 

Это представление носит обозначение В₁ в таблице характеров и его взаимосвязь с вектором х₁становится ясной если поместить функции от «х» в ту же самую строчку, что и В₁:

E	C2(z)	sv(xz)	s¢ v(yz)
В1		-1		-1	х

 

Существуют различные пути выражения соответствия между математической функцией и её неприводимым представлением. Один способ - сказать что «х имеет ту же самую симметрию, что и В₁», или «х имеет симметрию В₁», в то время как другой-сказать. Что «х - это базис представления В₁». Подобным образом, функции «y» и «z» в этом столбце связаны с представлениями В₂ и А₁.

Для того, чтобы найти соответствующую (родственную, подобную) функцию, которая является базисом для представления А₂, мы ввадим крайнюю правую колонку. Здесь представлены элементы (компоненты, составляющие), возведённые в квадрат и перемноженные между собой, и таблица характеров показывает, ч то один из них «xy» может использоваться для иллюстрации представления А₂.

На рис 2.10 показано расположение d_xy орбитали относительно Декартовых

Рис. 2.10

координат. Ось z перпендикулярна плоскости страницы. Волновая функция этой орбитали

Имеет те же самые свойства симметрии, что и функция «xy», в том что она положительна, когда функции х и у обе положительны или обе отрицательны, и отрицательна, если х и у имеют противоположные знаки.

Таким образом, в результате проведения четырёх операций симметрии возникают следующие взаимоотношения:

E (d_xy) ® (+1) (d_xy), C₂ (z) (d_xy) ® (+1) (d_xy),

σ (xz) (d_xy) ® (-1) (d_xy), σ _v' (yz) (d_xy) ® (-1) (d_xy)

и коэффициенты соответствуют представлению А₂.

 

Неприводимые представления в таблице характеров точечной группы D₂

Таблица умножения для группы D₂, которая была выведена ранее, имеет много общего с таблицей для C_2v иэто сходство сохраняется когда мы сравниваем две таблицы характеров

D2	E	C2(z)	C2(y)	C2(x)	h=4
А1		-1		-1		x2, y2, z2
В1			-1	-1	z, Rz	xy
В2		-1		-1	y, Ry	xz
В3		-1	-1		x, Rx	yz

 

:

Таблица характеров группы D₂ также имеет четыре неприводимых представления. Которые могут быть записаны как одноразмерные матрицы, и функции х, у и z снова являются подходящим базисом для трёх из них В₃, В₂ и В₁ соответственно. В группе D₂, тем не менее есть полностью симметричное представление, обозначенное как «а», которое тербует базис функций, находяшщийся в крайнем правлм столбце. Это может быть любой

Рис. 2.11

из элементов «x²», «y²» или «z²», или сумма или разность этих элементов..

На рис 2.11 показана характеристичная конфигурация d_x²_-y² орбитали по отношению к трём осям С₂ в этой точечной группе симметрии. Вращение вокруг любой из этих x, y, или z осей приводит к возникновению эквивалентной конфигурации. Все уравнения, описывающие влияние различных операций симметрии на d_x²_-y² орбиталь поэтому содержат одноразмерную матрицу (=1).Поэтому данная орбиталь может использоваться как базис для иллюстрации представления 2А» в точечной группе D₂.

 

Заключение

В этом разделе мы ознакомились со свойствами простых матриц и с их использованием в качестве представлений для операций симметрии. Представление о том, что эти операции могут формировать группу, проиллюстрировано с помощью таблиц умножения для групп, и, в частности, показано, как простые математические функции могут выступать в роли базисов неприводимых представлений в точечных группах C_2v и D₂. Предлагаемые ниже упражнения поспособствуют более свободному использованию матриц и дальнейшему анализу использования таблиц характеров.

 

Упражнения

 

1. Ниже приведены матрицы P, Q, R. Вычислите характеры матриц, полученных в результате умножения:

(1) P x P; (2) Q x P; (3) R x P

2. Используя матрицы для операций, которые приводились выше по тексту (Е, C₂ (z) и т.д.) получите одну операцию симметрии, которая эквивалентна (1) C₂ (x) x σ (xy); (2) σ (xz) x E x i; (3) C₂ (z) x C₂ (x) x σ (yz)/

3. Найдите представления, которым соответствуют функции х, y² xy принадлежащие точечной группе D_2h. (приложение ІІ)

4. предложите математическую функцию, которая может быть использована как базис для 1) представления A_g в группе D_2h; 2) представления A_u в группе C_2h 3) представленияB₁g в группе D_2h.

 

 

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. A. определении прав пользователя на операции с файлами и каталогами
2. II. Лицензионный договор о предоставлении права на использование.
3. І Элементы симметрии, операции симметрии и точечные группы
4. Аккумуляторы. Техническое использование и обслуживание
5. Активные и пассивные операции ЦБ.
6. Амортизационные отчисления и их использование на предприятии
7. Базовые операции в электронной таблице
8. Бинарные отношения и операции над ними
9. Биотесты и биоиндикаторы. Использование приемов биотестирования в системе экологического мониторинга.
10. Болезни лесных насекомых и использование их возбудителей для биологической защиты леса
11. БУДДИЗМ, МИФОЛОГИЯ И «МАТРИЦА»
12. В графе 3 текущее время с момента прибытия на работу (к предыдущему значению времени прибавляем время выполнения операции).