Если двузначное число разделить на сумму его цифр, то получится в частном 4 и в остатке 3. Если это число разделить на произведение его цифр, то получится в частном 3 и в остатке 5.

Найдите это двузначное число.

Ответ: 23

Пример 11

Решить уравнения:

1) 2002х²-2001х-1=0;

57х²-101х-26=0.

Ответ: 1) {1; - }; 2) {2; - }.

Пример 12

При каких значениях параметра «а» число является корнем уравнения: х⁴-6х²+4а²=0?

Ответ: а=-1; а=1.

ГЛАВА 2. Модуль вещественного числа. Решение уравнений и неравенств со знаком модуля.

|f(x)|=

Простейшие уравнения со знаком модуля.

1. |f(x)|=a®

2. | f(x) | =g(x) «

3. |f(x)|=|g(x)|«

частный случай: |х-а|=|х-в| « х=

4. |f(x)|+|g(x)|=0 «

Пример 1

Решить уравнения:

1) |5-3х|=2; 2) |х²-13х+40|=0; 3) |4-х²|=-2.

Решение:

1) |5-3х|=2« «

Ответ: {1; }

2) | х²-13х+40 | =0 « х²-13х+40=0 «

Ответ: {5; 8}

3) | 4-х² | =-2 « Ответ:

Пример 2

Решить уравнения:

1) |х²-5х-6|=2х-12; 2) |х²-3х-10|=2х+14; 3) |х²-25|=-30-6х;

4) |х²-7х+18|=2х-2; 5) |х²+5х+13|=-2х+1.

Решения:

1) |х²-5х-6|=2х-12 О.Д.З. 2х-12³ 0« х³ 6

Заметим, что х²-5х-6³ 0 при х³ 6, т.к. х²-5х-6=(х-6)*(х+1)

-

+

+

-1

 

 

|х²-5х-6|= х²-5х-6® х²-5х-6=2х-12 « х²-7х+6=0 «

Ответ: {6}

2) | х²-3х-10 | =2х+14 « «

«

Ответ: {-5; 8}

3) |х²-25|=-30-6х О.Д.З. -30-6х³ 0« х≤ -5

+

-

+

Заметим, что х²-25³ 0 при х≤ -5 т.к. х²-25=(х-5)*(х+5)®

+5

-5

 

|х²-25|= х²-25 ® х²-25=-30-6х « х²+6х+5=0 « Ответ: {-5}

4) |х²-7х+18|=2х-2 « «

«

Ответ: {4; 5}

5) | х²+5х+13 | =-2х+1 « « «

Ответ: {3; 4}

Пример 3

Решить уравнения:

1) |2х²+3х+5|=|2х²+3х-3|; 2) |х³+х-1|=|х³+х+5|; 3) |х²-4х+8|=|х²-14|;

4)|х³-27|+|х²-4х+3|=0; 5) | -1|+|х⁴-5х²+4|=0

Решения:

1) | 2х²+3х+5 | = | 2х²+3х-3 |; пусть 2х²+3х=t ®| t+5 | = | t-3 |« t= =-1 ®

2х²+3х=-1«

Ответ: {-0, 5; -1}

2) | х³+х-1 | = | х³+х+5 |; пусть х³+х=t ®| t-1 | = | t+5 |« t= =-2 ®

х³+х=-2« х³+х+2=0 « (x³+1)+(x+1)=0« (x+1)(x²-x+2)=0 « x=-1

(x²-x+2

Ответ: {-1}

3) | х²-4х+8 | = | х²-14 |« « «

«

Ответ: {-1; 3; 5, 5}

4)|х³-27|+|х²-4х+3|=0 « « « x=3

Ответ: {3}

5) | -1|+|х⁴-5х²+4|=0 « « « « x=2

Ответ: {2}

Пример 4

Решить уравнение:

|х-3|-|2х+1|=х-4

Решение:

|х-3|-|2х+1|=х-4

х-3

|х-3|=0« х=3; |2х+1|=0 « х=-0, 5

2х+1

-0, 5

+

-

-

-

+

+

 

 

« Ответ: {1, 5}

Пример 5

Решить уравнения (самостоятельно)

1) |7+12х|=4; 2) |х⁴-27х|=0; 3) |5-х³+х|=-1

Ответ: 1){- ; }; 2) {0; 3}; 3) .

Пример 6

Решить уравнения (самостоятельно)

1) |х²-7х+6|=х-6; 2) |х²-10х+2|=-5х+54; 3) |49-х²|=-3х-21;

4) |х²-4х+3|=2х+10; 5) |х²+9х+8|=4х+2.

Ответ: 1){6}; 2) {7; 8; }; 3) {-7}; 4) {-1; 7}; 6)

Пример 7

Решить уравнения (самостоятельно)

1) |4х²-6х-1|=|4х²-6х-7|; 2) |2х³-х|=|2х³-х-2|; 3)|х²+2х+10|=|х²-50|;

4)|х³+125|+|х²+4х-5|=0; 5) | -1|+|х⁴-10х²+9|=0.

Ответ: 1){-0, 5; 2}; 2) {1}; 3) {-30; -5; 4}; 4) {-5}; 5){-1}

Пример 8

Решить уравнение (самостоятельно)

|3х+1|-|х+2|=4-2х.

Ответ: { }

Простейшие неравенства со знаком модуля.

1.

х

а

-а

|х|≤ а (а> 0)

Ответ: хÎ [-a; a].

2.

x

x0

x0+a

x0-a

|x-x₀|≤ a (a> 0)

Ответ: xÎ [x₀-a; x₀+a]

3.

x

-a

a

|x|³ a (a> 0)

Ответ: xÎ (

4.

x

x0

x0+a

x0-a

|x-x₀|³ a (a> 0)

Ответ: xÎ -a] [x₀+a; +

5. |f(x)|≤ a (a> 0) «

6. |f(x)|³ a (a> 0) «

7. ³ 0 « f(x)> 0

8. ≤ 0 « f(x)< 0

9.

10. |f(x)|³ g(x) «

11. |f(x)|³ |g(x)| « « (f(x)-g(x))*(f(x)+g(x))³ 0

12. |f(x)|≤ |g(x)| « « (f(x)-g(x))*(f(x)+g(x))≤ 0

Пример 1

Решить следующие неравенства:

1) |3х-15|> 10; 2) |7х+12|≤ 5; 3) |7-5х|³ 7; 4) |4-3х|≤ 4; 5) ³ 0;

≤ 0; 7) ≤ 0; 8) > 0.

Решения:

1)

х

25/3

5/3

| 3х-15 | > 10 «| х-5 | >

Ответ: хÎ (- ; 5/3)

2)

х

-12/7

-1

-17/7

|7х+12|≤ 5 « |х+ |≤

Ответ: хÎ [- ; -1]

3)

7/5

14/5

| 7-5х |³ 7 «| x- |³

x

Ответ: хÎ

4)

x

4/3

8/3

| 4-3х | ≤ 4 «| x-4/3 | ≤ 4/3

 

Ответ: хÎ [0; 8/3]

5) ³ 0 « «

Ответ: хÎ

≤ 0 « «

Ответ: хÎ (

6) ≤ 0 « «

Ответ:

8) > 0 « «

Ответ: хÎ (

Пример 2

Решить следующие неравенства: (самостоятельно)

1) |5х-2|³ 10; 2) |4-3х|< 12; 3) |2х+10|> 1; 4) |10х+1|≤ 20; 5) ³ 0;

6) ≤ 0; 7) < 0; 8) ³ 0.

Ответы: 1)

4) [-2, 1; 1, 9]; 5) (

7) ; 8)

Пример 3

Решить следующие неравенства:

1) |х²+25|≤ 10х; 2) |х²+6х+10|³ 5; 3) |х+8|≤ х²+6; 4) |х²-4|³ 2х-5;

5) |х²-5х|< 3х-7; 6) |х²-6|≤ |х²+4х|; 7) |2х+5|> |х²-4х-2|;

8) |х²+5х+9|≤ |х²-7х-4|

Решения:

1) | х²+25 | ≤ 10х( т.к. х²+25> 0, то | х²+25 | =х²+25) « х²+25≤ 10х «

« х²-10х+25≤ 0 « (х-5)²≤ 0 « х=5

Ответ: {5}

2) | х²+6х+10 |³ 5 (т.к. х²+6х+10> 0 /дискриминант отрицательный/, то

|х²+6х+10|=х²+6х+10 ) « х²+6х+10³ 5 « х²+6х+5³ 0 « (х+5)*(х+1)³ 0

х

-5

-1

Ответ: хÎ ]

3) | х+8 | ≤ х²+6 (x²+6> 0) « « «

x

-1

Ответ: хÎ [-1; 2]

4) | х²-4 |³ 2х-5 « « «

«

Ответ: хÎ

5) | х²-5х |< 3х-7 « « «

«

3.8

7/3

х1

х2

 

Ответ: хÎ (1+ 7)

6) | х²-6 | ≤ | х²+4х |« 6) (х²-6)²≤ (х²+4х)² « (х²-6)²-(х²+4х)²≤ 0 «

+

+

« (х²-6-х²-4х)(х²-6+х²+4х)≤ 0 « (-4х-6)(2х²+4х-6)≤ 0 «

х

-3/2

-3

« (2х+3)(х+3)(х-1)³ 0

 

Ответ: xÎ [-3; -3/2]

7) | 2х+5 | > | х²-4х-2 |« (2х+5)²> (х²-4х-2)² « (2х+5)²-(х²-4х-2)²> 0 «

+

-

+

« (х²-4х-2-2х-5)(х²-4х-2+2х+5)< 0 «(х²-6х-7)(х²-2х+3)< 0 «

x

« (х-7)(х-1)< 0 (х²-2х+3> 0, т.к. D< 0)

Ответ: хÎ (1; 7)

8) |х²+5х+9|≤ |х²-7х-4| Заметим. что х²+5х+9> 0 т.к. D< 0 ®

| х²+5х+9 | =х²+5х+9®|x²-7x-4|³ х²+5х+9 « « « x≤ -

Ответ: хÎ (-

Пример 4

Решить следующие неравенства (самостоятельно):

1) |х²+81|³ -18х; 2) |х²-8х+14|≤ 2; 3) |2х+1|³ х²+2; 4) |х²-10х+14|< 2х+3;

5) |4х-13|³ х²-9; 6) |х²-2х+2|³ |6-х²|; 7) |х²-2х-3|> 2|х-3|;

8) |х²-7х+2|≤ |х²-7х+10|.

Ответы: 1) (-∞; +∞ ); 2) [2; 6]; 3) {1}; 4) (1; 11); 5)[-2- ; -2+ ];

6) (- ; -1] ; 8)

Пример 5

Решить следующие неравенства:

1) |х-1|-|2х+5|³ 3х-4;

2) |2х+1|+|4-2х|≤ 6х+1.

Решения:

1)

+

-

-

-2, 5

х-1

| х-1 | - | 2х+5 |³ 3х-4

+

+

-

2х+5

 

 

2x+1

«

+

+

-

Ответ: хÎ (-∞; 0]

2)

-

+

+

-0, 5

4-2x

| 2х+1 | + | 4-2х | ≤ 6х+1

 

 

«

Ответ: хÎ [2/3; +∞ )

Пример 6

Решить следующие неравенства (самостоятельно)

1) |3х+1|-|2х-3|≤ х+5;

2) |4х-8|+|4х+12|³ 5-4х.

Ответы: 1)[ -4, 5; +∞ ); 2) (-∞; +∞ ).

Пример 7

Решить следующие неравенства:

1) ≤ 0; 2) | ³ -11; 3) | ≤ 1; 4) ≤ 0

Решение:

1) ≤ 0 « ≤ 0 « «

Ответ: хÎ (-1/3; 1/3)

2) | ³ -11 « «

Ответ: хÎ [-5/3; -1)

3) | ≤ 1 (x²+4> 0) « « «

x

«

 

Ответ: xÎ (-

4) ≤ 0 « ≤ 0 « x+3 < 0 « x < -3,

Ответ: хÎ (-∞; -3)

Пример 8

Решить следующие неравенства (самостоятельно)

1) ³ 0; 2) | ; 3) | |³ 2; 4) .

Ответ: 1) хÎ :

3) xÎ .

Пример 9

Решить системы неравенств:

1) ; 2) .

Решение:

1)

-3

х

-2

х

-3

х

 

Ответ: xÎ [2; 5]

2)

1, 5

x

x

-2, 5

«

«

Ответ: xÎ [1, 5; 2]

Пример 10

Решить системы неравенств (самостоятельно):

1) ; 2) .

Ответ: 1) xÎ [2; 4] ; 2){1, 6}

ГЛАВА 3. Элементы теории множеств.

§1Основные понятия.

Напомним, что универсальное множество, которое содержит в себе все другие множества, обозначается буквой W.

Пустое множество обозначается .

А

A « {x| (xÎ A)Ù ((xÎ B)}

A\B (разность множеств) « {x| (xÎ A)Ù (x B)}

=W\A (дополнение множества А до W)

При работе с множествами будем использовать следующие свойства основных операций над множествами.

N	Объединение	Пересечение
	А	А
	(А	(А В)
	А
	А=W	А

Первый дистрибутивный закон:

Второй дистрибутивный закон

N	Свойства дополнения
	=W

Примечание: формулы 6 и 7 называют формулами де Моргана

	Полезные формулы
	Если АÌ В, то
	Если АÌ В, то А\В=

§2 Решение примеров.

Пример 1.

Дано:

АÌ ВÌ СÌ D

Упростить:

а) (

b) (

c)

Решение:

A

A

B

C

W

D

 

 

а) ( =В B (A т.к. АÌ В; С D=D, т.к.СÌ D)

Ответ: B

b) ( =

Заметим, что ®

Ответ:

c) D= =

Ответ:

Пример 2

Дано:

AÌ B; CÌ D;

Упростить:

a) ;

b)

c)

d)

Решение:

А

В

W

С

D

 

 

a) =

Ответ:

в)

Ответ: С

с) ; [ (

Ответ:

d) =D (DÌ CÌ )

Ответ: D

Пример 3

Упростить:

1 дистр. закон

Решение:

= =А

Ответ: А

Пример 4

Упростить:

формула 4

Решение:

формула 7

=(

Ответ: В

Пример 5

Упростить:

Решение:

= =Х

Ответ:

Пример 6

Упростить:

1 дистр. закон

Решение:

=А =А

Ответ: А

Пример 7

Дано: A={xÎ R| |x-2|³ 2}; B={xÎ R| |x|≤ 4}; C={xÎ R| |x+1|≤ 5}

Найти: a) b) ; c) .

Решение:

х

A={xÎ R| |x-2|³ 2};

 

А=

x

-4

B={xÎ R| |x|≤ 4};

 

B=[-4; 4]

x

-6

C={xÎ R| |x+1|≤ 5}

 

C=[-6; 4]

Ответ:

a) =R; b) =[-4; 0] ;

b) c) =C=[-6; 4].

Пример 8

Дано: A={xÎ R| ≤ 2}; B={xÎ R| ³ 1}

Найти: а) .

Решение:

A={xÎ R| ≤ 2}={xÎ R| |2x-1|≤ 2}

x

1, 5

-0, 5

|2x-1|≤ 2 « |x-0, 5|≤ 1

A=[-0, 5; 1, 5]

 

B={xÎ R| ³ 1}={xÎ R| |3x+1|³ 1}

x

-2/3

|3x+1|³ 1« |x+1/3|³ 1/3

B= [0; +

Ответ: a) ; b)

; c)A\B=[-0, 5; 0]

Пример 9

(самостоятельно)

Дано:

Упростить:

a)

b)

c) (

d)

e)

Ответ: a) A; b) D; c) ; d)

Пример 10.

(самостоятельно)

Дано: AÌ BÌ C; C∩ D=∅

Упростить:

a) (A∪ B∪ C)∩

b) (A∩ C)∪ B∩ D

c) ( ∩ D)∪ (B∩ C)

Ответ: a) C; b)C; c) B∪ D.

Пример 11

(самостоятельно)

Упростить:

(А∪ (А∩ В))∩ (А∩ В). Ответ: А∩ В

Пример 12

(самостоятельно)

Упростить:

(А∩ В)∪ (А∩ )

Ответ: А

Пример 13

(самостоятельно)

Упростить:

(А∩ ∪ (А∩ С)∪ (А∩ В∩ С)

Ответ: А

Пример 14

(самостоятельно)

Упростить:

А∩ (А∪ А∩ В)∪ В∩ (

Ответ: В

Пример 15

(самостоятельно)

Дано: A={x∈ R| |x+0, 5|≤ 2, 5}; B={xÎ R| |x-0, 5|³ 0, 5}; C={xÎ R| |x+0, 4|≤ 2, 6}

Найти: a) A∪ B∪ C; b)A∩ B∩ C; c)(A∪ C)∩ B

Ответ: a) R; b)[-3; 1]∪ {2}; c) [-3; 1]∪ [2; 2, 2]

Пример 16

(самостоятельно)

Дано: A={xÎ R| }

B={xÎ R| }.

Найти: a) A∪ B; b)A∩ B; c)A\B.

Ответ: a) (-∞; -1, 6]∪ [11/3; +∞ ); b) [-2, 4; -7/3]; c) (-7/3; 1, 6]

Пример 17

Дано: A={xÎ R| |4x²+1|≤ 4x}; B={xÎ R| |x+3|-|2x+1|≤ x+4}

Найти: a)C=A∪ B; b)D=A∩ B; c)E= .

Решение:

|4x²+1|≤ 4x « 4x²+1≤ 4x « 4x²+1-4x≤ 0 « (2х-1)²≤ 0«

−

+

+

x+3

«х=0, 5

2x+1

+

-0, 5

−

-3

−

A={0, 5}

|x+3|-|2x+1|≤ x+4

 

 

« ®

B=R

Ответ: a)C=R; b)D=A={0, 5}; c)E=∅

Пример 18

Дано: A={xÎ R| |6x²-14x+18, 8|-x²-9=0}; B={xÎ R| }

Найти: А∪ В.

Решение:

|6x²-14x+18, 8|-x²-9=0 « «

« ®

A={1, 4}

« ³ 0 « «

B=(-∞; -0, 2]∪ [0, 2; √ 3/2)∪ (√ 3/2; +∞ )

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: