СОВМЕСТНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

 

Цель занятия. Знать совместный закон распределения двух случайных величин. Уметь решать задачи на теоремы о повторении опытов.

Учебные вопросы:

1.Совместный закон распределения двух случайных величин

 

Совместный закон распределения двух случайных величин

Пример. В двух урнах содержатся шары, по 6 шаров в каждой. В первой урне один шар с №1, два шара с №2, три шара с №3; во второй урне два шара с №1, три шара с №2 и один шар с номером №3. Рассматриваются случайные величины:

x₁ – номер шара, извлеченного из первой урны,

x₂ – номер шара, извлеченного из второй урны.

Из каждой урны извлекли по шару. Найти закон распределения случайной точки (x₁, x₂) и ее числовые характеристики.

 

решение.Закон распределения случайной точки (x₁, x₂) имеет вид:

 

x2 x1					Вероятности pij вычисляются следующим образом: p11 = P (x1 =1 и x2 = 1) = Р(x1 =1) · Р(x2 = 1) = = = ;   p22 = P (x1 =2 и x2 = 2) = Р(x1 =2) · Р(x2 = 2) = = = .

По закону распределения случайной точки (x₁, x₂) можно составить законы распределения случайных величин x₁ и x₂.

x₁ : , x₂ : .

;

.

Имеем:

x₁ : , x₂ : .

;

;

;

;

.

; .

Коэффициент корреляции найдем по формуле

.

Имеем

.

Тогда .

Этот результат можно предвидеть, так как x₁ и x₂ независимы из условия.

 

 

Пример. Ниже приведены данные о заработной плате работников определенной отрасли. Было обследовано 100 человек.

 

Зарплата в долларах	190-192	192-194	194-196	196-198	198-200	200-202	202-204	204-206	206-208
Число человек (ni)

 

Пусть случайная величина ξ – зарплата наугад взятого работника. Требуется для случайной величины ξ:

1. Составить выборочное распределение.

2. Построить гистограмму и график выборочной функции распределения.

3. Найти состоятельные и несмещенные оценки математического ожидания и дисперсии.

4. Построить доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии с уровнем доверия р=0, 95.

5. На основании анализа формы полученной гистограммы выдвинуть гипотезу о законе распределения и проверить справедливость гипотезы по критерию Пирсона с уровнем значимости α =0, 05.

 

Решение:

1. Составим таблиц. Учитывая, что объем выборки n = 100, получим:

190-192	192-194	194-196	196-198	198-200	200-202	202-204	204-206	206-208

 

 

2. Построим гистограмму (рис.1):

 

Рис.1. Гистограмма выборочной функции распределения.

 

Для построения графика выборочной функции распределения (см. рис.2) составим таблицу 2:

 

191								207

 

Рис.2. График выборочной функции распределения.

 

 

3. Найдем оценки математического ожидания а^* и дисперсии D^*.

Если в качестве элементов выборки взять середины интервалов β _i, i=1, 2, …, m, тогда получаем:

где n_i – частоты попадания в интервал (даны в условии).

Тогда получим:

4. Построим доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии.

С р = 0, 95 имеют место интервальные оценки:

По таблице квантилей (IV, V) найдем:

t_{0, 975}(99)=1, 99;

Подставляя эти значения, получим:

с вероятностью 0, 95 верны неравенства

5. Построенная гистограмма по форме напоминает график плотности вероятности нормального распределения. Поэтому естественно выдвинуть гипотезу о нормальном распределении случайной величины ξ. Проверим справедливость выдвинутой гипотезы по критерию Пирсона с уровнем значимости α =0, 05. Тогда гипотетическая функция распределения случайной величины ξ имеет вид:

.

Далее используем правило проверки гипотезы.

1) Вычисляем квантиль

Имеем р=1-α =0, 95, m=9, l=2.

По таблице IV приложения находим

2) вычисляем Z_выб. Для этого удобно результаты вычислений вносить в следующую таблицу

 

Рк	0, 002	0, 0512	0, 1158	0, 2099	0, 2548	0, 2058	0, 1106	0, 0395	0, 0094

 

Вероятности попадания р_i в интервалы будем вычислять по формуле

Было получено а^*=198, 96, σ ^*=3, 07.

 

 

3. Окончательно имеем

Z_выб=4, 151< 12, 6=

что означает: гипотезу о нормальном распределении случайной величины ξ принимаем.

 

Задачи для самостоятельного решения.

В приведенных ниже задачах на основе заданного распределения случайной точки (ξ ₁, ξ ₂) найти:

1) одномерные законы распределения случайных величин ξ ₁, ξ ₂ и их числовые характеристики;

2) коэффициент корреляции случайных величин ξ ₁, ξ ₂.

 

Вариант	Числовые характеристики	Вариант	Числовые характеристики
	ξ 2 ξ 1					ξ 2 ξ 1
	0, 16	0, 10	0, 28		0, 16	0, 10	0, 28
	0, 14	0, 20	0, 12		0, 14	0, 20	0, 12
	ξ 2 ξ 1					ξ 2 ξ 1
	0, 06	0, 18	0, 24		0, 12	0, 13	0, 24
	0, 12	0, 13	0, 27		0, 18	0, 06	0, 27
	ξ 2 ξ 1					ξ 2 ξ 1
	0, 12	0, 24	0, 22		0, 06	0, 18	0, 24
	0, 20	0, 15	0, 07		0, 12	0, 13	0, 27
	ξ 2 ξ 1					ξ 2 ξ 1
	0, 16	0, 10	0, 28		0, 12	0, 13	0, 24
	0, 14	0, 20	0, 12		0, 18	0, 06	0, 27
	ξ 2 ξ 1					ξ 2 ξ 1
	0, 06	0, 18	0, 24		0, 13	0, 24	0, 12
	0, 12	0, 13	0, 27		0, 18	0, 06	0, 27

 

 

МОДУЛЬ 2. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

Практическое занятие № 3

ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ.

ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ.

 

Цель занятия. Уметь находить точечные и интервальные оценки. Решать задачи по проверке параметрических гипотез.

Учебные вопросы:

1. Нахождение точечных и интервальных оценок.

2. Решение задач по проверке параметрических гипотез.

 

⇐ Предыдущая891011121314151617Следующая ⇒

Поделиться: