Теоремы о диф-ии сложной ф-ии 2-ух перем.

Теоремы о диф-ии сложной ф-ии 2-ух перем.

Теорема.Если функция y=f(x) имеет обратную функцию x=g(y) и в точке х₀ производная f¢ (x) не равна нулю, то обратная функция g(y) диффернцируема в точке у₀=f(x₀) и g¢ (y₀)=1/f(x₀) или x¢ _y=1/y¢ _x.

Доказательство.

Пусть а=f¢ (x₀). Тогда из дифференцируемости f(x) в х₀ следует, что приращение Dу= f(x₀+Dх) - f(x₀) можно представить в виде Dу=аDх+аDх=(а+а) Dх, где а=а(Dх)®0 при Dх®0. Так как а не равно нулю, то отсюда следует, что Dх®0, когда Dу®0. Имеем

g¢ (y₀)= lim g(y+Dy)-g(y₀) = lim Dx =lim ì Dyü ^-1 = 1.

^Dy®0 Dy ^Dy®0 Dy ^Dy®0 î Dxþ f¢ (x₀)

 

Теорема.Если функция у=f(x) дифференцируема в точке t₀ и g(t₀)=x₀, то сложная функция y=f(g(x)) также дифференцируема в t₀ и выполняется следующая формула: d f(g(t))/dt|_t=to=f¢ (x₀)_*g¢ (t₀) или y¢ _t=y¢ _x*x¢ _t.

Доказательство.

Функция y=f(x) дифференцируема в точке х₀, поэтому её приращение можно представить как Dy=f¢ (x₀)+a(Dx)_*Dx. Где Dx®0 при Dt®0 поскольку функция g(t) непрерывна (следствие дифференцируемости) в точке t₀. Так как а(Dx)®0 при Dx ®0 и при Dt®0. Поэтому

d f(g(t))|_t=to=lim (f¢ (x₀)) Dx +a(Dx) Dx =

dt ^Dt®0 Dt Dt

=f¢ (x₀)g¢ (t₀)+0_*g¢ (t₀)= f¢ (x₀)g¢ (t₀).

 

7.Понятие неопр. Интеграла. Таблица инт-ов. Если на ф-ю y=F(x) подейст-ть оператором диференц-я, то будет найдена 1-я произв. ф-ии. Однако можно произвести обр-ю процедуру с помощью интегрир-я. Эта процедура обзнач-ся символом неопр. Инт-ла , где f(x) поинт. ф-я, f(x)dx подинт. выраж. Для ф-ии y=f(x), ф-я F(x) наз-ся первообр., если F`(x)=f(x). Для одной ф-ии может быть найдено мн-во первообр, к-е будут отлич-ся друг от др. произв. конст. Неопр. Инт. Ф-и f(x) восстан-ет всевозможн. первообр. для f(x).

Свойства неопределенного интеграла.

1. (ò f(х)dх)'= f(х)

2. dò f(х)dх)'=f(х)dх

3. ò dF(х)=F(х)+С

4.ò kf(х)dх=kò f(х)dх, k¹ 0.

5.ò (f(х)±g(х))dх= ò f(х)dх±ò g(х))

Метод замены переменной или метод подстановки

∫ f(x)dx, x Î D

Пусть x = φ (t), t Î T, φ (t) – дифференцируема на T и имеет обратную функцию

Докажем, что ∫ f(x)dx = ∫ f(φ (t)) • φ ’(t)dt, т. е. докажем, что ∫ f(x)dx – первообразная f(φ (t))•φ ’(t)

(∫ f(x)dx)_t’(по правилу дифференцирования сложной функции) = (∫ f(x)dx)_x’ • x’_t = f(x)•φ ’(t) = f(φ (t))•φ ’(t)

∫ f(x)dx = ∫ f(φ (t)) • φ ’(t)dt – формула замены переменной в неопределенном интеграле

Метод интегрирования по частям

Пусть u = u(x), v = v(x) – дифференцируемы на D

d(u•v) = du•v + u•dv Þ ∫ d(u•v) = ∫ du•v + ∫ u•dv Þ u•v = ∫ v•du + ∫ u•dv Þ

∫ u•dv = u•v - ∫ v•du – формула интегрирования по частям

Применение данной формулы:

1. P_n (x)•φ (x)dx; P_n (x) – многочлен n-ой степени

а) φ (x) = sin ax u = P_n (x); dv = φ (x)dx

cos ax

e^Kx

b) φ (x) = обратные тригонометрические функции u = φ (x); dv = P_n (x)dx

log_ax

2. e^kx•sin ax dx в этом случае любой из множителей можно принять

e^kx•cos ax dx за u

10. Интегрирование по частям. Пусть ф-я u и v, а также их произв-е явл-ся дифференц-ми ф-ми, тогда .

Интегрирование иррациональных и трансцендентных функций.

Трансцендентная функция – аналитическая функция, не являющаяся алгебраической. (Напр, показательная ф-я тригонометрической функции.)

ò R(x, x^m1/n1, …x^mk/nk)dx, где R – рациональная функция от х и её дробных степеней. Такой интеграл может быть решён с помощью замены степени с дробным показателем на степень функции с целым показателем. (подробнее см. в лекциях)

________

ò R(x, Ö Ax²+Bx+C )dx Под корнем выделяется полный квадрат и решается с помощью замены переменной. . _________ .

ò dx/Ö Ax²+Bx+C, ò Ö Ax²+Bx+C dx

 

13. Интегралы от ф-ий, содер-их квадратный трёхчлен. Инт-лы вида можно свести к табличн. путём выделения полного квадрата в квадратн. трёхчлене. = = .Для нахожд-я инт. вида в числит. выделяют производную квадратного трёхчлена, стоящего под знаком корня, затем раскладываю инт-л на сумму 2-х инт-ов, один их к-х табл-й, а др. вида . .

Интегрирование рациональных дробей

1. Многочленом степени n наз-ся выражение вида a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ=P_n(x)

Рациональной дробью наз-ют отношение двух многочленов вида При n=0 вычисление интеграла никаких трудностей не представляет

Интерес представляют рациональные дроби, у кот. n> 0 При этом будем рассматривать дроби, у кот. m< n Если m> =n, то применяют процедуру деления многочленов уголком

2. Интегрирование простейших дробей

I. x-a=t dx=dt

II. x-a=t dx=dt

 

 

Интегрирование тригонометрических выражений

Св-ва опред интеграла

Оценки интегралов

1. Если то

2.

3. Если

Теорема о среднем

Первая теорема о среднем

( - среднее значение функции).

Если f непрерывна, то

Вторая теорема о среднем

Если f, g непрерывны, а g не меняет знак, то

Формула Бонне

(g монотонна).

21.Теор. об инт. С перем. Верх. Пред. Произв-я опр. инт-ла от непрерывн. ф-ии по верхнему пределу = знач. подинт. ф-ии.

23.

(*)

Доказательство: Поскольку функция f(х) непрерывна на отрезке [а, b], то она интегрируема на этом отрезке и имеет первообразную на этом отрезке. Проверим справедливость формулы (*). Действительно, подставляя х=b, получим, а подставляя х=а, получим

24.

 

поэтому

Если F(х) – другая первообразная для функции f(х), то выполняется равенство F(х)= Ф(х)+С.

Имеем F(b)-F(a)=(Ф(b)+C)-(Ф(а)+С)=Ф(b)-Ф(а)

что завершает доказательство формулы (*).

Разность F(b)-F(a) часто записывают в виде

и формула Ньютона-Лейбница в этом случае принимает следующий вид:

(**)

 

Мы доказали формулу для случая, когда f(х) непрерывная на [а, b] функция. В действительности эта формула справедлива для любой функции f(х), имеющей первообразную F(x)/

Формулу (**) обычно называют основной формулой интегрального исчисления. она позволяет сводить нахождение определенного интеграла к нахождению первообразной.

 

23.Замена перемен. в опр. инт-ле: пусть ф-ия x= определена непрерывно, диф-мо и монотон. на отр-ке , , и ф-я f(x) непрер-на на отр. , тогда . Если u(x), v(x) непрер диф ф-ии, то ….

 

25. НИ1 -это опр инт-л от непереывн ф-ии на бесконеч отр-ке интегрир-я. Бескон отр инт-я может быть 3-ёх видов 1. 2. 3. . По опред-ю НИ1 это предел от опред инт-ла . На 1-ом этапе вычисл опр инт от а до в по ф-ле Н-Л, на 2-ом предел получ-ой ф-ии зависящей от b, т.к. это этап вычисл-я пред-ла, то от его реализ-ии зависит ответ. Если получено число, то НИ1 сходится к этому числу; если то расх-ся.

26.НИ2 -это опр инт-л от ф-ии, имеющей разрыв 2-го рода на конечн отр-ке инт-ия. Если т-ка разрыва 2-го рода совпала с левым концом инт-ия, то . Если т-ка раз-ва 2-го рода совпала с левой границей инт-ия(т. b), то если т. разрыва попала в к-ую-либо точку с, то

27.Понятие ДУ1.Общ и част решение. Ур-е вида f(x, y, y`)=0 наз-ют обыкновенным ДУ1. Общ реш ДУ1 наз-ся ф-ия , к-я зависит от одного произвол. постоянного С и удовлетв условиям: а)она удовл-т ДУ при любом конкр. знач. С. б) каково бы ни было нач усл-е y=Yo при x=Xo, можно найти такое знач с=Со, что ф-я y= удовл-ет данному нач усл-ю. частным реш наз-ся любая ф-ия y= , к-я получ-ся из общ реш-я y= , если в последнем произвол-му постоян-му С придать опред. знач с=Со.

 

28.ДУ с раздел-ся перемен. этоУр-е вида y`= . Метод их решения состоит в нахождении множителя для преобразов-е в ур-е с разделёнными переменными. 28. ДУ с разделяющимися переменными. Пример.

Общие решения:

Пример:

 

29.Геометрич. интерпретация общ. реш и решения задачи Коши. Задача Коши означ-т, что из мн-ва кривых мы должны выбрать одну единственную, проходящую через Мо(Xo, Yo). На практике в прикладных задачах треб-ся решить ни одно ДУ, а т.н. задачу Коши – сов-ть ДУ и нач условий. ЗК=ДУ+НУ. Решить ЗК –значит найти ф-ю удовлетв-щую одновременно и ДУ1 и НУ.

ДУ 1го порядка

Имеют вид: y’=f(x, y) (1) F(x, y, y’)=0 (2)

1) y’=f(x) dy/dx=f(x)

dy=f(x)dx ò dy=ò f(x)dx y=ò f(x)dx

2) y’=f(y) dy/dx=f(y)

3) f(x)dx=f(y)dy ДУ с разделенными переменными ò f(x)dx=ò f(y)dy

4)y’=f(x)gy или M(x)N(y)d(x)=K(x)L(y)d(y) ДУ с разделяющимися переменными Ур-е вида (4) реш по схеме:

d(y)/d(x)=f(x)gy

d(y)/g(x)=f(x)d(x)

M(x)d(x)/K(x)=L(y)d(y)/N(y)

5) y’=g(y/x) однородное ДУ 1го порядка(ф-ция вида f(α x, α y)=α ^kg(x, y) наз однор ф-ция k-того порядка, α ЄR) реш с помощью подстановки

z=y/x y=zx y’=z’_xx+z

z’x+z=g(z) d(z)/(g(z)-z)=d(x)/x

6)y’=f(ax+by) приводится к ур-ю вида (4) путем замены z=ax+by

Признак Даламбера и Коши

Признак Даламбера:

Пусть задан ряд и сущ , тогда если l< 1, ряд сх-ся, l> 1, ряд расх-ся, l=1,? Признак Коши: Пусть задан и сущ , тогда если

l< 1, ряд сх-ся

l> 1, ряд расх-ся

l=1, ?

Понятие ряда. Классификация рядов. Примеры.

Числовым рядом наз-ся бесконечная последовательность чисел, соединенная знаком сложения: а1+а2+…+ак +…=∑ _к=1^∞ ак.

Где а1, …, ак- члены числового ряда

Введем след. Обозначения: Sк = ∑ _к=1^каi = а1+а2+…+ак - n-ая частичная сумма числового ряда: к=1, то Sк=а1, к=2, то Sк=а1+а2, …к: Sк = а1+а2+…+ак, т.е. видно, что частичная сумма образует числ. Последовательность.

Числ ряд наз сходящимся, и его сумма в этом случае будет равна S, если сущ-т конечные предел последовательности частичных сумм, котрый равен S: LimSk=S, k→ ∞. В противном случае числ ряд расходится.

 

40.Интегральный признак Коши :

Пусть задан ряд , члены кот положит и не возр-т, т.е. , а ф-я f(x) непрер, невозраст на [1; ∞ )

f(1)=a1, f(2)=a2…f(n)=an

Тогда сх-ся или расх-ся одновр-но.

 

 

Теоремы о диф-ии сложной ф-ии 2-ух перем.

Теорема.Если функция y=f(x) имеет обратную функцию x=g(y) и в точке х₀ производная f¢ (x) не равна нулю, то обратная функция g(y) диффернцируема в точке у₀=f(x₀) и g¢ (y₀)=1/f(x₀) или x¢ _y=1/y¢ _x.

Доказательство.

Пусть а=f¢ (x₀). Тогда из дифференцируемости f(x) в х₀ следует, что приращение Dу= f(x₀+Dх) - f(x₀) можно представить в виде Dу=аDх+аDх=(а+а) Dх, где а=а(Dх)®0 при Dх®0. Так как а не равно нулю, то отсюда следует, что Dх®0, когда Dу®0. Имеем

g¢ (y₀)= lim g(y+Dy)-g(y₀) = lim Dx =lim ì Dyü ^-1 = 1.

^Dy®0 Dy ^Dy®0 Dy ^Dy®0 î Dxþ f¢ (x₀)

 

Теорема.Если функция у=f(x) дифференцируема в точке t₀ и g(t₀)=x₀, то сложная функция y=f(g(x)) также дифференцируема в t₀ и выполняется следующая формула: d f(g(t))/dt|_t=to=f¢ (x₀)_*g¢ (t₀) или y¢ _t=y¢ _x*x¢ _t.

Доказательство.

Функция y=f(x) дифференцируема в точке х₀, поэтому её приращение можно представить как Dy=f¢ (x₀)+a(Dx)_*Dx. Где Dx®0 при Dt®0 поскольку функция g(t) непрерывна (следствие дифференцируемости) в точке t₀. Так как а(Dx)®0 при Dx ®0 и при Dt®0. Поэтому

d f(g(t))|_t=to=lim (f¢ (x₀)) Dx +a(Dx) Dx =

dt ^Dt®0 Dt Dt

=f¢ (x₀)g¢ (t₀)+0_*g¢ (t₀)= f¢ (x₀)g¢ (t₀).

 

7.Понятие неопр. Интеграла. Таблица инт-ов. Если на ф-ю y=F(x) подейст-ть оператором диференц-я, то будет найдена 1-я произв. ф-ии. Однако можно произвести обр-ю процедуру с помощью интегрир-я. Эта процедура обзнач-ся символом неопр. Инт-ла , где f(x) поинт. ф-я, f(x)dx подинт. выраж. Для ф-ии y=f(x), ф-я F(x) наз-ся первообр., если F`(x)=f(x). Для одной ф-ии может быть найдено мн-во первообр, к-е будут отлич-ся друг от др. произв. конст. Неопр. Инт. Ф-и f(x) восстан-ет всевозможн. первообр. для f(x).

123Следующая ⇒

Поделиться: