Предел функции, теорема существования предела функции.

 

Функция имеет предел в точке , предельной для области определения функции , если для каждой окрестности предела существует проколотая окрестность точки , образ которой при отображении является подмножеством заданной окрестности точки .

Определения

Рассмотрим функцию , определённую на некотором множестве , которое имеет предельную точку (которая, в свою очередь, не обязана ему принадлежать).

Предел функции по Гейне

Значение называется пределом ( предельным значением ) функции в точке , если для любой последовательности точек , сходящейся к , но не содержащей в качестве одного из своих элементов (то есть в проколотой окрестности ), последовательность значений функции сходится к

Предел функции по Коши

Значение называется пределом ( предельным значением ) функции в точке , если для любого наперёд взятого положительного числа ε найдётся отвечающее ему положительное число такое, что для всех аргументов , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство

Окрестностное определение по Коши

Значение называется пределом ( предельным значением ) функции в точке , если для любой окрестности точки существует выколотая окрестность точки такая, что образ этой окрестности лежит в . Фундаментальное обоснование данного определения предела можно найти в статье Предел вдоль фильтра.

Теорема. Для того, чтобы при x стремящимся к a существовал конечный , необходимо и достаточно, чтобы

.

 

Бесконечно малые и бесконечно большие функции

 

Бесконечно малые функции

Функция f (x) называется бесконечно малой функцией в точке х = х₀, если

Аналогично определяются бесконечно малые функции при x → ∞, x → + ∞, x → – ∞, x → x₀ – 0, x → x₀ + 0.
Можно дать равносильное определение бесконечно малой функции «на языке ε – δ: функция f (x) называется бесконечно малой в точке х = х₀, если для любого как угодно малого ε > 0 существует δ = δ (ε ) > 0, такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенству 0 < | х – x₀ | < δ, выполняется неравенство | f (x) | < ε. Или в символьном виде
( ε > 0) ( δ = δ (ε ) > 0)( 0 < |х – х₀| < δ ): | f (x) | < ε.

Имеет место следующая теорема: функция f (x) в окрестности точки х₀ отличается от своего предельного значения A на бесконечно малую функцию.
Доказательство. Пусть

Рассмотрим разность f (x) – А = α (х). Так как

,

то функция α (х) является бесконечно малой при x → х₀.

Свойства бесконечно малых функций

1) Сумма фиксированного числа бесконечно малых функций при х®а тоже бесконечно малая функция при х®а.

2) Произведение фиксированного числа бесконечно малых функций при х®а тоже бесконечно малая функция при х®а.

3) Произведение бесконечно малой функции на функцию, ограниченную вблизи точки х = а является бесконечно малой функцией при х®а.

4) Частное от деления бесконечно малой функции на функцию, предел которой не равен нулю есть величина бесконечно малая.

 

Бесконечно большие функции

Функция f (x) называется бесконечно большой функцией в точке х = x₀ (или x → x₀), если для любого как угодно большого положительного числа K > 0 существует δ = δ (K) > 0, такое, что для всех х, удовлетворяющих условию 0 < | x – х₀ | < δ , выполняется неравенство | f (x) | > К.
В этом случае пишут

и говорят, что функция стремится к бесконечности при х → х₀, или что она имеет бесконечный предел в точке х = х₀. Если же в определении выполняется неравенство f (x) > K (f (x) < – K), то пишут

или

и говорят, что функция имеет в точке х₀ бесконечный предел, равный + ∞ (– ∞ ).
По аналогии с конечными односторонними пределами определяются и бесконечные односторонние пределы:

, , , .

Так, например, пишут если для любого как угодно большого положительного числа K > 0 существует δ = δ (K) > 0, такое, что для всех х, удовлетворяющих условию х₀ < x < х₀ + δ , выполняется неравенство f (x) > К. Или в символической записи

( K > 0) ( δ = δ (K)> 0)( x₀ < х < x₀+δ ): f (x) > K.

 

Связь между бесконечно большой и бесконечно малой функциями

Если f (x) — бесконечно большая функция, то есть бесконечно малая функция в этой же точке.
В самом деле, пусть , это означает, что

( K > 0) ( δ = δ (K)> 0) ( 0 < | x - x₀ | < δ ): | f (x) | > K.

Так как |f (x)| > K, то .
Будем считать, что , тогда

( ε > 0) ( δ = δ (ε )> 0) ( 0 < | x - x₀ | < δ ): 1/| f (x)| < ε .

Это означает, что .

⇐ Предыдущая123456Следующая ⇒

Поделиться: