Сходящ. послед.имеет только 1 предел

Сходящ. послед.имеет только 1 предел

Сходящ. послед.ограничена

4)Пусть =a и =b, тогда

(b )

4. Предел функции в точке. Односторонние пределы.Число b наз. пределом функции f в точке х=а(или при х а), если для любой последовательности { }, сходящейся к а, соответствующая последовательность значений функции { f( } сходится к b.

Для обозначения функции f в точке х=а используется запись =b – определение предела функции по Гейне.

Односторонние пределы

Число b наз. правым пределом в точке х=а, если для любой сходящейся к а последовательности { }, члены кот.больше или равны а, соответствующая последовательность { f( } сходится к b, обозначается: =b.

Число b наз. левым пределом в точке х=а, если для любой сходящейся к а последовательности { }, члены кот.меньше или равны а, соответствующая последовательность { f( } сходится к b, обозначается: =b.
правый и левый предел функции в точке наз. односторонними. В случае, когда а=0, исп. Обозначение: , .
Очевидно, если сущ-ет =b, то сущ-ет и оба односторонних предела, причём b совпадает с ними.

Справедливо и обратное утверждение: если сущ-ют оба односторонних предела и они равны, то сущ-ет предел =b и при этом b= f(a-0)= f(a+0). Если же односторонние пределы не равны, т.е. f(a-0) f(a+0), то и предел не сущ-ет.

5. Предел ф-ции при x . Св-ва предела ф-ции.

Число bназ.пределомf(x) при x- если для любой бесконеч.большой последоват.Хn соответствующ. последовател.знач.ф-ции f{(хn)} сходятся к b и обознач.limf(х)=b.Ф-ция наз.бесконеч.малой при х-а асли предел limf(х)=0.Ф-ция наз.бесконеч. большой при х-а, еслиlimf(х)= .Св-ва: 1)Предел (сум./раз.)= (сумб/раз) пределаlim(f(х)+- (х)= limf(х)+-lim (х).След-е1 Ф-ция может иметь только 1 предел в т.х=а.2)предел произвед.2-х ф-ций=произвед.их пределов lim(f(х)* (х))=lim

f(х)*lim (х).След-е2 а)постоян. множитель можно вынасить за знак предела.б)предел степени с натурал.показателем=той же степени предела.3)предел дроби=пределу чеслителя деленному на предел знаменат., если предел знамен.не равен 0. limf(х)/ (х)= f(х)/lim (х). Прав.Лопиталя-м-д нахождения пределов ф-ий, раскрывающий неопределённости вида0/0 и . Обосновывающая м-д теорема утверждает, что при некоторых усл. предел отношения ф-ий =пределу отношения их производных.

6. Непрерывность функции. Пусть ф.f(x) определена в некоторой окрестности точки x=a. Ф-ция f(x) назыв непрерывной в точке а, если (1). Равенство (1) означает выполнение трёх условий: 1. Ф. f(x) определена в точке х=а и в некоторой её окрестности; 2. Ф. f(x) имеет предел при х→ а; 3. Предел ф-ии f(x) в точке а равен значению ф-ии в этой точке. Т.к. =а, то рав-во (1) можно записать в виде . Это означает, что при нахождении предела непрерывной ф. f(x) можно перейти к пределу под знаком ф-ии, т.е. в ф-ию f(x) вместо аргумента х можно подставить его предельное значение.Опр. Если , то ф. f(x) наз. непрерывной в точке а справа, если , то- непрерывной в точке а слева. Для того, чтобы функция f(x) была непрерывной в точке а, необходимо и достаточно чтобы она была непрерывной в этой точке слева и справа. Приведём ещё одно определение функции, непрерывной в точке а. Равенство (1) равносильно: . если учесть, что соотношения х→ а и (х-а)→ 0 также равносильны, то получим, что условие непрерывности ф. f(x) в точке а записывается в виде (2). опр. Разность х-а назывприрощением независимой переменной х в точке а и обозначают через Δ х, Δ х=х-а, а разность f(x)-f(a) – приращением функции f(x) в точке а и обозначают Δ y=f(x)-f(а).теперь условие (2) можно записать: (3). Заметим здесь, что х=а +Δ х и f(a+Δ х)=f(a)+Δ y. Тогда новое определение непрерывности функции: ф. f(x) назыв непрерывной в точке а, если её приращение в этой точке есть бесконечно малая функция.

Опр. Ф. f(x) назыв непрерывной на интервале (а; в), если она непрерывна в каждой точке хϵ (а; в). Если же, кроме того, функция f(x) непрерывна в точке а слева, а в точке в – справа, то функция f(x) назыв непрерывной на отрезке [a; в]. Опр. Ф. f(x) назыв кусочно-непрерывной на отрезке [a; в], если она непрерывна во всех внутренних точках [a; в], за исключением конечного числа точек, в которых она имеет разрывы первого рода, а в точках а и в имеет соответствующие односторонние пределы

8. Понятие производной ф-ции. Геом. смысл производной.пусть функция y=f(x) определена и непрерывна в окрестности точки x=a. если независимой переменной x придать приращения ∆ x в этой точке, то функция получит приращение ∆ y=f(a+∆ x)-f(a). Если приращение ∆ x→ 0 то определению непрерывной в точке x=a функции ∆ y→ 0. С целью исследования скорости изменения значений функции вводится понятие производной и определение – производная функция y=f(x) в точке x=a- предел отношения приращения функции в точке x=a к приращению аргумента если ∆ x→ 0.обозначают f'(a), y'(a). Согласно определению (1) операция нахождения производной – дифференцирование. Теорема: если функция y=f(x) в точке x имеет производную, то она непрерывна в этой точке.

Геометрический смысл: пусть y=f(x) определена на интервале (a; b) и пусть кривая AB-график этой функции. Пусть точка М (x₀; f(x₀))-произвольная точка графика. Придадим аргументу x₀ приращение ∆ x. Соответствующую точку на графике обозначим через Р(x₀+∆ x; f(x₀+∆ x)). Через точки М и Р построим секущую.найдём угловой коэффициент секущей. Понятно, что k=tg NMP=∆ f/∆ x. если точку Р устремить по кривой к точке М то положение секущей МР будет изменяться. Если ∆ x→ 0 и существует предельное положение секущей, то полученная прямая называется касательной к графику функции y=f(x) в точке x₀. Понятно, сто условием существования предельного положения секущей является существование предела k_кас=LimΔ x→ 0∆ f/∆ x=LimΔ x→ 0k_∆_x=f'(x₀) график функции имеет касательную в точке x₀тогда и только тогда, когда функция дифференцируема в этой точке и f'(x₀)-угловой коэффициент касательной. Тогда уравнение касательной в точке М₀(x₀; y₀) – y-y₀= f'(x₀)(x-x₀) (2) прямая проходящая через точку (x₀; y₀) и перпендикулярная касательной – нормаль к графику функции, и учитывая условия перпендикулярности двух прямых и формулу(2) имеет вид: y-y₀=(-1/ f'(x₀))* (x-x₀) если f'(x₀)=0, то уравнение нормали: x=x₀

7. Точки разрыва ф-ции. точка а – точка разрыва f(x) если f(x) не является непрерывной в этой точке.если x=a – точка разрыва y=f(x) то в ней не выполняется по крайней мере одно из условий 1-ого определения непрерывности функции а именно: 1. Функция определена в некоторой окрестности точки а, но не определена в самой точке а. 2. Функция определена в точке а и её окрестности но не существует limx→ a f(x). 3. Функция определена в точке а и её окрестности и существует limx→ a f(x) но он ≠ f(a). Точка а – точка разрыва 1-ого рода функции y=f(x) если в этой точке существуют конечные односторонние пределы функции т.е. limx→ a-0 f(x)=А1, limx→ a+0 f(x)=А2 при этом: а) если А1=А2 то точка а – точка устранимого разрыва. б)если А1≠ А2 то точка а – точка конечного разрыва значения (А1-А2)- скачок функции в точке разрыва x=a. Точка а – точка разрыва 2-ого рода y=f(x) если по крайней мере 1 из односторонних пределов не существует.

9. Физический смысл производной. Правило дифференцирования.Пусть некоторая материальная точка m движется прямолинейно и и задан з-н его движ. s=s(t) т.е известен путь которая прошла точка m от некоторой начальной точки отсчёта в момент вр.(t). Тогда в момент вр.(to)точка пройдёт расстояние s(to), а в момент вр. to+^t- расстояние s((to)+(^t)) за промежуток вр. ^t точка пройдёт расстояние ^s=s(to+^t)-s(to). Отношение ^s/^t можно рассм.как среднюю скорость движ. на промежутке вр.to; (to+^t). И чем меньше промежуток вр. ^t, тем точнее соотв. средняя скорость будет х-тьдвиж. точки в момент вр. to. Поэтому предел средней скорости движ. при ^t=0 наз. скоростью движ. точки m в момент вр.(to). И обознач. v(to)

V(to)=lims(to+^t)-s(t0)/^t=s’(to) Таким образом, скорость движ. в момент вр.to есть производная пути по вр.

Правило дифференцирования

Если функция u=u(x) и v=v(x) имеет производные в точке x, то сумма, разность, произведение и частное этих функции также имеет произв. В данной точке. (u+-v)’=u’+-v’; (uv’)=u’v+v’u; (u/v)’=u’v-v’u/v2

Утверждение. Если ф-цияy=f(x) строго монотонна и непрерывна в некоторой окрестности точки xo, имеем производную в точке xo и f’(xo)не равно нулю, то обратная ф-цияx=f-1(y) имеет в соотв.точкеyo, yo=f(xo), причём (f-1)(yo)=1/f’(xo)

Утверждение. Если ф-цияu=m(x) имеет в точке xo произвольную, а ф-цияy=f(u) имеет соотв.точки (uo=m(xo)), производную f’(uo), то сложная ф-цияy=f(m(x)) имеет произв.в точке xo и справедлива формула:

y’(xo)=f’(uo)m’(xo)

10.Производная сложной функции. Логарифмическая производная. Таблица производных. Если функция u=Ф(x) имеет в т.X 0 производную y=f(u), а функция имеет в соотв. Точке

u 0 =Ф(X 0)производную f’(ф0), то сложная функция y=f(Ф(x)) имеет производную в точке X 0 и справедлива формула: y’(X 0)=f’(u 0 )*ф’(X 0)

Логарифмическая производная:

Пусть f(x)> 0, тогда рассмотрим функцию y= ln(f(x)). диф-ем эту функцию, как сложную где y= lnu, u=f(x) получим

(ln(f(x)))’=(lnu)’*f’(x)*f’(x)/f(x)

Понятие дифференцируемости функции в точке. Диф. функция. Таблица дифференциалов.

Функция у=f(х) наз. Дифференцируемой в точке х, если ее произведение у в этой точке можно представить в виде: у=А + ( ) (1), где А-некоторое число, ( )-бесконечно малая функция при х 0. Теорема: для того чтобы функция у=f(х) была дифференцируемой в точке х, необходимо и достаточно чтобы она имела в этой точке производную f (х).Пусть функция у=f(х) дифференцируема в точке х.Тогдаприрощение функции может быть записано по формуле (1), где =0.Тогда ( ) -бесконечно малая функцияболее ысокого порядкапо сравнению с А* .Тогда = =0. Поэтому правое слагаемое в формуле (1) явл.главной частью прирощения у при чем она линейная относительно , наз дифференциалом функции у=f(х) в точке х.Для обозначения используют обозначение dy=A , и т.к. А=f (х), то dy= А =f (х)dx (2).Таблица дифференциалов: Согласно формуле(2) можно из табл. Производных получить аналогичную табл. дифференциалов.Так из формулы (uv)᾽ =u᾽ v+uv᾽ умножив обе части на dx получим: (uv)᾽ dx=u᾽ dx*v+u*v᾽ dx. Табл: 1) ; 2) ; 3) ( )᾽ dx= ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) ( )᾽ dx= - ; 9)(tgx)᾽ dx= ; 10)(ctgx)᾽ dx= ; 11)(arcsinx)᾽ dx= ; 12)(arccosx)᾽ dx= - .

12.Геометрический и механический смысл дифференциала. Инвариантность формы диф-лаю таблдиф-лов. Геометрический смысл дифференциала функцииВыясним геометрический смысл дифференциала. Для этого проведём к графику функции у = f (х) в точке М (х; у) касательную МТ и рассмотрим ординату этой касательной для точки х + Δ х (рис. 2). На рисунке АМ = Δ х, АМ1 = Δ у. Из прямоугольного треугольника МАВ имеем: tg α =AB/Δ x, т.е. tg α ⋅ Δ х.Но, согласно геометрическому смыслу производной, tgα = f ′ (х). Поэтому АВ = f ′ (х)⋅ Δ х. Сравнивая полученный результат с формулой получаем dy = АВ, т.е. дифференциал функции у = f (х) в точке х равен приращению ординаты касательной к графику функции в этой точке, когда х получит приращение Δ х.

Табл: 1) ; 2) ; 3) ( dx= ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) ( dx= - ; 9)(tgx dx= ; 10)(ctgx dx= ; 11)(arcsinx dx= ; 12)(arccosx dx= - .

13. Основные теоремы дифференциального исчисления. Теорема Ферма. Пусть функция f определена на интервале (а; b) и в некоторой точке х₀ϵ (а; b) имеет локальный экстремум. Тогда если в точке х₀ существует производная то она равна 0, т.е. f'(x₀)=0. Теорема Ролля. Пусть функция f непрерывна на отрезке [a; b], дифференцируема на интервале (а; b), и на концах отрезка [a; b] принимает равные значения, то есть f(a)=f(b). Тогда существует точка cϵ (а; b), в которой f'(c)=0. Теорема Лагранжа. Если функция f непрерывна на отрезке [a; b], дифференцируема на интервале (а; b), то существует точка cϵ (а; b), такая, что справедлива формула: . Теорема Коши. Если функция f и gнепрерывны на отрезке [a; b], дифференцируема на интервале (а; b), причём g'(x)≠ 0, то существует точка cϵ (а; b), такая, что справедливо равенство: .

14. Исследование функции с помощью производной. 1Найти область определения функции, точки разрыва функции и интервалы непрерывности 2Найти (если это возможно) точки пересечения графика с осями оординат. 3Найти интервалы знакопостоянства функции (промежутки, на которых f (x) > 0 или f (x) < 0). 4Решить вопрос о чётности, нечётности, симметрии, периодичности функции. 5Если есть точки разрыва 2-го рода, найти вертикальные асимптоты. 6Найти, если они есть, наклонные и горизонтальные асимптоты. 7С помощью 1-ой производной найти точки экстремума и области возрастания и убывания 8данной функции. Найти экстремальные значения функции. 9С помощью 2-ой производной найти точки перегиба, области выпуклости и вогнутости. 10Построить график.

15. Понятие первообразной ф-ции. Основной операцией дифференциального исчисления явл. отыскание первообразной заданной функции. Восстановление функции по известной производной этой функции есть одна из задач интегрального исчисления. Функция F(x) наз. первообразной для функции f(x) на некотором промежутке Х, если для любого хϵ Х выполняется F^,(x)=f(x). Утверждение: Если F₁(x)и F₂(x) – 2 первообразные для функции f(x)на промежутке Х, то они отличаются лишь на постоянную, т.е. F₁(x)-F₂(x)=C, где С- некоторая постоянная. Другими словами, если F(x)есть первообразная для функции f(x), то множество функций F(x)+С включает все первообразные для данной функции f(x).Замечание: Ранее было показано, что не все функции, заданные на каком-либо интервале Х=(а; в) имеют первообразную. Аналогично, не всякая функция имеет первообразную.

Интегрир. по частям

Утверждение2: Пусть функции u=u(x) и v=v(x), дифферен. на промежутке Х и пусть существ. . Тогда существ. И справедливо формула 2:

Таблица интегралов:

Таблица интегралов.Интег-ниерац-ных и иррац-ных функций.

Интегрирование рац ф-ций. Определение: Элементарными называются дроби следующих четырех типов:

I. 1/ax+b II. 1/ (ax +b)^m III. Mx+N/(ax2+bx+c) IV. Mx+N/(ax2+bx+c) ⁿm, n – натуральные числа (m ≥ 2, n ≥ 2) и b2 – 4ac < 0. Первые два типа интегралов от элементарных дробей довольно просто приводятся к табличным подстановкой t = ax + b. 1) .

Интегрирование рациональных дробей: Для того, чтобы проинтегрировать рациональную дробь необходимо разложить ее на элементарные дроби. Теорема: Если R(x)=Q(x)/P(x) = - правильная рациональная дробь, знаменатель P(x) которой представлен в виде произведения линейных и квадратичных множителей (отметим, что любой многочлен с действительными коэффициентами может быть представлен в таком виде: P(x) = (x - a)α …(x - b)β (x2 + px + q)λ …(x2 + rx + s)μ ), то эта дробь может быть разложена на элементарные по следующей схеме: где Ai, Bi, Mi, Ni, Ri, Si – некоторые постоянные величины. При интегрировании рациональных дробей прибегают к разложению исходной дроби на элементарные. Для нахождения величин Ai, Bi, Mi, Ni, Ri, Si применяют так называемый метод неопределенных коэффициентов, суть которого состоит в том, что для того, чтобы два многочлена были тождественно равны, необходимо и достаточно, чтобы были равны коэффициенты при одинаковых степенях х. Применение этого метода рассмотрим на конкретном примере.

Таблица: 1)∫ х^αdx=x^α⁺¹/α +1+C; 2)∫ dx/x=ln|x|+c; 3)∫ a^xdx=a^x/lna+c; 4)∫ e^xdx=e^x+c; 5)∫ sinxdx=-cosx+c;

6)∫ cosxdx=sinx+c; 7)∫ dx/cos²x=tgx+c; 8)∫ dx/sin²x=-ctgx+c; 9) ∫ tgxdx=-ln|cosx|+c;

10) ∫ ctgxdx=ln|sinx|+c; 11) ∫ dx/a²+x²=1/a*arctgx/a+c; 12) ∫ dx/x²-a²=1/2a*ln|x-a/x+a|+c;

13) ∫ dx/√ a²-x²=arcsinx/a+c; 14)∫ dx/√ x²±a²=ln|x+√ x²±a²|+c.

Метод трапеций. Приложение определённого интеграла.

Пусть задана ф.f(x)- непрерывная на отрезке [a, b] необходимо вычислить .

Разлбъём отрезок [a, b] на n- равных частичных отрезков точками A=x₀< x₁< …< x_n=b

∆ X_k=X_k-X_k-1=(b-a)/n, k=1; n

Проведя прямыеx= X_k, k=[0; n] всю криволинейную трапецию разобъём на n-частичных криволинейных трапеций.Соединим две соседние точки

( x(k-1); f(x_k_-1)), (x(k); f(x_k)) хордой и рассмотрим n прямоугольных трапеций.

Sk-той трапеции равна .

Приложение опр. интеграла

Из геом смысла определенного интеграла следует, что интервал от a, b
, численно равен Sкриволин. трапеции ограниченной графиком y=f(x), прямыми x=a, x=b, и осью абсцисс (в случае если ф-цияf(x) неотрицательная)

22. Несобственные интегралыОпределённый интеграл называется несобственным, если выполняется, по крайней мере, одно из следующих условий: 1.Предел a или b (или оба предела) являются бесконечными; 2.Функция f(x) имеет одну или несколько точек разрыва внутри отрезка [a, b].Интеграл называется абсолютно сходящимся, если сходится. Если интеграл сходится абсолютно, то он сходится.Интеграл называется условно сходящимся, если сходится, а расходится. Признак Дирихле. Интеграл сходится, если: 1).функция f(x) непрерывна и имеет ограниченную первообразную на (a, b]; 2).функция g(x) непрерывно дифференцируема и монотонна на (a, b], причём. Признак Абеля. Интеграл сходится, если: 1).функция f(x) непрерывна на (a, b] и интеграл сходится; 2).функция g(x) ограничена, непрерывно дифференцируема и монотонна на (a, b], то есть имеет конечный предел:

23.Понятие числового ряда. Пусть {а_n}-числовая послед-ть, где а_n R, n N. Выражение вида а₁+а₂+а₃+…+а_n+…= _n (1) наз.числовымрядом.Числа а₁, а₂, …а_nназ.членамиряда, а а_n-n-м или общим членом ряда (1). Сумма первых n-членов ряда (1) наз. n-ой частичной суммой данного ряда и обознач. S_n: S_n= а₁+а₂+а₃+…+а_n= _к. Имеем S₁=a₁, S₂=a₁+a₂, S₃=a₁ +a₂+a₃, S_n= а₁+а₂+а₃+…+а_n. Рассм.послед-ть частичных сумм ряда (1) S₁, S₂..., S_n. Если послед-ть частичных сумм { S_n } имеет конечный предел S, то числовой ряд (1) наз.сходящимся, а число S наз. Суммой ряда (1): S= _nили _n. Если же предел послед-ти{ S_n } не существует или бесконечен, то ряд (1) наз.расходящимся.Необход.условие сходимости. Если ряд _nсходится, то .

Критерии сходимости числового ряда.Осн. м-ды исследования знакопол. ряда. Теорема 4: для того что бы ряд сходился, необходимо и достаточно что бы последовательность его частичных сумм была ограниченной.

Теорема 5: для сходимости ряда необходимо и достаточно, что бы для любого ε > 0существовалл N(ε ) такой что при всяком натуральном р и всех n> N(ε ) имело место неравенство │ S_n₊_p-Sn│ =│ │ < ε