Тема 1. Аналитическая геометрия на плоскости

Тема 1. Аналитическая геометрия на плоскости

Для решения задач по аналитической геометрии нам понадобятся следующие формулы:

1. Расстояние d между точками и на плоскости: (1)

2. Деление отрезка в данном отношении.

Даны точки и Координаты точки делящей отрезок АВ в отношении определяется по формулам:

В частности, при делении отрезка пополам ( )

(2)

3. Все виды уравнений прямой.

а) уравнение прямой с угловым коэффициентом:

(3а),

где k – угловой коэффициент, b – отрезок на оси Оy, прямая не параллельна оси Оу.

б) уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении:

(3б),

где k - угловой коэффициент, – координаты точки, лежащей на прямой, прямая не параллельна оси Оу.

в) уравнение прямой, проходящей через две данные точки:

= (3в)

и – координаты данных точек, прямая не параллельна осям Ох и Оу;

г) уравнение прямой в отрезках:

(3г)

а – отрезок на Ох, b – отрезок на Оу, прямая не проходит через начало координат;

д) уравнение прямой, параллельной оси Оу:

х = а (3д)

где а – отрезок на Ох;

е) уравнение прямой, параллельной оси Оу:

у = b (3е),

где b – отрезок на Оу;

ж) общее уравнение прямой:

Ах + Ву + С = 0 (3ж)

А и В не равны нулю одновременно.

4. Угол φ, отсчитанный против часовой стрелки от прямой до прямой определяется формулой:

(4)

а) Условие параллельности:

б) Условие перпендикулярности: k₂ =

5. Чтобы найти точку пересечения непараллельных прямых

А₁x + B₁y + С₁= 0 и A₂x + B₂y + С₂= 0, нужно решить совместно их уравнения.

 

Задача 1: Даны координаты вершин треугольника АВС: А(4, 3); В(16, -6); С(20, 16). Найти: 1) длину стороны АВ; 2) уравнения сторон АВ и ВС и их угловые коэффициенты; 3) угол В в радианах с точностью до двух знаков; 4) уравнение СD и ее длину; 5) уравнение медианы АЕ; 6) уравнение прямой, проходящей через точку С параллельно стороне АВ.

 

Решение: 1)Применяя (1), находим длину стороны

AB = = = = 15

2) Подставляя в (3, в) координаты точек А и В, получим уравнение стороны АВ:

= ; = ; =

4у – 12 = – 3х + 12; 3х + 4у – 24 = 0 (АВ)

Решая последнее уравнение относительно у, получим уравнение стороны АВ как уравнение прямой с угловым коэффициентом: 4у = – Зх + 24, у = х + 6, k_AB = –3/4

Подставив в (3в) координаты точек В и С, получим уравнение прямой ВС: = ; = ; =

 

11х – 2у – 188 = 0 (ВС) или у = х – 94, откуда k_BC = 11/2, найдены: k_АВ = –3/4; k_BC = 11/2.

3) Искомый угол В образован прямыми АВ и ВС, угловые коэффициенты которых

tgB = = = = 2

Применяя (4), получим В = 63°26 или В = 1, 11 рад.

4) Высота СD перпендикулярна стороне АВ.

Чтобы найти угловой коэффициент высоты СD, воспользуемся условием перпендикулярности прямых. Так как k_AB = –3/4, то k_CD = 4/3.

Подставив в (3б) координаты точки С и найденный угловой коэффициент 4/3 высоты, получим

(у – 16) = (4/3) (х – 20); 3у – 48 = 4х – 80; 4х – 3у – 32 = 0 (СD).

Чтобы найти длину высоты СD, определим координаты точки D– точки пересечения прямых АВ и СD.

Решая систему , находим х = 8, у = 0, т.е. D(8, 0).

По формуле (1) находим длину СD: СD = = 20

5) Чтобы найти уравнение медианы АЕ, определим координаты точки Е, которая является серединой отрезка ВС. Воспользуемся формулами деления отрезка пополам (2). Следовательно:

x_E = = 18; y_E = = 5; E(18, 5)

Подставив (3в) координаты точек А и Е, находим уравнение медианы:

= ; = ; x – 7y + 17 = 0 (AE)

6) Так как искомая прямая параллельна стороне АВ, то её угловой коэффициент равен угловому коэффициенту прямой АВ. Подставив в (3б) координаты точки С и угловой коэффициент k = –3/4, получим у–16 = (–3/4) (х – 20), 4у – 64 = –3х + 60, 3х + 4у – 124 = 0 (СL)

 

 

Тема 2. Производная функции

 

Производной функции у = f(х) в точке x₀ называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что последнее стремится к нулю.

= =

∆ у = f(х) - f(х₀) - приращение функции, ∆ х = х – х₀ - приращение аргумента.

Обозначается производная:

Символ dу называют дифференциалом функции и вычисляют по формуле:

или

Операция нахождения производной называется дифференцированием функции.

 

Основные правила дифференцирования.

 

Пусть U = U(х) и V = V(х) — функции, дифференцируемые в некоторой точке х₀,

С = сопst (постоянная величина), тогда:

1) C^I = 0

2) (U ± V)^I= U^I ± V^I

3) (U · V) = U^I · V + V^I · U

4) (CU)^I = CU^I

5) =

Таблица производных 1:

1. (хα )I = α · xα -1 xI = 1	7. (cos x)I = -sin x
( )I =	8. (tgx)I =
=	9. (ctgx)I =
2. (ax)I = ax · ln a	10. (arcsin x)I =
3. (ex)I = ex
4. (logax)I =	11. (arccosx)I =
6. (sin x)I = cos x	11. (arccos x)I =
12. (arctgx)I =	13. (arcctgx)I =

 

Производная сложной функции

 

Пусть у ­– сложная функция, т.е. у = f(u), u = g(х), или у = f (g(x)) (f – внешняя функция, g – внутренняя функция).

Производная сложной функции равна произведению производной внешней функции в своей точке на производную внутренней функции.

Для вычисления производной сложной функции применяют таблицу 2.

 

Таблица производных (сложной функции) 2

1. (uα )I = α · uα -1 · uI	9. (ctg u)I =
2. (au)I = au · ln a · uI
3. (eu)I = eu · uI
4. (loga · u)I =	10. (arcsin u)I =
5. (ln u)I =	11. (arcos u)I =
6. (sin u)I = cos u · uI	12. (arctgu)I =
7. (cos u)I = -sin u · uI
8. (tgu)I =	13. (arcctgu)I =

Тема 3. Интеграл

 

Функция F(х) называется первообразной для функции f(х), если F^I(х) = f(х). Всякая непрерывная функция f(х) имеет бесконечное множество первообразных функций, которые отличаются друг от друга на постоянную. Неопределенным интегралом от функции f(х) называется совокупность всех ее первообразных.

 

Обозначают: = F(x)+с

Свойства неопределенного интеграла.

 

1. = f(x) или d = f(x) dx

2. F(x)+c или

3.

т.е. постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.

4. , т.е. неопределенный интеграл от алгебраической суммы равен сумме интегралов.

 

Таблица основных интегралов

1. (α ≠ -1)
2.	3.
4.	5.
6.	7.
8.
9.
10.
11. (формула «длинного» логарифма)
12. (формула «высокого» логарифма)

 

 

Найти интеграл:

Воспользуемся свойствами 3 и 4:

а)

воспользуемся табличными интервалами 1и 2:

 

 

Тема 4. Теория вероятностей

Основы комбинаторики

Факториалом целого положительного числа n (обозначается n! ) называется произведение 1·2·3·...·n = n! По определению 0! =1.

Основной закон комбинаторики. Пусть нужно произвести k действий, причем первое действие можно произвести n₁ способами, второе – n₂способами, ... k-ое – n_k способами. Тогда все действия можно произвести n₁ · n₂ ·... · n_k способами.

Перестановкой из n элементов называется набор из n элементов, расположенных в определенном порядке. Число всех перестановок из n элементов равно: Р_n = n!

Размещением из n элементов по k элементов называется набор из к элементов, выбранных из данных n элементов в определенном порядке, т.е. два различных размещения отличаются либо составом элементов, либо (при одинаковом составе) порядком элементов.

Число всех размещений из n элементов по к элементов равно:

A_n^k =

Сочетанием из n элементов по k элементов называется набор из k элементов, выбранных из данных n элементов в произвольном порядке, т.е. два различных сочетания отличаются только составом элементов.

Число всех сочетаний из n элементов по к элементов равно:

С_n^k =

Основное свойство сочетаний: С_n^k = С_n^n-k

Основные понятия теории вероятностей

 

Испытанием называется осуществление ряда условий, при которых производится наблюдение.

Событие - это результат испытания.

Элементарными событиями (исходами) называются возможные, исключающие друг друга, результаты одного испытания.

Событие называется достоверным, если при испытании оно обязательно произойдет.

Событие называется невозможным, если при испытании оно не может произойти.

Событие называется случайным, если при испытании оно может либо произойти, либо не произойти.

События называют несовместными, если появление одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании.

События называются единственно возможными, если появление в результате испытания одного и только одного из них является достоверным событием. Единственно возможные события попарно несовместны.

События называются равновозможными, если есть основание считать, что ни одно из этих событий не является более возможным, чем другие.

Полной группой называется совокупность единственно возможных событий испытания.

Событие , которое состоит в том, что событие А не происходит, называется противоположным событию А. Очевидно, события А и образуют полную группу событий.

 

Пример 1.

Вероятность заморозков в мае в некоторой местности 0, 3.

Найти вероятность, что три дня подряд будут заморозки.

Решение.

Обозначим через В событие, состоящее в появлении трех дней с заморозками. Событие А = {день с заморозками} Р(А) = 0, 3, В=А·А·А, тогда Р(В) = Р(А)·Р(А)·Р(А) = 0, 3·0, 3·0, 3 = 0, 027.

 

Схема Бернулли

 

Схемой Бернулли или схемой повторных независимых испытаний с двумя исходами: " успех" или " неуспех" называется последовательность n независимых испытаний, в каждом из которых " успех" наступает с одной и той же вероятностью р ≠ 0 и 1.

Вероятность того, что при n испытаниях «успех» наступит ровно k раз, вычисляется по формуле Бернулли: P_n(k) = C_n^k · p^k · q^n-k ,

где n – число испытаний;

k – число " успехов";

p– вероятность " успеха" в одном испытании;

q = 1 – р– вероятность " неуспеха";

C_n^k = – число сочетании из n элементов пo k.

Пример 2.

Вероятность заболевания животного во время эпидемии 0, 2. Найти вероятность, что из 6 животных 2 заболеют.

Решение.

Число животных n = 6, число " успехов" k = 2, р = 0, 2, q =1 – 0, 2 = 0, 8.

 

При больших n использование формулы Бернулли затруднительно, поэтому, в этих случаях применяют приближенные формулы, которые следуют из локальной теоремы Лапласа и из теоремы Пуассона.

Выбор формулы для решения задачи на схему Бернулли поможет сделать следующая таблица:

 

Название формулы	Формула	Когда даст хорошее решение.
Формула Бернулли.	Рn(k) = Cnk · pk · qn-k	Для всех n и р
Формула, следующая из локальной теоремы Лапласа.	Рn(k)≈	При р > 0, 1 или nр > 9.
Формула, следующая из теоремы Пуассона.		р ≤ 0, 1; nр < 9, n > 10.

 

Имеются таблицы, в которых помещены значения функции

φ (х) =

Свойства функции φ (х):

1) φ (–х) = φ (х);

2) при х > 4 φ (х) ≈ 0.

Пример 3.

Допустим, укореняют 15 черенков роз. Приживаемость 80%. Найти вероятность того, что из 15 черенков укоренится ровно 12.

Решение,.

n = 15; k = 12; р = 0, 8; q = 1 – 0, 8 = 0, 2.

Имеем nрq = 15·0, 8·0, 4 = 2, 4

;

Интегральная теорема Лапласа.

Вероятность того, что в п независимых испытаниях, проведенных по схеме Бернулли, событие наступит не менее k₁ и не более k₂ раз, приближенно равна

Р(k, k₂) ≈ Ф(х₂) – Ф(х₁),

где Ф(х) = - интегральная функция Лапласа.

Значение функции Лапласа занесены в таблицу.

Свойства функции Ф(х):

1)Ф(–х) = –Ф(х);

2) если х > 5, то Ф(х) ≈ 0, 5.

 

Пример 4.

Вероятность того, что подготовка почвы к посеву выполнена с соблюдением требований агротехники 0, 75. Найти вероятность того, что из 100 делянок почва подготовлена к посеву не меньше чем на 70 и не больше чем на 80.

Решение.

По условию, р = 0, 75; q = 1 – 0, 75 = 0, 25; n = 100; k₁ =100, k₂ =80.

Р₁₀₀(70, 80) = Ф(x₂) – Ф(х₁)

Таким образом, имеем

Р₁₀₀(70, 80) = Ф(1, 15) – Ф(–1, 15) = Ф(1, 15) + Ф(1, 15) = 2Ф(1, 15).

По таблице находим Ф(1, 15) = 0, 3749.

Искомая вероятность Р100(70, 80) = 2·0, 3749 = 0, 7498.

 

Пример 5.

Найти математическое ожидание числа заболевших животных в выборке из 5 животных, случайная величина X (число заболевших животных), задана рядом распределения.

X
P	0, 2373	0, 3955	0, 2637	0, 0879	0, 0146	0, 001

 

Решение.

По формуле М(Х) = находим

М(Х) = 0·0, 2373 + 1·0, 3955 + 2·0, 2637 + 3·0, 0879 + 4·0, 0146 + 5·0, 001 = 1, 25.

 

Решение.

В соответствии с принятыми обозначениями (см. формулу выше): а = 230 (г), σ = 5 (г), β = 240 (г) и δ = 3(г). Тогда

1)Р(220 < х < 240) = = Ф(2) – Ф(2) = 2Ф(2) = 0, 9544

2) Р( |Х – 230| < 3) = = 2Ф(0, 6) = 2 – 0, 2257 = 0, 4514.

3) 3·σ = 3·5 = 15 (г).

Значит наибольшая и наименьшая границы будут 230 ± 15 (г). То есть масса годовалого осетра заключена в интервале от 215 г до 245 г с вероятностью 0, 997 ≈ 1, 0.

 

Решение.

1) В качестве приближённого значения средней урожайности на всём массиве принимаем среднюю арифметическую данного в условии распределения, т.е. выборочную среднюю:

 

(n = n₁ + n₂ +...+ n_k).

За значение признака нужно принять середины интервалов. Получим:

Значит, приближённое значение средней урожайности на всём массиве будет х ~ 32 ц.

2) Для оценки дисперсии генеральной совокупности применяем формулу

S_n² = · (3(24 - 32)² + 10(26 - 32)² + 6(28 - 32)²+ 16(30 - 32)² + 15(32 - 32)² + 30(34 - 32)² + + 20(36 - 32)²) = · (192 + 360 + 96+ 64 + 0 + 120 + 320) = = 11, 64.

Значит, приближённое значение дисперсии на всём массиве будет, σ ~ 11, 64, отсюда среднее квадратичное отклонение урожайности на всём массиве равно S = = 3, 4. Найдём среднее квадратичное отклонение выборочной средней по формуле σ _х = S_x = S_n/ .

Получим

Итак, оценка средней урожайности сахарной свеклы на всём массиве равна 32 ц со средней квадратичной ошибкой 0, 34 ц. Оценка среднего квадратичного отклонения урожайности на всём массиве равна 3, 4 ц.

3) Для вычисления доверительного интервала воспользуемся равенством ,

 

 

согласно которому можно утверждать, что с надёжностью у доверительный интервал покрывает неизвестное математическое ожидание, точность оценки: .

Поскольку n = 100 > 30, то пользуемся нормальным распределением. Значит, .

Из равенства 2Ф(t_γ ) = 0, 95 следует Ф(t_γ ) = 0, 475 и по таблице 3 приложения находим1, 96. Следовательно, точность оценки

.

Концы доверительного интервала

х_в – δ = 32 – 0, 67 = 31, 33 и х_в + δ = 32 + 0, 67 – 32, 67.

Таким образом, с вероятностью 0, 95 средняя урожайность сахарной свёклы на всём массиве заключена в границах от 31, 33 ц до 32, 67 ц.

 

Задача.

Были произведены измерения общей длины ствола в см (X) и длины его части без ветвей (Y) 10 молодых сосен. Результаты этого измерения представлены в следующей таблице:

X			45 55
Y

 

Вычислить выборочный коэффициент корреляции и найти выборочное уравнение прямой регрессии Y на X.

Решение.

Вычислим выборочный коэффициент корреляции по формуле

Для вычисления величин, входящих в формулу, составим вспомогательную таблицу, в которой результаты измерений записаны столбцами. Внизу каждого из этих столбцов вычислены суммы для нахождения средних х_в и у_в. Далее расположены столбцы, в которых вычисляются разности х_i – х_в и у_i – у_в, их квадраты и произведения. Значения этих столбцов суммируются, чтобы получить величины, необходимые для подстановки в формулу. Отметим, что суммы в столбцах, в которых вычислены разности х_i – х_в и у_i – у_в будут всегда равны 0.

 

xi	yi	xi – xB	(xi – xB)2	yi – yB	(yi – yB)2	(xi – xB) (yi – yB)
				–9
				–5
				–4
				–3
		-5

 

Находим средние х_B и у_B:

Из таблицы имеем:

Подставляя эти значения в формулу для вычисления коэффициента корреляции, получим

Вывод:

Таким образом, у выбранных сосен имеет место очень сильная корреляция между общей длиной ствола и длиной его части без ветвей.

 

Найдём теперь выборочное уравнение прямой регрессии Y на X. Это уравнение имеет вид:

за приближённые значения σ _x и σ _y принимают соответственно

Тогда

Подставляя в выборочное уравнение прямой регрессии Y на X

получим у – 23 = 0, 97·0, 19(х – 70) или у – 23 = 0, 18х – 12, 6.

Вывод:

у = 0, 18х + 10, 4 – искомое уравнение прямой регрессии Y на X.

 

Задания для контрольных работ

В задачах 1-20 даны координаты вершин треугольника АВС. Найти:

1) длины стороны АВ;

2) уравнение сторон АВ и ВС и их угловые коэффициенты;

3) уравнение высоты СD и её длину;

4) уравнение медианы АЕ;

5) уравнение прямой, проходящей через точку С параллельно стороне АВ.

	А(–8; –3)	В(4; –12)	С(8; 10)		А(–2; 7)	В(10; –2)	С(8; 12)
	А(–5; 7)	В(7; –2)	С(11; 20)		А(–6; 8)	В(6; –1)	С(4; 13)
	А(–12; –1)	В(0; –10)	С(4; 12)		А(3; 6)	В(15; –3)	С(13; 11)
	А(–10; 9)	В(2; 0)	С(6; 22)		А(–10; 5)	В(2; –4)	С(0; 10)
	А(0; 2)	В(12; –7)	С(16; 15)		А(–4; 12)	В(8; 3)	С(6; 17)
	А(–9; 6)	В(3; –3)	С(7; 19)		А(–3; 10)	В(9; 1)	С(7; 15)
	А(1; 0)	В(13; –9)	С(17; 13)		А(4; 1)	В(16; –8)	С(14; 6)
	А(–4; 10)	В(8; 1)	С(12; 23)		А(–7; 4)	В(5; –5)	С(3; 9)
	А(2; 5)	В(14; –4)	С(18; 18)		А(0; 3)	В(12; 6)	С(10; 8)
	А(–1; 4)	В(11; –5)	С(15; 17)		А(–5; 9)	В(5; 0)	С(5; 14)

 

 

В задачах 21 – 40 найти производные и дифференциалы указанных функций.

 

 

В задачах 41 – 60 найти неопределенные интегралы.

 

 

61. В среднем из 10 женихов 2 и из 10 невест 1 имеют отрицательный резус-фактор. Какова вероятность « отрицательной » пары при случайном выборе?

62. Среди 10 самцов плодовой мушки 7 имеют мутацию глаз, а среди 10 самок – 8 имеют мутацию крыльев. Какова вероятность того, что случайно выбранная для скрещивания пара не имеет мутаций?

123Следующая ⇒

Поделиться: