Функция, ее предел. Основные теоремы о пределах

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 3Следующая ⇒

Литература. [2], Гл. I, § 6-9, Гл. II, § 1-7, 11; [3], Гл. IV, § 1-3 задачи 15-38, 43-60, 62-71, 73-212, 213-222, 234-281, 329-376.

Можно использовать также[6], Гл. V, § 14, 16, 17.; [7], Гл. VI, § 1, 4 задачи 6.1.1., 6.1.28., 6.1.39.; [7], Гл. VI, § 3 задачи 6.4.1., 6.4.14., 6.4.37, 6.4.46.; [5], Гл. VI, § 4 задачи 640-654.

Рекомендуется также разобрать примеры из [3], Гл. IV, § 1, разобрать примеры 1-4, § 2, разобрать примеры 1-8.

Непрерывность функции

Литература. [2], Гл. II, § 10; [3], Гл. IV, § 1-3 задачи 224-233.

Можно использовать также[6], Гл. V, § 19.; [7], Гл. VI, § 5 задачи 6.5.4., 6.5.6., 6.5.11.

Примеры решения типовых задач

№ 6. Вычислить:

1. Примеры вычисления пределов с использованием теорем о пределах:

· (1+ ) = 1 + 0 = 1;

· (4x³ - х + 2) = 4x³ - х + 2 =(4 x)³ - х + 2= 4 * 1 - 1 + 2 = 5.

2. Примеры вычисления пределов с использованием методов раскрытия неопределенностей, а также теорем о пределах:

· = [ = 0, ( ) = 0] =

= =

Для того, чтобы раскрыть неопределенность вида надо под знаком предела числитель и знаменатель разложить на множители и сократить их далее на общий множитель.

= = = = - 9.

· =

Здесь мы также имеем неопределенность вида . Домножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное числителю (избавляемся от иррациональности в числителе):

= = =

= = = =

= .

· =

Здесь мы также имеем неопределенность вида . Домножим числитель и знаменатель дроби на неполный квадрат суммы выражений и 1, чтобы получить разность кубов в числителе:

= = =

= = = .

3. Вычислить.

· = =

Для того, чтобы раскрыть неопределенность вида надо под знаком предела числитель и знаменатель дроби разделить на переменную х с наивысшим показателем.

= = =

Осталось воспользоваться теоремами о пределах, а также тем, что функции

, и - бесконечно малые при х .

= = .

· = =

= = =

Осталось воспользоваться теоремами о пределах, а также тем, что функции

, и - бесконечно малые при х .

= = .

· = =

= = =

Осталось воспользоваться теоремами о пределах, а также тем, что функции и - бесконечно малые при х .

= = .

4. Примеры и решение пределов с помощью замечательных пределов:

· =

Домножим числитель и знаменатель дроби на «3» и получим:

= =

Используя теоремы о пределах и первый замечательный предел, получаем:

= 3 =3.

· =

Поделим числитель и знаменатель дроби под знаком предела на х, после чего воспользуемся предыдущим примером, получим:

= = .

· =

Сведем данный предел к первому замечательному пределу, для этого сделаем замену у = х - . Тогда при х , а х = у + , откуда

= =

В числителе дроби используем формулу приведения, тогда

= = = .

· (1 + ) =

В данном случае неопределенность вида , для ее раскрытия сделаем замену у = . Тогда при и исходный предел сводится ко второму замечательному пределу:

= = = = .

· =

Поделив числитель и знаменатель дроби на х, сведем данный предел ко второму замечательному пределу, т.е.

= =

В числителе дроби сделаем замену у = , а в знаменателе дроби t = . Тогда и при и исходный предел сводится ко второму замечательному пределу:

= = = = .

№ 7. Задана функция у = f(x):

1) Исследовать функцию на непрерывность на всей числовой оси.

2) Найти и классифицировать точки разрыва, если они существуют.

3) Построить график функции.

f(x) =

Рассмотрим поведение функции в точках х = 0, х = 1.

Найдем правый и левый предел функции в точке х = 0:

и - конечны, значит х = 0 – точка разрыва первого рода.

Найдем правый и левый предел функции в точке х = 1:

и - один из пределов равен бесконечности, значит х = 1 – точка разрыва второго рода.

Тема 3. Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Литература. [2], Гл. III, § 1-10; [3], Гл. V, § 1-2 задачи 1-138.

Можно использовать также[6], Гл. V, § 20; [7], Гл. VII, § 1, задачи 7.1.1., 7.1.6., 7.1.27., 7.1.78; [5], Гл. VII, § 1 задачи 736-738, 745-766.

Дифференцирование неявных и параметрических заданных функций.

Логарифмическое дифференцирование

Литература. [2], Гл. III, § 11-12, 16, 18; [3], Гл. V, § 5-3 задачи 206-211.

Можно использовать также [6], Гл. V, § 21, 22; [7], Гл. VII, § 1, задачи 7.1.58., 7.1.65., 7.1. 72.; [5], Гл. VII, § 1 задачи 768-770, 896-897, 908.

Производные высших порядков

Литература. [2], Гл. III, § 22; [3], Гл. V, § 4 задачи 162-191.

Можно использовать также [6], Гл. V, § 23; [7], Гл. VII, § 1, задачи 7.1.83.; [5], Гл. VII, § 1 задачи 945-949.

Дифференциал функции

Литература. [2], Гл. III, § 20, 23; [3], Гл. V, § 3-4 задачи 146-161, 198-205.

Можно использовать также [6], Гл. V, § 24; [7], Гл. VII, § 2, задачи 7.2.1., 7.2.9., 7.2.13.; [5], Гл. VII, § 1 задачи 975-981; [3], Гл. V, § 3, 4., разобрать примеры 1-2, 3.

При вычислении производных используется таблица производных элементарных функций, применяются правила дифференцирования суммы, разности, произведения и частного функций, а также правило дифференцирования сложной функции.

Примеры решения типовых задач

№ 8. Найти производную указанного порядка: