Я не знаю, дополнить бы чем-нибудь.

Основные сведения из векторной алгебры. Различают два рода величин: скалярные и векторные.

1. Если некоторая величина вполне определяется ее числовым значением, то ее называют скалярной. Примерами скалярных величин могут служить: масса, плотность, работа, сила тока, температура. Скаляры являются алгебраическими величинами и с ними можно производить любые алгебраические действия: сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень и т. д.

2. Если при определении некоторой величины для ее полной характеристики, кроме числового значения, надо знать и ее направление, то такая величина называется векторной, или вектором. Примерами векторных величин являются скорость, ускорение, сила. Длина вектора называется также его модулем, или абсолютной величиной.

3. Вектор обозначается графически отрезком прямой, на котором ставится стрелка, указывающая направление вектора (см. рисунок).

Будем обозначать вектор одной буквой с черточкой над ней, например, , а модуль этого вектора - той же буквой, только без черточки над ней, т. е. a. Модуль вектора a часто обозначается .

Вектор будем также обозначать , где A - начало и B - конец вектора, а его модуль - теми же буквами, но без черточки наверху.

4. Вектор равен нулю, если его модуль равен нулю. Такой вектор называется нулевым.

5. Два вектора и называются равными, если: 1) равны их модули, 2) они параллельны и 3) направлены в одну и ту же сторону.

Два вектора с равными модулями, лежащие на параллельных прямых, но противоположно направленные, называются противоположными. Вектор, противоположный вектору , обозначается через .

 

 

Прямая линия на плоскости.

Получим канонические уравнение прямой линии, однозначно определяемой лежащими на ней вектором v = (a, b, c) и точкой T₀(x₀, y₀, z₀). Для любой точки пространства T(x, y, z) вектор T₀T принадлежит прямой, которой принадлежит вектор v. Отсюда следует, что существует такое действительное число r, для которого T₀T = r⋅ v: (x-x₀, y-y₀, z-z₀) = r(a, b, c) или x-x₀ = r⋅ a, y-y₀ = r⋅ b, z-z₀ = r⋅ c.

Отсюда, в случае, когда прямая не || ни одной из плоскостей (т.е. a≠ 0, b≠ 0, c≠ 0) следует канонические уравнение прямой линии:

 

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки

Есть вектор v =(x2-x1, y2-y1, z2-z1) и два точки T0(x0, y0, z0) T1(x1, y1, z1)

Тогда a = x2-x1 ≠ 0, b = y2-y1≠ 0, c = z2-z1≠ 0.

Подставив это дело каноническое уравнение прямой, можно получить уравнение прямой, проходящей через две заданные точки:

Прямая на плоскости.

- уравнение прямой с угловым коэффициентом k

- уравнение прямой, проходящей через одну точку

- уравнение прямой, проходящей через 2 точки

- общее уравнение прямой

- уравнение прямой в отрезках

- угловой коэффициент

- условие параллельности

- условие перпендикулярности

- угол между прямыми

- расстояние от точки до прямой

 

Кривые второго порядка на плоскости.

Теорема. На плоскости существует 9 и только 9 кривых второго порядка.

Прямая линия и плоскость в пространстве.

Прямая в пространстве.

- общее уравнение прямой

- каноническое уравнение прямой

- параметрическое уравнение прямой

- условие параллельности прямых

- условие перпендикулярности прямых

- угол между прямыми

 

Плоскость

Пусть в пространстве задана плоскость p. Чтобы записать ее уравнение, надо ввести декартову систему координат OXYZ, и ортонормированный правый базис (i, j, k).

Положение плоскости в пространстве изначально определяется точкой T₀, принадлежащей этой плоскости и любым ненулевым вектором n, перпендикулярным к p. Пусть координаты точки T₀ (x₀, y₀, z₀), а координаты вектора n в базисе (i, j, k) равны A, B, C:

T₀ = T₀(x₀, y₀, z₀), n = (A, B, C)

Пусть T(x, y, z) – любая точка пространства, принадлежащая p. Тогда вектор T₀T, соединяющий точка T₀ и T очевидно лежит в плоскости p. А т.к. вектор n перпендикулярен p, то он перпендикулярен и T₀T, координаты которого в базисе (i, j, k) имеют вид (x-x₀, y-y₀, z-z₀). Отсюда в силу критерия ортогональности векторов следует, что скалярное произведение перпендикулярных векторов равно нулю, что можно записать в виду следующего выражения:

A(x-x₀) + B(y-y₀) + C(z-z₀) = 0

Раскрыв скобки это выражение можно записать как

Ax + By + Cz + D = 0, где D = -Ax₀ – By₀ – Cz₀

Это уравнение называется общим уравнением плоскости p.

 

Пусть p – плоскость и на ней лежат три точки T₁(x₁, y₁, z₁) T₂(x₂, y₂, z₂) T₃(x₃, y₃, z₃). Произвольная точка T(x, y, z) лежит на плоскости тогда и только тогда, когда все вектора T₁T, T₂T, T₃T лежат в плоскости p.

Т. о. можно получить следующее соотношение:

которое является однородной СЛУ. Т.к. она имеет ненулевое решение, то ее определитель равен нулю. И называется эта штука уравнением плоскости, проходящей через три точки.

А если плоскость p пересекает OX в (a, 0, 0), OY (0, b, 0), OZ (0, 0, c), то вычислив определитель матрицы

= 0

Который будет равен bcx + acy +abz – abc = 0. Преобразовав его можно получить уравнение плоскости в отрезках:

Вот, а еще есть нормальное уравнение плоскости.

Введем несущественное допущение, которое в дальнейшем можно быть снято. Пусть заданная плоскость p не проходит через начало координат. Тогда она определяется вектором ON, который ⊥ p и проведен из точки O в точки N на плоскости.

Очевидно, что точка M (x, y, z) будет лежать в плоскости только тогда, когда вектор ON ⊥ NM, т.е. их скалярное произведение ON⋅ NM = 0. А т.к. NM – OM – ON, то уравнение плоскости p может быть записано так:

ON⋅ (OM-ON) = 0 или ON⋅ OM = ON⋅ ON.

Если длина вектора ON = d, и α, β, γ – углы вектора ON, тогда в базисе (i, j, k) вектора ON и OM могут быть записаны в виде:

ON = (d⋅ cos α, d⋅ cos β, d⋅ cos γ ) OM = (x, y, z)

Тогда соотношение ON ⋅ OM = ON ⋅ ON может быть записано так:

x⋅ d⋅ cos α +y⋅ d⋅ cos β + z⋅ d⋅ cos γ = d²

А теперь если всю эту хрень поделить на d, можно получить искомое нормальное уравнение плоскости:

x ⋅ cos α +y⋅ cos β + z⋅ cos γ = d

⇐ Предыдущая123456789

Поделиться: