НЕЧЕТКАЯ И ЛИНГВИСТИЧЕСКАЯ ПЕРЕМЕННЫЕ. Нечёткие лингвистические высказывания

Понятие нечеткой и лингвистической переменных используется при описании объектов и явлений с помощью нечетких множеств.
Определение 5.15

Нечеткая переменная характеризуется тройкой < α, X, A>, где α - наименование переменной, X - универсальное множество (область определения α ), A - нечеткое множество на X, с функцией принадлежности µ _A(x), описывающей возможные значения, которые принимает нечёткая переменная α. В качестве примера нечёткой переменой α можно привести нечёткое множество А «Средняя скорость автомобиля». В этом случае соответствующая нечёткая переменная может быть представлена следующим образом: < «Средняя скорость автомобиля», Х=[0, 400), А>, где А – нечёткое множество с функцией принадлежности в виде ТНИ Ат=< 40, 80, 10, 10>.

Определение 5.16

Нечёткой лингвистической переменной называется набор < β , T, X, G, M>, где

β - наименование лингвистической переменной;
Т - множество ее значений (терм-множество), представляющих собой наименования нечетких переменных, областью определения каждой из которых является множество X. Множество T называется базовым терм-множеством лингвистической переменной;

Х- универсальное множество – область определения нечётких переменных, которые входят в определение лингвистической переменной β;
G - синтаксическая процедура, которая описывает процесс образования их множества T новых значений (термов) для данной лингвистической переменной, например при помощи логических операций «и», «или», «не», модификаторов типа «очень», «слегка» и т.д.
М - семантическая процедура, позволяющая превратить каждое новое значение лингвистической переменной, образуемое процедурой G, в нечеткую переменную, т.е. сформировать соответствующее нечеткое множество.
Пример 5.8

Пусть эксперт определяет толщину выпускаемого изделия с помощью понятий «малая толщина», «средняя толщина» и «большая толщина», при этом минимальная толщина равна 10 мм, а максимальная - 80 мм.
Формализация такого описания может быть проведена с помощью следующей лингвистической переменной < β, T, X, G, M>, где

β - толщина изделия;
T - {«малая толщина», «средняя толщина», «большая толщина»};
X - [10, 80];
G - процедура образования новых термов с помощью связок «и», «или» и модификаторов типа «очень», «не», «слегка» и др. Например: «малая или средняя толщина», «очень малая толщина» и др.;
М - процедура задания на X = [10, 80] нечетких множеств А₁= «малая толщина», А₂ = «средняя толщина», А₃= «большая толщина» (рис.5.1), а также нечетких множеств для термов из G в соответствии с правилами трансляции нечетких логических операций «и», «или», «не», и операции возведения в степень, в частности операции концентрации и растяжения «очень», «слегка» и др. операции над нечеткими множествами вида: А₁ А₂, А₂ , А², А^{0, 5} и др.

Рис. 5.1 Функции принадлежности нечетких множеств:
«малая толщина» = А₁, «средняя толщина»= А₂, «большая толщина»= А₃.

Рис. 5.2 Функция принадлежности:
нечеткое множество «малая или средняя толщина» = А₁È А₂.

 

Замечание. Наряду с рассмотренными выше базовыми значениями лингвистической переменной «толщина» (Т={«малая толщина», «средняя толщина», «большая толщина»}) возможны значения, зависящие от области определения Х. Например значения лингвистической переменной «толщина изделия» могут быть определены как «около 20 мм», «около 50 мм», «около 70 мм», «в пределах от 55 до 60 мм» т.е. в виде нечетких чисел и интервалов.

Определение 5.17

Нечётким лингвистическим высказыванием будем называть нечёткие высказывания следующих видов:

1. Высказывание «β есть α », где β – наименование лингвистической переменной, α – её значение, которому соответствует отдельный лингвистический терм из базового терм-множества Т лингвистической переменной β.

2. Высказывание «β есть α », где - модификатор, соответствующий таким словам, как «очень», «более или более», «много больше» и другим, которые могут быть получены с использованием процедур G и M данной лингвистической переменной.

3. Составные высказывания, образованные из высказываний видов 1 и 2 и нечётких логических операций конъюнкция, дизъюнкция, отрицание, импликация.

Пример 5.9

Нечёткое лингвистическое высказывание первого вида - «скорость автомобиля высокая», где лингвистической переменной «скорость автомобиля» присваивается значение «высокая».

Нечёткое лингвистическое высказывание второго вида - «скорость автомобиля очень высокая» означает, что лингвистической переменной «скорость автомобиля» присваивается значение «высокая» с модификатором «очень».

Нечёткое лингвистическое высказывание третьего типа «скорость автомобиля высокая и расстояние до светофора близкое» означает, что первой лингвистической переменной «скорость автомобиля» присваивается значение «высокая», а второй лингвистической переменной «расстояние до светофора» присваивается значение «близкое». Эти нечёткие высказывания первого типа соединены логической операцией нечёткая конъюнкция.

УПРАЖНЕНИЯ

1. Задайте нечёткие лингвистические переменные:

a. «Скорость автомобиля»;

b. «Возраст человека»;

c. «Температура воздуха»;

d. «Размер зарплаты».

2. Придумайте пример нечёткой лингвистической переменной.

3. Приведите пример нечёткого лингвистического высказывания.

Контрольные вопросы

1. Как вы понимаете смысл словосочетаний «нечёткая лингвистическая переменная» и «нечёткое лингвистическое высказывание»?

2. Существуют ли аналоги нечётких лингвистических переменных и высказываний в классической логике?

Библиографический список

1. Леоненков А. Нечёткое моделирование в среде MATLAB и fuzzyTECH [Текст]/ А.Леоненков – СПб.: БХВ-Петербург, 2005.- 736 с.

2. Саати Т. Принятие решений. Метод анализа иерархий. [Текст]/Саати Т. - М.: Радио и Связь, 1989. – 316 с.

3. Саати Т. Л. Принятие решений при зависимостях и обратных связях: Аналитические сети. [Текст]/Саати Т. — М.: Издательство ЛКИ, 2008. — 360 с.

4. Ярушкина Н.Г. Основы теории нечетких и гибридных систем: Учеб. пособие для вузов / Н. Г. Ярушкина. - Гриф УМО. - М.: Финансы и статистика, 2004.

5. Новак В., Перфильева И. Математические принципы нечеткой логики = Mathematical Principles of Fuzzy Logic / В. Новак, И. Перфильева, И. Мочкорж; пер. с англ. А.Н. Аверкина. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. - 347 c

6. Яхъяева Г.Э.Нечеткие множества и нейронные сети: учеб. пособие / Г. Э. Яхъяева. - М.: Интернет-Ун-т Информ. Технологий: Бином, 2006. - 315 с.

Интернет-ресурсы

1. Масалович А. Решение задач с применением инструментов, основанных на нечеткой логике. [Электронный ресурс]: Режим доступа: (URL http: //www.tora-centre.ru/papers.htm 26.04.2012).

2. Масалович А., Золотарёв В. Нечёткая логика и точные знания. [Электронный ресурс]: Режим доступа: (URL http: //www.tora-centre.ru/papers.htm 26.04.2012).

3. Штовба С.Д. Введение в теорию нечетких множеств и нечеткую логику. [Электронный ресурс]: Режим доступа: (URL http: //matlab.exponenta.ru/fuzzylogic/book1/index.php 26.04.2012).

 

Глоссарий

Агрегирование условий базы правил - процедура определения степени истинности условий по каждому из правил системы нечёткого вывода.

Аккумулирование заключений нечётких правил - процедура нахождения функции принадлежности для каждой из выходных лингвистических переменных.

Активация подзаключений базы правил – процедура нахождения степени истинности каждого из подзаключений правил нечётких продукций и определения функции принадлежности всех подзаключений для каждого правила в базе нечётких правил.

Антирефлексивное нечёткое отношение- бинарное нечёткое отношение, заданное на множестве Х Х, удовлетворяющее условию:

< хi, хi> Х Х функция принадлежности отношения µ_Q(< хi, хi> )=0.

Антисимметричное нечёткое отношение - бинарное нечёткое отношение, заданное на множестве Х Х, удовлетворяющее условию: < хi, хj> Х Х, причём хi хj, выполняется равенство: min{µ_Q(< хi, хj> ), µ_Q(< хj, хi> )}=0.

База правил системы нечёткого вывода - конечное множество правил вида «ЕСЛИ…, ТО…», согласованных относительно используемых в них лингвистических переменных.

Бинарные нечёткие отношения – n-арное нечёткое отношение при n=2. Q – бинарное нечёткое отношение, если Q={< < х1, х2>, µ_Q< х1, х2> > │ x1 Х₁, х2 Х₂, µ_Q [0, 1]}.

Ближайшее чёткое множество относительно нечеткого множеству А, состоит из тех элементов универсума, для которых значения функции принадлежности µ_A(х) 0.5, а элементы, у которых, могут µ_A(х) 0.5 принадлежать или могут не принадлежать множеству .

Высота нечёткого множества Аэто числовая характеристика h нечёткого множества, которая находится по формуле: h= .

Границы нечёткого множества А – это подмножество универсума Х, обозначаемоеG_A, содержащее такие элементы универсума Х, для которых значения функции принадлежности отличны от 0 и 1,

т.е. G_А={ 0< < 1}.

Дополнение нечёткого множества А это нечёткое множество , для всех элементов которого х Х выполняется условие: .

Иерархия(иерархическая структура) — это графическое представление проблемы в виде перевернутого дерева, где каждый элемент, за исключением самого верхнего, зависит от одного или более элементов, расположенных выше рассматриваемого эелемента.

Композиция нечётких бинарных отношений Q и R - это нечёткое отношение Q R, заданное на множестве X₁´ Х₃ , функция принадлежности которого для < хi, хk> X₁´ Х₃ определяется формулой:

µ_{Q R}(< xi, хk> )= min{µ_Q(< хi, хj> ), µ_R(< хj, хk> )}}.

Множество α -уровня нечеткого множества A называется четкое подмножество универсального множества X, определяемое по формуле А_α ={ |µ_A(х) α }, где .

Нечёткая величина - произвольное нечёткое множество А, заданное на множестве действительных чисел R, т.е. нечёткое множество, для которого универсумом Х служит всё множество R..

Нечёткая лингвистическая переменная называется набор < β , T, X, G, M>, где, β - наименование лингвистической переменной; Т - множество ее значений (терм-множество), представляющих собой наименования нечетких переменных, областью определения каждой из которых является множество X; Х- универсальное множество – область определения нечётких переменных, которые входят в определение лингвистической переменной β;
G - синтаксическая процедура, которая описывает процесс образования их множества T новых значений (термов) для данной лингвистической переменной, например при помощи логических операций «и», «или», «не», модификаторов типа «очень», «слегка» и т.д.;
М - семантическая процедура, позволяющая превратить каждое новое значение лингвистической переменной, образуемое процедурой G, в нечеткую переменную, т.е. сформировать соответствующее нечеткое множество..

Нечёткая переменная – упорядоченная тройка элементов < α, X, A>, где α - наименование переменной, X - универсальное множество (область определения α ), A - нечеткое множество на X, с функцией принадлежности µ _A(x), описывающей возможные значения, которые принимает нечёткая переменная α..

Нечёткое лингвистическое высказывание - нечёткое высказывание одного из следующих видов:

1. Высказывание «β есть α », где β – наименование лингвистической переменной, α – её значение, которому соответствует отдельный лингвистический терм из базового терм-множества Т лингвистической переменной β.

2. Высказывание «β есть α », где - модификатор, соответствующий таким словам, как «очень», «более или более», «много больше» и другим, которые могут быть получены с использованием процедур G и M данной лингвистической переменной.

3. Составные высказывания, образованные из высказываний видов 1 и 2 и нечётких логических операций конъюнкция, дизъюнкция, отрицание, импликация.

Нечёткая логическая формула определяется индуктивно следующим образом:

1. любая нечёткая высказывательная переменная является нечёткой логической формулой;

2. если F1 и F2 – нечёткие логические формулы, то , F1 F2, F1 F2, F1 F2, F1↔ F2 – нечёткие логические формулы.

3. Других правил для образования нечётких логических формул не существует.

Нечёткий n-местныйпредикат Р(х1, х2, …, хn), заданный на множестве Х1 Х2 … Хn, это переменное высказывание, зависящее от нечётких переменных х1, х2, …, хn (x1 Х1, x1 Х1, …, xn Хn), которое превращается в нечёткое высказывание, если всем переменным придать конкретные значения из соответствующих множеств.

Нечётко близкие формулы – это нечёткие формулы, у которых степень равносильности на всех определённых наборах значений переменных больше или равна 0.5.

Нечётко истинные формулы – это нечёткие формулы, которые на всех определённых наборах значений переменных принимают значение истинности больше или равное 0.5.

Нечётко ложные формулы - это нечёткие формулы, которые на всех определённых наборах значений переменных принимают значение истинности меньше или равное 0.5

Нечёткое высказывание - любое утверждение, о котором имеет смысл судить истинно оно или ложно в той или иной степени.

Нечеткое множество: пусть Х – универсальное множество, множество А – подмножество Х (A Х). Нечетким множеством А называется совокупность упорядоченных пар вида: < x, µ_А(х) >, где х Х, а µ_А(х) - функция принадлежности, которая ставит в соответствие каждому элементу х Х некоторое действительное число из отрезка[0, 1]. При этом значение µ_А(х) =1 для некоторого х Х означает, что элемент х определённо принадлежит нечёткому множеству А, а значение µ_А(х) =0 означает, что элемент х определённо не принадлежит нечёткому множеству А. Остальные значения функции µ_А(х) из интервала (0, 1) означают, что элемент х принадлежит множеству А в той или иной степени.

Нечёткое отношение: нечетким n-арным отношением называется нечёткое множество Q, заданное на универсуме Х. Символически определение нечёткого отношения записывается в виде:

Q={< < х1, х2, …, хn>, µ_Q< х1, х2, …, хn> > │ x1 Х₁, х2 Х₂, …, хn Х_n, µ_Q [0, 1]}.

Носитель нечёткого множества A это обычное подмножество A_s множества Х, которое содержит те и только те элементы Х, для которых значения функции принадлежности нечёткого множества А не равны 0, т.е. A_s={x| x Х, µ_А(х) 0}.

Объединение нечётких множеств А и В это нечёткое множество , функция принадлежности которого имеет вид: .

(максминное объединение).

Относительное расстояние между нечёткими множествами находится по формулам:

относительное расстояние Хемминга:

r(A, B) = , r(A, B)Î [0, 1].

относительное Евклидово расстояние:

e(A, B)= ², e(A, B)Î [0, 1].

Пересечение нечётких множествА и В – это нечёткое множество , функция принадлежности которого имеет вид: (максминное пересечение).

Разность нечётких множеств А и В это нечёткое множество А\B, функция принадлежности которого имеет вид: .

Расстояние между нечёткими множествами А и В находится по формулам:

расстояние Хемминга (или линейное расстояние):

ρ (A, В)= , r(A, B)Î [0, n].

Евклидово или квадратичное расстояние:

e(A, B) = ², e(A, B)Î [0, ].

Рефлексивное нечёткое отношение

Симметрическая разность нечётких множеств А и В это нечёткое множество А B, функция принадлежности которого имеет вид: .

Симметричное нечёткое отношение - бинарное нечёткое отношение Q, заданное на множестве Х Х, удовлетворяющее условию: < хi, хj> Х Х выполняется равенство: µ_Q(< хi, хj> )= µ_Q(< хj, хi> ).

Степень общности свойств нечёткого предикатаР(х) для элементов множества Х называется величина = (Р(х1)) (Р(х2)) (Р(хn)).

Степень равносильности нечётких формул F1(х1, х2, …, хn) и F2(х1, х2, …, хn) обозначается d(F1(х1, х2, …, хn); F2(х1, х2, …, хn)) и определяется выражением: (F1(х1, х2, …, хn); F2(х1, х2, …, хn))= (F1(х1, х2, …, хn) F2(х1, х2, …, хn)), где операция берётся по всем определённым наборам степеней истинности высказывательных переменных.

Степень существования свойств нечёткого предиката предиката Р(х) для элементов множества Х называется величина = (Р(х1)) (Р(х2)) (Р(хn)).

Точки перехода нечёткого множестваА это множество Т_А, состоящее из элементов x Х, для которых =0.5 называютсяточками перехода нечёткого множества A, т.е. T_A={x| x Х, µ_А(х)=0.5}.

Транзитивное нечёткое отношение - бинарное нечёткое отношение Q, удовлетворяющее условию: хi, хj, хk Х имеет место равенство:

µ_Q(< хi, хk> ) max _{хj Х} {min{µ_Q(< хi, хj> ), µ_Q(< хj, хk> )}}=0.

Трапециевидная функция принадлежности -

Трапециевидный нечёткий интервал

Треугольная функция принадлежности – это функция принадлежности нечёткого множества, которая задаётся алитическим выражением:

,

где а, b, c – некоторые числовые параметры, принимающие произвольные действительные значения и упорядочены отношением: .

Треугольное нечёткое число(ТНЧ) это нечёткое число А∆, функция принадлежности которого имеет треугольный вид . ТНЧ удобно представить в виде упорядоченного множества А∆ =< d, α, β >, где d – модальное значение ТНЧ, α - левый коэффициент нечёткости и β – правый коэффициент нечёткости: d=b, α =b-a, β =c-b.

Универсум – обычное множество, то есть множество, из элементов которого образованы все остальные множества.

Фаззификация входных переменных (введение нечёткости) - процедура нечёткого логического вывода, целью которой является установление соответствия между конкретным (обычно численным) значением х_i из универсума Хi каждой входной лингвистической переменной β i системы нечёткого вывода и значением функций принадлежности термов входной лингвистической переменной.

Функция принадлежности нечёткого множества А – это функция, которая каждому элементу х универсума Х ставит в соответствие число µ_А(х) из отрезка [0, 1], которое показывает, в какой степени данный элемент х обладает свойствами нечёткого множества.

Ядро нечёткого множестваА - это обычное множество А₁, элементы которого удовлетворяют условию: А₁ ={ |µ_A(х)=1}.

S-образная функция принадлежности или сплайн-функция и в общем случае аналитически может быть задана следующим выражением:

,

где a и b – некоторые числовые параметры, принимающие произвольные действительные значения и упорядоченные отношением a .

S-образная функция принадлежности в общем случае может быть задана аналитически следующим выражением:

,

где a и b – некоторые числовые параметры, принимающие произвольные действительные значения и упорядоченные отношением: a .

 

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение. 3

Тема 1. История развития теории и приложений.. 4

§ 1 История развития теории и приложений нечеткой математики 4

Тема 2. Нечёткие множества.. 13

§ 2.1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ НЕЧЁТКОГО МНОЖЕСТВА.. 14

§ 2.2 ВИДЫ ФУНКЦИЙ ПРИНАДЛЕЖНОСТИ.. 25

§2.3 Сравнение нечётких множеств, Операции над нечеткими множествами.. 29

§ 2.4 Расстояние между нечёткими множествами. Индексы нечёткости.. 37

Тема 3. Нечёткие величины, числа и интервалы.. 42

§ 3.1 Определения нечёткой величины, нечёткого числа и нечёткого интервала.. 42

§3.2 Операции над ТНЧ и ТНИ.. 45

Тема 4. НЕЧЕТКИЕ ОТНОШЕНИЯ.. 50

4.1 Определение нечёткого отношения.. 51

§ 4.2 Композиция двух бинарных нечётких отношений.. 54

§ 4.3 Свойства бинарных нечётких отношений, заданных на одном универсуме. 58

Тема 5. элементы нечёткой логики.. 63

§5.1 Нечёткие высказывания и логические операции.. 64

§5.2 нечёткие логические формулы и их свойства.. 66

§ 5.3. Нечёткие предикаты и кванторы.. 71

§ 5.4 НЕЧЕТКАЯ И ЛИНГВИСТИЧЕСКАЯ ПЕРЕМЕННЫЕ. Нечёткие лингвистические высказывания.. 73

Библиографический список.. 77

Интернет-ресурсы.. 77

Глоссарий.. 78

ОГЛАВЛЕНИЕ. 86

 

 

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ

 

 

Елена Васильевна Бахусова

 

Тираж 100 экз.

⇐ Предыдущая12345678910

Поделиться: